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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题4.7切线的判定与性质
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21·cn·jy·com
1．（2019秋?睢宁县期中）如图，AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB＝29°，则∠P等于（ ）2-1-c-n-j-y
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A．29°
B．30°
C．31°
D．32°
2．（2020?桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
3．（2020?思明区校级二模）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠APB等于（ ）
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A．50°
B．120°
C．100°
D．80°
4．（2020?南关区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．50°
B．60°
C．65°
D．75°
5．（2020?丰泽区校级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)模拟）如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（ ）
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A．18°
B．27°
C．36°
D．54°
6．（2020?渝中区校级二模
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，△ABC为圆O的一个内接三角形，过点B作圆O的切线PB与OA延长线交于点P，连接OB，已知∠ACB＝34°，则∠P＝（ ）【版权所有：21教育】
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A．17°
B．27°
C．32°
D．22°
7．（2019秋?天心区校级月考）如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（ ）
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A．3
B．4
C．
D．
8．（2020?徐州）如图，AB是⊙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
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A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
9．（2020?南京）如图，在平面直角坐标系
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．（9，2）
B．（9，3）
C．（10，2）
D．（10，3）
10．（2019?弥勒市二模
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（﹣3，0），经过A、O两点作半径为的⊙C，交y轴的负半轴于点B．过B点作⊙C的切线交x轴于点D，则D点的坐标为（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．（，0）
B．（5，0）
C．（，0）
D．（，0）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?镇江期中）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝
°．
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12．（2020?苏州）如图，已知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是
°．【出处：21教育名师】
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13．（2020?玄武区二模）如图，?ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝
．
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14．（2020?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝
．21·世纪
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15．（2020?余姚市模
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为
．
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16．（2020?岳阳模拟）如图，以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是
．21cnjy.com
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17．（2019秋?章贡区期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为
．21
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com
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18．（2020?连云港一模）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在平面直角坐标系中，已知C（2，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则线段AB长度的最大值为
．
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?亳州二模）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线CF交BD延长线于点C．www.21-cn-jy.com
（Ⅰ）若∠C＝25°，求∠BAF的度数；
（Ⅱ）若AB＝AC，CD＝2，求AB的长．
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20．（2020春?锡山区期中）如图，AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝2.5，MB＝3，求AD的长．
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21．（2019秋?新北区期中）如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线CD为⊙P的切线．21世纪教育网版权所有
（1）试说明：2∠B+∠DAB＝180°
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．
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22．（2020?新宾县二模）如图，AB是⊙O直径，CD为⊙O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D．2·1·c·n·j·y
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O半径为5，CD＝4，求AD的长．
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23．（2019秋?宿豫区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．21
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（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．
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24．（2019秋?建湖县期中）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥PA，PE交OC的延长线于点E．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：OE＝PE；
（2）连接BC并延长交PE于点D，PA＝AB，且CE＝9，求PE的长．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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专题4.7切线的判定与性质
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．（2019秋?睢宁县期中）如图，AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB＝29°，则∠P等于（ ）21教育名师原创作品
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A．29°
B．30°
C．31°
D．32°
【分析】连接OC，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．
【解析】连接OC，
∴∠CAB＝29°，
∴∠COP＝2∠CAB＝58°，
∵PC切半圆于点C，
∴∠OCP＝90°，
∴∠P＝90°﹣58°＝32°，
故选：D．
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2．（2020?桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
【分析】由“AC与⊙O相切于点A“得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB＝∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【解析】∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
3．（2020?思明区校级二模）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠APB等于（ ）
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A．50°
B．120°
C．100°
D．80°
【分析】连接OA、OB，如图，根据切线的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，则利用四边形内角和得到∠AOB+∠P＝180°，再根据圆周角定理得到∠AOB＝100°，然后计算∠P的度数．
【解析】连接OA、OB，如图，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，
∴∠P＝180°﹣100°＝80°．
故选：D．
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4．（2020?南关区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．50°
B．60°
C．65°
D．75°
【分析】根据切线的性质，由PD切⊙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以∠A∠COD＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．
