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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.3有关旋转的几何问题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21·cn·jy·com
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2·1·c·n·j·y
1．（2019秋?蕲春县期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则下列说法中，不正确的是（ ）21·世纪
教育网
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A．AB＝AB'
B．∠BAB'＝∠CAC'
C．△ABC≌△AB'C'
D．∠CAB'＝60°
2．（2019秋?涵江区期中）如图，在△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，∠B＝42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B'A∥BC，则∠BAC'的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．24°
B．25°
C．26°
D．27°
3．（2019秋?思明区校级期中）将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB'C'，若∠BAC＝50°，则∠BAC′的度数是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
A．30°
B．50°
C．80°
D．30°或130°
4．（2019秋?道里区校级期中）如图，将△ABC绕点A按逆时针旋转50°后，得到△ADE，则∠ABD的度数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．30°
B．45°
C．65°
D．75°
5．（2019秋?硚口区期中）如图，在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转a°，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论不一定正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠CDF＝a
B．BE＝BF
C．DF＝FC
D．A1F＝CE
6．（2019秋?川汇区期中）如图，在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，∠ACB＝α，将△ABC绕点C顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，使AA′∥BC，设旋转角为β，则α，β满足关系（ ）【版权所有：21教育】
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A．α+β＝90°
B．α+2β＝180°
C．2α+β＝180°
D．α+β＝180°
7．（2019秋?滨海新区期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，将△ADC绕点A按逆时针旋转到△AEF（A、B、E在同一直线上），连接CF，则CF的长为（ ）21cnjy.com
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A．5
B．3
C．4
D．5
8．（2019秋?高安市期中）如图，在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针旋转60°得到△A1B1C1连接BC1，则BC1的长为（ ）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．4
C．5
D．6
9．（2019春?福田区校级期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30o后得到△A1BC1，则图中阴影部分的面积为（ ）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．6
C．9
D．12
10．（2019春?嘉兴期中）如图，O是正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3．其中正确的结论有（ ）21
cnjy
com
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?桐梓县
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°，得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，BE＝4，则EF的长为
．
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12．（2019秋?南昌期中）将正方形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD绕点B顺时针旋转至EBGF，若点E落在如图所示的正方形ABCD的对称轴上，则旋转的角度为
．
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13．（2019秋?涵江区期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，O是AC的中点，把Rt△ABC绕着点O旋转得到Rt△A'B'C'，使得点C的对应点C'恰好落在AB上，则C，C'两点间的距离是
．
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14．（2019秋?东台市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
15．（2019秋?黄陂区期中）如图，在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为
．
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16．（2019春?松江区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，如果等边△ABC的边长为a，那么它所得的“双旋三角形”中B′C′＝
（用含a的代数式表示）．21教育网
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17．（2020?天水）如图，在边长为6的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为
．2-1-c-n-j-y
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18．（2020?滨州）如图，点P是正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为
．21世纪教育网版权所有
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三．解答题（共6小题）
19．（2020春?高唐
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)县期末）如图，在直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，已知A点坐标为（﹣3，﹣2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：【出处：21教育名师】
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1，并写出点D1的坐标；
（3）判断△A1B1C1和△D1E1F1是否是关于某点成为中心对称的图形．若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．www-2-1-cnjy-com
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20．（2020?红花岗区一模）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，点O是边长为4的等边三角形ABC的中心，∠EOF的两边与△ABC的边AB，BC分别交于E、F，∠EOF＝120°．
（1）如图①，当E为AB中点时，求∠EOF与△ABC的边所围成的四边形OEBF的面积；
（2）如图②，∠EOF绕点O旋转．在旋转过程中四边形OEBF的面积会改变吗？请说明理由．
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21．（2020春?茌平县
