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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题2.5二次函数与一元二次方程
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
【解析】∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
解方程﹣x2+2x+4＝0，解得x1＝1，x2＝1，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
2．（2020?大连）抛物线y＝a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．（，0）
B．（3，0）
C．（，0）
D．（2，0）
【分析】根据抛物线的对称性和（﹣1，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标．
【解析】设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
3．（2020?雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据表格数据求出二次函数解析式，即可判断①，再将解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可判断②、③，当y＝0时，解方程即可判断④．
【解析】根据题意：将点（﹣1，﹣3）、（0，1）、（1，3）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
所以二次函数y＝﹣x2+3x+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
所以①正确；
∵y＝﹣x2+3x+1＝﹣（x）2，
则图象的对称轴为直线x，
所以②错误；
∵图象的对称轴为直线x，
∴当x时，函数值y随x的增大而增大，
所以③错误；
当y＝0时，﹣（x）20，
解得x1，x2，
∵34，
∴3，
所以方程ax2+bx+c＝0有一个根小于4，
所以④错误．
综上所述：其中正确的结论有①．
故选：A．
4．（2020?毕节市）已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．x1+x2＜0
B．4＜x2＜5
C．b2﹣4ac＜0
D．ab＞0
【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；
∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，
∴﹣1，
解得：4＜x2＜5，故选项B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，故选项D错误；
故选：B．
5．（2020?娄底）二次函数y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（ ）21·世纪
教育网
A．m＜a＜n＜b
B．a＜m＜b＜n
C．m＜a＜b＜n
D．a＜m＜n＜b
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，观察图象即可得出结论．
【解析】二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6．（2020?碑林区校级模拟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．﹣12＜t＜3
B．﹣12＜t≤4
C．3＜t≤4
D．t＞﹣12
【分析】先利用抛物线的对称轴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和6对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，t的范围即可．
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝6时，y＝﹣x2+4x＝﹣36+24＝﹣12，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜6时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，﹣12＜t≤4，
故选：B．
7．（2020?牡丹江一模）若抛物线y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a+b＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为（ ）
A．x1＝﹣7，x2＝3
B．x1＝﹣6，x2＝4
C．x1＝6，x2＝﹣4
D．x1＝7，x2＝﹣3
【分析】函数的对称轴为x2，即可求解．
【解析】函数的对称轴为x2，
而两个交点之间的距离为10，
则两个交点的坐标分别为：（7，0）、（﹣3，0），
故选：D．
8．（2020?和平区三模）已知二次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．﹣4＜m＜6
B．m＜﹣4
C．6＜m
D．m＜6
【分析】当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，直线y＝2x﹣m处于a、b之间时，有4个交点，即可求解．
【解析】令y＝﹣x2+x+6＝0，则x＝﹣2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2，0）、（3，0），
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x轴对称，
则新图象的表达式为：﹣y′＝﹣x2+x+6，即y′＝x2﹣x﹣6，
如下图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y＝2x﹣m并解得：m＝6；
当直线处于直线b的位置，即直线与y′＝x2﹣x﹣6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x2﹣3x+m﹣6＝0，
则△＝（﹣3）2﹣4（m﹣6）＝0，解得：m；
故选：C．
9．（2020?鼓楼区校级模拟）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a；④方程x2﹣2x0有实数根，结论正确的个数（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】A．函数的对称轴为x1，即可求解；
B．新抛物线表达式为：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），即可求解；
C．x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＝2，即，即可求解；
D．△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1），而﹣1＜a，故△＞0，即可求解．
【解析】A．函数的对称轴为x1，解得：b＝﹣2a；
故A正确；
B．此抛物线向下移动c个单位后，新抛物线表达式为：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
则x＝2时，y＝0，故抛物线过点（2，0），
故B正确；
C．x＝﹣1时，y＝a﹣b+c
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＜0，x＝1时，y＝a+b+c＝2，即，解得：﹣1＜a，
故C正确；
D．∵a＜0，
∴x2﹣2x0变形为ax2﹣2ax+1＝0，
∵△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1），而﹣1＜a，
∴△＞0，故方程x2﹣2x0有实数根，
故D正确；
故选：D．
10．（2020春?岳麓区校级期末）二次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据抛物线开口方向
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得a＜0，由抛物线对称轴为直线x1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断．
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?立山区二模）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ﹣2或 ．
【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．
【解析】∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴0，
解得m＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
12．（2020?朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k且k≠1 ．
【分析】直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义得到k﹣1≠0，然后解两不等式得到k的范围．21·cn·jy·com
【解析】∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k且k≠1；
故答案为：k且k≠1．
13．（2020?东莞市校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点，从而可以得到当y＜0时，x的取值范围．
