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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题4.8三角形的内切圆与切线长定理
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21·世纪
教育网
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?官渡区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．40°
B．140°
C．70°
D．80°
2．（2019秋?西城区校级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3cm
B．3cm
C．6cm
D．6cm
3．（2019秋?江宁区期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB+CD的值是（ ）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．14
B．12
C．9
D．7
4．（2019秋?黄冈期末）如图，PA，P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．
B．
C．
D．
5．（2019?深圳模拟）如图，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．32°
B．48°
C．60°
D．66°
6．（2019秋?阜宁县期中）如图，⊙O为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．9
B．7
C．11
D．8
7．（2019?宜兴市二模
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）21
cnjy
com
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A．10
B．18
C．20
D．22
8．（2018秋?龙岩期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．50°
B．62°
C．66°
D．70°
9．（2020?随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）21教育名师原创作品
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A．h＝R+r
B．R＝2r
C．ra
D．Ra
10．（2019秋?锡山区期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，﹣6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ）
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A．2s
B．3s
C．2s或4s
D．3s或4s
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?睢宁县期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在AB上，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为
．2-1-c-n-j-y
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12．（2019秋?亭湖区校级期中）若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为
．
13．（2019秋?沛县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝
．【版权所有：21教育】
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14．（2020?铜山区二模）如图，点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝
°．www-2-1-cnjy-com
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15．（2020?青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝
．
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16．（2020?泰州）如图所示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为
．
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17．（2020?达州）已知△ABC的三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝419，则△ABC的内切圆半径＝
．21教育网
18．（2019秋?建邺区期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是
．
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?拱墅区校级期末）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
20．（2019秋?江油市期末）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．21世纪教育网版权所有
（1）求⊙O半径的长．
（2）求证：BC＝BI．
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21．（2019秋?番禺区期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．21·cn·jy·com
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
22．（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：www.21-cn-jy.com
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
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23．（2018?硚口区模拟）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．【出处：21教育名师】
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
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24．（2020?雨花区校级模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．21
cnjy
com
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．
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精品试卷·第
2
页
（共
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专题4.8三角形的内切圆与切线长定理
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?官渡区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．40°
B．140°
C．70°
D．80°
【分析】连接OA，OB根据
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解析】∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB∠AOB＝70°．
故选：C．
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2．（2019秋?西城区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)校级期中）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3cm
B．3cm
C．6cm
D．6cm
【分析】先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的半径．21世纪教育网版权所有
【解析】设圆心为O，
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB∠CAB＝60°，
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的半径是3cm．
故选：B．
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3．（2019秋?江宁区期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB+CD的值是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．14
B．12
C．9
D．7
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【解析】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD+BC＝AF+DF+BH+CH＝AE+BE+DG+CG＝AB+CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB+CD＝AD+BC＝7，
故选：D．
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4．（2019秋?黄冈期末）如图，PA，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）【来源：21cnj
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A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．
【解析】∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA．
故选：A．
5．（2019?深圳模拟）如图，AB是⊙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）21·cn·jy·com
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A．32°
B．48°
C．60°
D．66°
【分析】根据切线长定理可知CA＝CD，求出∠CAD，再证明∠DBA＝∠CAD即可解决问题．
【解析】∵CA、CD是⊙O的切线，
∴CA＝CD，
∵∠ACD＝48°，
∴∠CAD＝∠CDA＝66°，
∵CA⊥AB，AB是直径，
∴∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAD＝66°，
故选：D．
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6．（2019秋?阜宁县期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
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A．9
B．7
C．11
D．8
【分析】设AB，AC，BC和圆的切点分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)别是P，N，M．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
【解析】设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QF+DQ＝2x＝11．
故选：C．
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7．（2019?宜兴市二模）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
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A．10
B．18
C．20
D．22
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．
【解析】∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10
＝20．
故选：C．
8．（2018秋?龙岩期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．50°
B．62°
C．66°
D．70°
【分析】由PA、PB、CD分别切⊙O于A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE＝CA，DE＝DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE∠PCD，∠PBE∠PDC，继而求得∠PAE+∠PBE的度数．
【解析】∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，
∴CE＝CA，DE＝DB，
∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，
∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，
∴∠CAE∠PCD，∠DBE∠PDC，
即∠PAE∠PCD，∠PBE∠PDC，
∵∠P＝40°，
∴∠PAE+∠PBE∠PCD∠PDC（∠PCD+∠PDC）（180°﹣∠P）＝70°．
故选：D．
9．（2020?随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．h＝R+r
B．R＝2r
C．ra
D．Ra