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）两个大小不等的锐角为45°的三角尺（△ACB和△DCE）如图①所示放置，E，C，A三点在一条直线上，连接AD和BE．21
cnjy
com
（1）试判断线段BE和AD的关系；
（2）当△DCE绕点C顺时针旋转一定角度到如图②所示的位置时，请判断（1）的结果是否还成立，并说明理由．
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22．（2020?龙岩模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CD，CE．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若BC＝10，∠ABC＝45°，连接BE，求△BCE的面积．
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23．（2020春?东西湖区期中）△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．
24．（2020春?开福
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为22时，求正方形的边长．
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精品试卷·第
2
页
（共
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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题3.3有关旋转的几何问题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?蕲春县期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，则下列说法中，不正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．AB＝AB'
B．∠BAB'＝∠CAC'
C．△ABC≌△AB'C'
D．∠CAB'＝60°
【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，即可求解．
【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，
∴AB＝AB'，∠CAB'＜∠BAB'＝60°，
故选：D．
2．（2019秋?涵江区期中）如图，在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC中，∠B＝42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B'A∥BC，则∠BAC'的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．24°
B．25°
C．26°
D．27°
【分析】由旋转的性质得出∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B'＝∠B＝42°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC，由等腰三角形的性质得出∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'，由平行线的性质得出∠B'C'C＝138°，求出∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'69°，再由三角形的外角性质即可得出答案．2-1-c-n-j-y
【解析】由旋转的性质得：∠B'＝∠B＝42°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC，
∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'，
∵B'A∥BC，
∴∠B'+∠B'C'C＝180°，
∴∠B'C'C＝180°﹣42°＝138°，
∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'138°＝69°，
∴∠BAC'＝∠AC'C﹣∠B＝69°﹣42°＝27°；
故选：D．
3．（2019秋?思明区校级期中）将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB'C'，若∠BAC＝50°，则∠BAC′的度数是（ ）
A．30°
B．50°
C．80°
D．30°或130°
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．
【解析】如图1，∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝80°，
又∵∠BAC＝50°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠CAC′＝130°，
如图2，∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝80°，
又∵∠BAC＝50°，
∴∠BAC′＝∠CAC′﹣∠BCA＝80°﹣50°＝30°，
故选：D．
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4．（2019秋?道里区校级期中）如图，将△ABC绕点A按逆时针旋转50°后，得到△ADE，则∠ABD的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．30°
B．45°
C．65°
D．75°
【分析】先根据旋转的性质得AB＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD，∠BAD＝50°，则利用等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，然后根据三角形内角和计算∠ABD的度数．
【解析】∵△ABC绕点A按逆时针旋转50°后，得到△ADC′，
∴AB＝AD，∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
5．（2019秋?硚口区期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转a°，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论不一定正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠CDF＝a
B．BE＝BF
C．DF＝FC
D．A1F＝CE
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ABA1＝∠CBC1＝α，AB＝A1B＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠A1＝∠C1，可证△ABE≌△C1BF，△A1BF≌△CBE，可得BE＝BF，A1F＝CE，由外角性质可得∠CDF＝∠CBC1＝α．
【解析】∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转a°，得到△A1BC1，
∴∠ABA1＝∠CBC1＝α，AB＝A1B＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠A1＝∠C1，
∴△ABE≌△C1BF（ASA）
∴BE＝BF，故B选项不符合题意；
∵∠C＝∠C1，∠DFC＝∠BFC1，
∴∠CDF＝∠CBC1＝α，故A选项不符合题意；
∵A1B＝BC，∠C＝∠A1，∠A1BC＝∠A1BC，
∴△A1BF≌△CBE（ASA）
∴A1F＝CE，故D选项不符合题意；
由∠C不一定等于∠CDF，
∴DF不一定等于FC，
故C选项符合题意；
故选：C．
6．（2019秋?川汇区期中）如图，在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，∠ACB＝α，将△ABC绕点C顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，使AA′∥BC，设旋转角为β，则α，β满足关系（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．α+β＝90°
B．α+2β＝180°
C．2α+β＝180°
D．α+β＝180°
【分析】由旋转的性质和平行线的性质得到∠C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AA′＝∠ACB＝α，AC＝A′C，根据等腰三角形的性质得到∠AA′C＝∠A′AC＝α；根据三角形的内角和即可得到即可．
【解析】当△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，使AA′∥BC，