【解析】由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
14．（2020?宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 k＞﹣1 ．
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式△＞0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
【解析】∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）?k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
15．（2020?包头）在平面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 4 ．
【分析】根据点A（﹣1，m）和B（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决．
【解析】∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故答案为：4．
16．（2020?高邮市二模）若二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：www.21-cn-jy.com
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
6
8
6
…
则它的图象与x轴的两个交点横坐标的和为 4 ．
【分析】从表格看通过函数的对称轴为确定图象和x轴的两个交点的横坐标，即可求解．
【解析】从表格看，函数的对称轴为x＝2，
根据点的对称性，x＝0，y＝0，则x＝4时，y＝0，
即图象和x轴的两个交点的横坐标为0、4，
则图象与x轴的两个交点横坐标的和为0+4＝4，
故答案为4．
17．（2020?玄武区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1 ＞ y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．21世纪教育网版权所有
【解析】∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向下，
∵点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m2﹣2|＜|m2+4|，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
18．（2020?铁西区二模）二次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 ①③ ．（填序号）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．21教育名师原创作品
【解析】抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x2，即4a+b＝0，因此①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；
在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；
当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有：①③，
故答案为：①③．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：【来源：21cnj
y.co
m】
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
…
（1）二次函数图象的开口方向 向上 ，顶点坐标是 （1，﹣4） ，m的值为 5 ；
（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1 ＞ y2（填＜、＞、＝）；
（3）当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ；
（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为 x＝﹣2或4 ．
【分析】根据表格数据确定函数的对称轴，根据函数图象对称性即可求解．
【解析】（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，
顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；
故答案为：向上；（1，﹣4）；5；
（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；
故答案为：＞；
（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3；
（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，
故答案为：x＝﹣2或4．
20．（2020?玄武区二模）已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）．
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值．
【分析】（1）需要分类讨论：①该函数是一次函数时，求得其函数图象与x轴交点坐标；
②该函数是二次函数时，观察y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）可化为y＝（x﹣1）[m（x﹣1）+2]，由此得到抛物线与x轴的交点坐标；2·1·c·n·j·y
（2）需要分类讨论：该函数是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一次函数和二次函数，根据函数解析式求得函数图象与坐标轴的交点坐标，结合条件“该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数”来求m的值即可．
【解答】（1）证明：①当m＝0时，该函数是一次函数y＝2x﹣2，其函数图象与x轴交点坐标是（1，0）；【出处：21教育名师】
②当m≠0时，∵y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）＝（x﹣1）[m（x﹣1）+2]，
∴该抛物线与x轴交点横坐标分别是1和1．
∴无论m取何值，该抛物线与x轴总交于点（1，0）；
（2）解：若m＝0，则y＝2x﹣2，此时函数与x轴，y轴交点分别是（1，0），（0，2），符合题意；
若m≠0时，则函数与x轴交点分别是（1，0），（1，0），与y轴交点是（0，m﹣2）．
即当m﹣2是整数时，1也是整数，
所以m＝±1，±2．
综上所述，m＝﹣2，﹣1，0，1，2．
21．（2020?南通）已知抛
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
【分析】（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，1②，△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；21
cnjy
com
（2）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为yx2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线yx2+x，
∴0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n．
22．（2020?雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴和AB＝4，即可求得A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）根据题意得出||＝2，即|c+a|＝2，即可得出c＝±2﹣a，即可得到y＝﹣ax2+2ax±2﹣a，把A的坐标代入解析式即可求得a，进而求得c，从而求得抛物线的解析式．
【解析】（1）∵抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c的对称轴为x1，且AB＝4，
∴OB＝3，OA＝1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
（2）∵点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，
∴MM′＝AB＝4，
∴||＝2，即|c+a|＝2，
当c+a＝2时，c＝2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax+2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a+2﹣a＝0，解得a，c，
∴抛物线L的解析式为：yx2+x；
当c+a＝﹣2时，c＝﹣2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax﹣2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a﹣2﹣a＝0，解得a，c，
∴抛物线L解析式为：yx2﹣x，
综上，抛物线L的解析式为yx2+x或yx2﹣x．
23．（2020?黑龙江）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；