【解析】∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COD＝∠A+∠ACO，
∴∠A∠COD＝25°，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．
故选：C．
5．（2020?丰泽区校级模拟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（ ）21
cnjy
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A．18°
B．27°
C．36°
D．54°
【分析】连接BC，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到∠ABP＝90°，求出∠BAP，根据圆周角定理解答即可．
【解析】连接BC，
∵BP是⊙O的切线，
∴AB⊥BP，
∴∠ABP＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°，
故选：C．
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6．（2020?渝中区校级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二模）如图，△ABC为圆O的一个内接三角形，过点B作圆O的切线PB与OA延长线交于点P，连接OB，已知∠ACB＝34°，则∠P＝（ ）
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A．17°
B．27°
C．32°
D．22°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线性质即可得到结论．
【解析】∵∠ACB＝34°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝68°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOB＝22°，
故选：D．
7．（2019秋?天心区校级月考）如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（ ）
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A．3
B．4
C．
D．
【分析】设⊙O与PB相切于点C，连接OC，由切线的性质得出PB⊥OC，由直角三角形的性质得出OP＝2OC＝2×2＝4即可．
【解析】设⊙O与PB相切于点C，连接OC，如图所示：
∵⊙O与PB相切于点C，
∴PB⊥OC，OC＝2，
∵∠APB＝30°，
∴OP＝2OC＝2×2＝4；
故选：B．
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8．（2020?徐州）如图，AB是⊙O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
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A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
【分析】先利用对顶角相等和互
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然后根据切线的性质得到OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC的度数．
【解析】∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
9．（2020?南京）如图，在平面直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（ ）
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A．（9，2）
B．（9，3）
C．（10，2）
D．（10，3）
【分析】设⊙O与x、y轴相切的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9，
∴D（9，2）．
故选：A．
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10．（2019?弥勒市二模）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（﹣3，0），经过A、O两点作半径为的⊙C，交y轴的负半轴于点B．过B点作⊙C的切线交x轴于点D，则D点的坐标为（ ）21cnjy.com
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A．（，0）
B．（5，0）
C．（，0）
D．（，0）
【分析】先求出OB长，证明△AOB∽△BOD，得比例线段，求出线段OD长，则D点坐标可求．
【解析】∵点A的坐标为（﹣3，0），⊙C的半径为，
∴OA＝3，AB＝5，
∴4，
∵BD是⊙C的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠OBD＝∠OAB，
∴△AOB∽△BOD，
∴，
∴，
∴，
∴D（），
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?镇江期中）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝ 65 °．21世纪教育网版权所有
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【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，利用互余得到∠OCB＝65°，然后根据等腰三角形的性质得到∠B的度数．
【解析】连接OC，如图，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°．
故答案为：65．
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12．（2020?苏州）如图，已知AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是 25 °．
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【分析】先根据切线的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得∠OAC＝90°，再利用互余计算出∠AOC＝90°﹣∠C＝50°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性质得∠OBD∠AOC＝25°．
【解析】∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OBD∠AOC＝25°，
即∠ABD的度数为25°，
故答案为：25．
13．（2020?玄武区二模）如图，?ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝ 15° ．【版权所有：21教育】
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【分析】连接OA、OC，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据切线的性质得∠OAB＝∠OCB＝90°，再利用四边形内角和计算出∠AOC＝130°，则利用圆周角定理得到∠AEC＝65°，接着根据平行四边形的性质得到∠D＝50°，然后利用三角形外角性质计算∠DAE的度数．
【解析】连接OA、OC，如图，
∵AB、BC分别切⊙O于点A、C，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠AEC∠AOC＝65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°，
∵∠AEC＝∠DAE+∠D，
∴∠DAE＝65°﹣50°＝15°．
故答案为15°．
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14．（2020?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．2·1·c·n·j·y
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【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
【解析】∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵，
∴∠B∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
15．（2020?余姚市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为 或 ．
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【分析】作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据勾股定理求出AC，分⊙P与AD相切、⊙P与AB相切相切两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算．
【解析】作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，AC5，
由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，
当⊙P与AD相切时，PE＝PC，
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴，即，
解得，CP，
当⊙P与AB相切时，PF＝PC，
∵PF⊥AB，CB⊥AB，
∴PF∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴，即，
解得，CP，
综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长或，
故答案为：或．
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16．（2020?岳阳模拟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是 ①②③④⑤ ．
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【分析】连接AD，根据三角形中位线定理得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到OD∥BC，①正确；根据圆周角定理得到∠ADB＝90°＝∠ADC，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，②正确；根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线，④正确；根据余角的性质得到∠EDA＝∠ODB，
根据等腰三角形的性质得到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠B＝∠ODB，求得∠EDA＝∠B，⑤正确；根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AB，求得OAAC，③不正确
【解析】连接AD，
∵D为BC中点，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，①正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
即AD⊥BC，又BD＝CD，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝∠C，②正确；
∵DE⊥AC，且DO∥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA＝90°，
∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵OA＝OBAB，
∴OAAC，
∴③正确，