∴∠CAA′＝∠ACB＝α，AC＝A′C，
∴∠AA′C＝∠A′AC＝α；
∴∠ACA′＝180°﹣∠CAA′﹣∠CA′A＝180°﹣2α＝β，
∴2α+β＝180°，
故选：C．
7．（2019秋?滨海新区期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，将△ADC绕点A按逆时针旋转到△AEF（A、B、E在同一直线上），连接CF，则CF的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．5
B．3
C．4
D．5
【分析】由于△ADC按逆时针方向绕点A旋转到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△AEF，显然△ADC≌△AEF，则有∠EAF＝∠DAC，AF＝AC，那么∠EAF+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠FAC＝∠BAD＝90°．在Rt△ACD中，利用勾股定理可求AC，同理在Rt△FAC中，利用勾股定理可求CF．【版权所有：21教育】
【解析】∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，
∴△ADC≌△AEF，
∴∠EAF＝∠DAC，AF＝AC，
∴∠EAF+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
∴∠FAC＝∠BAD，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
又∵在Rt△ADC中，AC5，
∴在Rt△FAC中，CF5，
故选：D．
8．（2019秋?高安市期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针旋转60°得到△A1B1C1连接BC1，则BC1的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据旋转的定义和性质可得∠BAC1＝90°，在Rt△BAC1中利用勾股定理可求BC1的值．
【解析】根据旋转的定义和性质可得AC1＝AC＝3，∠B1AC1＝∠BAC＝30°，∠BAB1＝60°．
所以∠BAC1＝90°．
所以在Rt△BAC1中，利用勾股定理可得BC15．
故选：C．
9．（2019春?福田区校级期中）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30o后得到△A1BC1，则图中阴影部分的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．6
C．9
D．12
【分析】根据旋转的性质得到△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
【解析】∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∴S△A1BA6×3＝9，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝9．
故选：C．
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10．（2019春?嘉兴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3．其中正确的结论有（ ）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；www.21-cn-jy.com
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′3×442＝6+4，故结论④错误．
【解析】如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═3×442＝6+4，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?桐梓县期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°，得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，BE＝4，则EF的长为 2 ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】由正方形的性质可得B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝CD，∠BCD＝90°，由直角三角形的性质可得CE＝2，由旋转的性质可得EC＝CF＝2，∠ECF＝90°，即可求解．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，且∠BEC＝60°，
∴∠EBC＝30°，且∠BCD＝90°，BE＝4，
∴CEBE＝2，
∵将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°，
∴EC＝CF＝2，∠ECF＝90°，
∴EFEC＝2，
故答案为2．
12．（2019秋?南昌期中）将正方形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D绕点B顺时针旋转至EBGF，若点E落在如图所示的正方形ABCD的对称轴上，则旋转的角度为 30° ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】解直角三角形求出∠EBM即可解决问题．
【解析】如图，
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由题意，在Rt△EMB中，BE＝AB＝2BM，
∴cos∠EBM，
∴∠EBM＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∴旋转的角度为30°．
故答案为30°．
13．（2019秋?涵江区期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，O是AC的中点，把Rt△ABC绕着点O旋转得到Rt△A'B'C'，使得点C的对应点C'恰好落在AB上，则C，C'两点间的距离是 4 ．
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【分析】由旋转的性质可得A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝A'C'，AO＝CO，A'O＝C'O，通过证明四边形AC'CA'是矩形，可得∠CC'A＝90°，由直角三角形的性质可求解．
【解析】如图，连接A'A，A'C，
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∵O是AC的中点，
∴OC＝AO，
∵把Rt△ABC绕着点O旋转得到Rt△A'B'C'，
∴AC＝A'C'，AO＝CO，A'O＝C'O，
∴四边形AC'CA'是平行四边形，且AC＝A'C'，
∴四边形AC'CA'是矩形，
∴∠CC'A＝90°，且∠CAB＝30°，AC＝8，
∴CC'＝4，
故答案为：4．
14．（2019秋?东台市期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．21
cnjy
com
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【分析】由题意分析可知，点F为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
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将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HEEC
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故答案为：．
15．（2019秋?黄陂区期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．
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【分析】作CM⊥AB于M，EN
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)⊥AB于N，根据AAS证得△EDN≌△DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝1，得到BM＝3，设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE（3﹣x）（x﹣1.5）2，根据二次函数的性质即可求得．
【解析】作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在△EDN和△DCM中
∴△EDN≌△DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AMAC2＝1，
∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，
设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，
∴S△BDE（3﹣x）（x﹣1.5）2，
∴当BD＝1.5时，S△BDE有最大值为，
故答案为．
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16．（2019春?松江区期中）如图，将
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，如果等边△ABC的边长为a，那么它所得的“双旋三角形”中B′C′＝ （用含a的代数式表示）．【来源：21·世纪·教育·网】
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【分析】利用△ABC为等边三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形得到AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，再利用“双旋三角形”的定义得到α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，所以∠B′AC＝120°，作AH⊥B′C′于H，如图，则B′H＝C′H，然后计算出B′H即可得到B′C′的长．
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，
∵△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，
∴α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，
∴∠B′AC＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
作AH⊥B′C′于H，如图，则B′H＝C′H，
在Rt△AB′H中，AHAB′a，
∴B′HAHa，
∴B′C′＝2A′Ha．
故答案为a．
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17．（2020?天水）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．21·世纪
教育网
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【分析】根据旋转的性质可知，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以求出BE的长，本题得以解决．
【解析】
法一：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2，
法二：设BE＝x，连接GF，如下图所示，
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∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠GCF＝90°，
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠CAF＝90°，GA＝FA，
∴△GAF为等腰直角三角形，
∵∠EAF＝45°，
∴AE垂直平分GF，
∴∠AEB+∠CGF＝90°，
∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CGF，
∴△BAE∽△CGF，
∴，
∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，
∴，
∴x＝2，
即BE＝2，
故答案为：2．
18．（2020?滨州）如图，点P是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为 14+4 ．21教育网
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【分析】如图，将△ABP绕点B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．www-2-1-cnjy-com
【解析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
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∵BP＝BM，∠PBM＝90°，
∴PMPB＝2，
∵PC＝4，PA＝CM＝2，
∴PC2＝CM2+PM2，
∴∠PMC＝90°，
∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CMB＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPM＝180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH＝HM，
∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝21，
∴AB2＝AH2+BH2＝（21）2+12＝14+4，
∴正方形ABCD的面积为14+4．
解法二：连接AC，利用勾股定理求出AC即可．
故答案为14+4．
三．解答题（共6小题）
19．（2020春?高唐县期末）如图，在直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，已知A点坐标为（﹣3，﹣2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：21世纪教育网版权所有
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1，并写出点D1的坐标；
（3）判断△A1B1C1和△D1E1F1是否是关于某点成为中心对称的图形．若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．21
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【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出D、E、F的对应点D1、E1、F1即可；
（3）连接C1F1、B1D1、A1E1，它们相交于一点，从而可判断△A1B1C1和△D1E1F1关于这点成中心对称．【来源：21cnj
y.co
m】
【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作，B1的坐标为（﹣4，1）；
（2）如图，△D1E1F1为所作，D1的坐标为（2，﹣3）；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1是关于点（﹣1，﹣1）成为中心对称的图形．
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20．（2020?红花岗区一模）如图，点O是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边长为4的等边三角形ABC的中心，∠EOF的两边与△ABC的边AB，BC分别交于E、F，∠EOF＝120°．
（1）如图①，当E为AB中点时，求∠EOF与△ABC的边所围成的四边形OEBF的面积；
（2）如图②，∠EOF绕点O旋转．在旋转过程中四边形OEBF的面积会改变吗？请说明理由．
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【分析】（1）连接OB，由等边三角形的性质可得∠ABO＝∠CBO＝30°，分别求出OE，OF的长，由面积公式可求解；
（2）连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由“ASA”可证△EOB≌△FOC，可得S△EOB＝S△FOC，由面积公式可求解．
【解析】（1）连接OB，
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∵点O是边长为4的等边三角形ABC的中心，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∵当E为AB中点时，
∴AE＝BE＝2，OE⊥AB，
∴∠BOE＝60°，OE，
∵∠EOF＝120°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠BFO＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BF＝CF＝2，
∴OF，
∴四边形OEBF的面积22；
（2）不变，
理由如下：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，