（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．
【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝﹣2或x＝0（与点C重合，舍去）；
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1或x＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．
24．（2020春?南岸
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区校级月考）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．21
cnjy
com
（1）求AB的长度和点D的坐标；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）点P是第四象限抛物线上一点，当2S△PAC＝S△PAB时，求点P的坐标．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）令y＝0，得y＝x2+2x﹣3＝0，解一元二次方程便可得A、B点的坐标，把解析式化成顶点式，便可求得D点坐标；21教育网
（2）先求出抛物线与y轴的交点C的坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式；
（3）设P（m，m2+2m﹣3）（0＜m＜1），过P作PQ⊥x轴于点Q，根据已知的面积关系列出m的方程，解方程便可．【版权所有：21教育】
【解析】（1）令y＝0，得y＝x2+2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4）；
（2）令x＝0，得y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3；
（3）设P（m，m2+2m﹣3）（0＜m＜1），过P作PQ⊥x轴于点Q，如下图，
则PQ＝﹣m2﹣2m+3，OQ＝m，AQ＝m+3
∵2S△PAC＝S△PAB，
∴2（S△AOC+S梯形OQPC﹣S△APQ）＝S△PAB，
即，
解得，m＝﹣3（舍），m，
∴．
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精品试卷·第
2
页
（共
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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题2.5二次函数与一元二次方程
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
【来源：21cnj
y.co
m】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【出处：21教育名师】
1．（2020?阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）21教育名师原创作品
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
2．（2020?大连）抛物线y＝ax2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．（，0）
B．（3，0）
C．（，0）
D．（2，0）
3．（2020?雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2020?毕节市）已知y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．x1+x2＜0
B．4＜x2＜5
C．b2﹣4ac＜0
D．ab＞0
5．（2020?娄底）二次函
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．m＜a＜n＜b
B．a＜m＜b＜n
C．m＜a＜b＜n
D．a＜m＜n＜b
6．（2020?碑林区校级模拟）如图所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．﹣12＜t＜3
B．﹣12＜t≤4
C．3＜t≤4
D．t＞﹣12
7．（2020?牡丹江一模）若抛物线y＝a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a+b＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为（ ）21·世纪
教育网
A．x1＝﹣7，x2＝3
B．x1＝﹣6，x2＝4
C．x1＝6，x2＝﹣4
D．x1＝7，x2＝﹣3
8．（2020?和平区三模）已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．﹣4＜m＜6
B．m＜﹣4
C．6＜m
D．m＜6
9．（2020?鼓楼区校级模拟）二次函
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a；④方程x2﹣2x0有实数根，结论正确的个数（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．（2020春?岳麓区校级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?立山区二模）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝
．
12．（2020?朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是
．
13．（2020?东莞市校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
14．（2020?宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是
．
15．（2020?包头）在平面直角坐标系
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为
．【来源：21·世纪·教育·网】
16．（2020?高邮市二模）若二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：【版权所有：21教育】
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
6
8
6
…
则它的图象与x轴的两个交点横坐标的和为
．
17．（2020?玄武区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1
y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
18．（2020?铁西区二模）二次函
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有
．（填序号）21世纪教育网版权所有
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：21教育网
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
…
（1）二次函数图象的开口方向
，顶点坐标是
，m的值为
；
（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1
y2（填＜、＞、＝）；
（3）当y＜0时，x的取值范围是
；
（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为
．
20．（2020?玄武区二模）已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）．
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值．
21．（2020?南通）已知抛物线y＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．21cnjy.com
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
22．（2020?雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．2·1·c·n·j·y
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．www-2-1-cnjy-com
23．（2020?黑龙江）如图，已知二次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．2-1-c-n-j-y
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
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24．（2020春?南岸区校级月考
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．21
cnjy
com
（1）求AB的长度和点D的坐标；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）点P是第四象限抛物线上一点，当2S△PAC＝S△PAB时，求点P的坐标．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
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