故答案为：①②③④⑤．
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17．（2019秋?章贡区期中）如图，P是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 （2，1）或（2，1）或（2，﹣1） ．21教育网
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【分析】由⊙P与直线y＝0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相切时就是：⊙P与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P的纵坐标|y|＝1，根据P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，代入计算出x的值，并写出点P的坐标．
【解析】当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x＝2±，
∴P（2，1）或（2，1），
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当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，﹣1），
则点P的坐标为：（2，1）或（2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（2，1）或（2，1）或（2，﹣1）．
18．（2020?连云港一模）如图，在平面直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角坐标系中，已知C（2，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则线段AB长度的最大值为 44 ．www-2-1-cnjy-com
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【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP，则AB的最大长度为44．
【解析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，【来源：21cnj
y.co
m】
∵C（2，4），
∴OC2，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为2，
∴OP＝OA＝OB＝22，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为44，
故答案为44．
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?亳州二模）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线CF交BD延长线于点C．
（Ⅰ）若∠C＝25°，求∠BAF的度数；
（Ⅱ）若AB＝AC，CD＝2，求AB的长．
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【分析】（Ⅰ）连接OA，AD，根据切线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质得到OA⊥CF，求得∠OAC＝90°，根据三角形的内角和得到∠COA＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝32.5°，于是得到结论；
（Ⅱ）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，求得∠C＝30°，根据直角三角形的性质得到OAOC，于是得到结论．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】（Ⅰ）连接OA，AD，
∵CF是⊙O的切线，
∴OA⊥CF，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝25°，
∴∠COA＝65°，
∵∠COA＝∠B+∠OAB，OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∴∠OAB＝32.5°，
∴∠BAF＝∠OAF﹣∠OAB＝90°﹣32.5°＝57.5°；
（Ⅱ）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠COA＝2∠B，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OAOC，
∵OA＝OD，
∴，
∴．
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20．（2020春?锡山区期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝2.5，MB＝3，求AD的长．
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【分析】（1）根据切线的性质得出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠EAM＝90°，等腰三角形的性质∠MAB＝∠AMB，根据等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，即可证得AB＝BE；21
cnjy
com
（2）连接BC，证明△ABC∽△EAM，由比例段求出AM的长，则答案可求出．
【解答】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE；
（2）解：连接BC，
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∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠EAM，
在Rt△ABC中，AC＝5，BM＝AB＝3，
∴BC4，
∵BE＝AB＝BM，
∴EM＝6，
由（1）知，∠BAE＝∠AEB，
∴△ABC∽△EAM，
∴，∠AMB＝∠C，
即，
∴AM，
又∵∠C＝∠D，
∴∠AMB＝∠D，
∴AD＝AM．
21．（2019秋?新北区期中）如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线CD为⊙P的切线．
（1）试说明：2∠B+∠DAB＝180°
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．
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【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理，可得∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，证得∠DAB+∠APC＝180°，则结论得证；2-1-c-n-j-y
（2）连接AC，证得△ACP是等边三角形，可得AC＝PA，∠ACP＝60°，可求出AC长，PA长，则⊙P的半径可求出．
【解析】（1）连接CP，
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∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∴∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，
∵CD是⊙OP的切线，
∴∠DCP＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAB+∠APC＝180°
∴2∠B+∠DAB＝180°；
（2）解：连接AC，
∵∠B＝30°，
∴∠APC＝60°，
∵PC＝PA，
∴△ACP是等边三角形，
∴AC＝PA，∠ACP＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝4，
∴PA＝4．
即⊙P的半径为4．
22．（2020?新宾县二模）如图，AB是⊙O直径，CD为⊙O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D．www.21-cn-jy.com
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O半径为5，CD＝4，求AD的长．
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【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥CD，根据CD⊥AD，则OC∥AD，所以∠DAC＝∠ACO，然后证明∠DAC＝∠CAO即可；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，则四边形OEDC是矩形，由勾股定理可求出AE长，则AD长可求出．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
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∵直线CD切半圆O于点C，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）如图2，过点O作OE⊥AD于点E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵∠OCD＝∠OED＝∠CDE＝90°，
∴四边形OEDC是矩形，
∴DC＝OE＝4，
∴3，
∴AD＝AE+DE＝3+5＝8．
23．（2019秋?宿豫区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．
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【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可；
（2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AD．
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∵点D为弧BC的中点，
∴，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r，
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∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
24．（2019秋?建湖县期中）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥PA，PE交OC的延长线于点E．【出处：21教育名师】
（1）求证：OE＝PE；
（2）连接BC并延长交PE于点D，PA＝AB，且CE＝9，求PE的长．
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【分析】（1）欲证明OE＝PE，只要证明∠EOP＝∠EPO即可；
（2）设OA＝r．在Rt△PCE中，利用勾股定理构建方程求出r，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵EP⊥PA，
∴EP∥BA，
∴∠EPO＝∠AOP，
∴∠EOP＝∠EPO，
∴OE＝PE．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥ED，
∴∠EDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴EC＝ED＝9，
∵EO＝EP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCE＝90°，
在Rt△PCE中，∵PE2＝PC2+EC2，
∴（9+r）2＝92+（2r）2，
解得：r＝6或0（舍弃），
∴PE＝15．
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精品试卷·第
2
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