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∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O为△ABC的中心
∴∠OBC＝∠OBA∠ABC，∠OCB∠ACB．
∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．
∴OB＝OC．∠BOC＝120°，
∵ON⊥BC，BC＝4，
∴BN＝NC＝2，
∴ON＝tan∠OBC?BN2，
∴S△OBCBC?ON，
∵∠EOF＝∠BOC＝120°，
∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴S△EOB＝S△FOC，
∴S四边形OEBF＝S△OBC．
21．（2020春?茌平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)县期末）两个大小不等的锐角为45°的三角尺（△ACB和△DCE）如图①所示放置，E，C，A三点在一条直线上，连接AD和BE．
（1）试判断线段BE和AD的关系；
（2）当△DCE绕点C顺时针旋转一定角度到如图②所示的位置时，请判断（1）的结果是否还成立，并说明理由．
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【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，由角的数量关系可证BE⊥AD；
（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，由角的数量关系可证BE⊥AD．
【解析】（1）BE＝AD，BE⊥AD，
如图①，延长EB交AD于F，
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∵AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝90°，CE＝CD，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，
∵∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠BEC+∠DAC＝90°＝∠DFB，
∴BE⊥AD；
（2）仍然成立，
理由如下：
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∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠BEC+∠DEB+∠EDC＝90°，
∴∠DEB+∠EDC+∠CDA＝90°＝∠EFA，
∴BE⊥AD．
22．（2020?龙岩模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CD，CE．21cnjy.com
（1）求证：AB＝CD；
（2）若BC＝10，∠ABC＝45°，连接BE，求△BCE的面积．
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【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB，AC＝AE，∠CAE＝60°，∠DEA＝∠ACB＝30°，由“SAS”可证△AED≌△CED，可得AD＝CD＝AB；21·cn·jy·com
（2）过点A作AF⊥BC于F，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质，先求出BF的长，可得CE的长，由三角形面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠CAE＝60°，∠DEA＝∠ACB＝30°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC，∠ACE＝∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠CED＝30°，
又∵DE＝DE，AE＝EC，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴AD＝CD，
∴CD＝AD；
（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，
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设BF＝x，
∵∠ABC＝45°，AF⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝x，
∵∠ACB＝30°，∠ACE＝60°，AF⊥BC，
∴∠BCE＝90°，AC＝2x，CFx，
∴CE＝AC＝2x，
∵BF+CF＝BC＝10，
∴xx＝10，
∴x＝55，
∴EC＝2x＝1010，
∴△BCE的面积BC×CE10×（1010）＝5050．
23．（2020春?东西湖区期中）△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．
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（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．
【分析】（1）由SAS证得△EAC≌△BAD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，得出CE＝BD，由∠ACD＝60°，∠ACB＝30°，得出∠BCD＝90°，由勾股定理得出BD10，即可得出结果；
（2）取BC的中点E，连接AE，证
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)明△ABE是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠EAC＝∠ECA＝30°，求出∠BCD＝90°，∠BAC＝90°，由勾股定理得出AC＝CD＝4，BD4．
【解析】（1）∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD＝CD，∠EAB＝∠DAC＝∠ACD＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD，
∵∠ACD＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，∵CD＝AC＝6，BC＝8，
∴BD10，
∴CE＝BD＝10；
（2）取BC的中点E，连接AE，如图②所示：
∵BC＝8，
∴BE＝CEBC＝4，
∵AB＝4，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AE＝BE＝4＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠ECA+∠ACD＝30°+60°＝90°，∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
由勾股定理得：AC＝CD4，
∴BD4．
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24．（2020春?开福区校级月考）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为22时，求正方形的边长．
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【分析】（1）由题意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；【出处：21教育名师】
（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长线于F，由题意求出∠EBF＝30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为2．21教育名师原创作品
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，2·1·c·n·j·y
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
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∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BFx，EF．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝（22）2．
解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去负值）．
∴正方形的边长为2．
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精品试卷·第
2
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