【分析】根据等边三角形的内切圆和外接圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是同心圆，设圆心为O，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得：R＝2r；等边三角形的高是R与r的和，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
设OE＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R+r，故A正确；
∵AD⊥BC，
∴∠DAC∠BAC60°＝30°，
在Rt△AOE中，
∴R＝2r，故B正确；
∵OD＝OE＝r，
∵AB＝AC＝BC＝a，
∴AEACa，
∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，
∴r，Ra，故C错误，D正确；
故选：C．
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10．（2019秋?锡山区期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，﹣6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ）
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A．2s
B．3s
C．2s或4s
D．3s或4s
【分析】由题意可求OP＝2，分圆心P在x轴下方和x轴上方两种情况讨论可求解．
【解析】∵⊙P与x轴相切
∴OP＝2
当点P在x轴下方，即点P（0，﹣2）
∴t2s
当点P在x轴上方，即点P（0，2）
∴t4s
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?睢宁县期中）如图，P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在AB上，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为 20 ．21cnjy.com
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【分析】根据切线长定理求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，代入求出△PDE的周长为2PB，代入即可．
【解析】∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+PE+BE
＝PA+PB
＝2PB＝20．
答：△PED的周长是20．
故答案为：20．
12．（2019秋?亭湖区校级期中）若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为 2或1 ．
【分析】首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE，分两种情况，问题即可解决．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；半径为r，
连接OD、OF；
则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD＝CF＝r；
①当AC＝8，BC＝6时，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，
∴AB＝10；
由切线长定理得：AF＝AE，BD＝BE；
∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，
∴r＝2；
②当AB＝8，AC＝6，则BC2，
∴r（26﹣8）1；
它的内切圆半径为2或1．
故答案为：2或1
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13．（2019秋?沛县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝ 55° ．21·世纪
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【分析】连接OE，OF．由三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形内角和定理可求得∠A＝70°，由切线的性质可知：∠OFA＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝110°由圆周角定理可求得∠EDF＝55°．21教育名师原创作品
【解析】如图所示，连接OE，OF．
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∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA＝90°．
同理∠OEA＝90°．
∴∠A+∠EOF＝180°．
∴∠EOF＝110°．
∴∠EDF＝55°，
故答案为：55°．
14．（2020?铜山区二模）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝ 55 °．21
cnjy
com
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【分析】由三角形的内心的性质可得∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解．
【解析】∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI55°
故答案为：55．
15．（2020?青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ 1 ．
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【分析】在△ABC中，∠C＝90°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
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连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
则△ABC的内切圆半径r＝1．
故答案为：1．
16．（2020?泰州）如图所示的网格
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为 （2，3） ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】根据点A、B、C在直角坐标
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定△ABC内心的坐标即可．
【解析】如图，点I即为△ABC的内心．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
17．（2020?达州）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝419，则△ABC的内切圆半径＝ 1 ．2·1·c·n·j·y
【分析】由非负性可求a，b，c的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，由面积法可求△ABC的内切圆半径．21
cnjy
com
【解析】∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝419，
∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，
∴c＝3，a＝4，b＝5，
∵32+42＝25＝52，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
设内切圆的半径为r，
根据题意，得S△ABC3×43×r4×rr×5，
∴r＝1，
故答案为：1．
18．（2019秋?建邺区期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是 ．
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【分析】作AD⊥BC于D，过D作⊙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A的一条切线，切点为E，连接AE，由等边三角形的性质和勾股定理得出AD2，由切线的性质得出AE⊥DE，由勾股定理求出DE，当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小．
【解析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BC＝AB＝4，BD＝CDBC＝2，
∴AD2，
∵DE是⊙A的一条切线，
∴AE⊥DE，AE＝1，
∴DE，
当点M与D重合时，N与E重合，
此时MN最小，
故答案为：．
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?拱墅区校级期末）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
【分析】（1）由于三角形ABC是等腰三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD＝30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解．21教育网
【解析】（1）如图，过A作AD⊥BC于D
则AD＝30，BD＝CD＝40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴，
解得：r；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD＝CD＝40，AD30，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2＝402+（R﹣30）2，
∴R；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．
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20．（2019秋?江油
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．
（1）求⊙O半径的长．
（2）求证：BC＝BI．
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【分析】（1）根据AC是⊙的直径，可得∠ADC＝90°＝∠ABC，再根据已知条件证明AB＝BC，根据勾股定理即可求得半径；
（2）连结AI，根据I是△ADC的内心．可得∠DAI＝∠CAI，再证明AB＝BI，进而可以证明BC＝BI．
【解析】（1）∵AC是⊙的直径，
∴∠ADC＝90°＝∠ABC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
又∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∴，
∴AB＝BC
∵AB＝2，
∴
∴⊙O的半径为；
（2）连结AI，
∵I是△ADC的内心．
∴∠DAI＝∠CAI，
∠AIB＝∠DAI+∠ADI，
∠BAI＝∠BAC+∠CAI，
∵∠BAC＝∠ADI，
∴∠BAI＝∠AIB，
∴AB＝BI，
即BC＝BI．
21．（2019秋?番禺区期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
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22．（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：【出处：21教育名师】
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
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【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．
【解析】（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA∠ACD；
同理：∠ODE∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
23．（2018?硚口区模拟）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．2-1-c-n-j-y
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可；
（2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四边形OPDB是平行四边形，求出OP即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
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24．（2020?雨花区校级模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）连接AO，并延长AO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交⊙O于点F，连接CF，由圆周角定理可得∠ACF＝90°，可得∠F+∠FAC＝90°，由∠EAC＝∠ABC，可得∠EAC+∠FAC＝90°，即可得结论；
（2）①由垂径定理可得OD⊥AB，AD＝BD＝8，由勾股定理可求⊙O的半径；
②作∠CAB的平分线交CD于点H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，由角平分线的性质可得HM＝HN＝HD，由三角形的面积公式可求HD的值，即可求△ABC的内心到点O的距离．
【解析】（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵AF是直径
∴∠ACF＝90°
∴∠F+∠FAC＝90°，
∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC
∴∠EAC＝∠F
∴∠EAC+∠FAC＝90°
∴∠EAF＝90°，且AO是半径
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）①如图，连接AO，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵D为AB的中点，OD过圆心，
∴OD⊥AB，AD＝BDAB＝8，
∵AO2＝AD2+DO2，
∴AO2＝82+（AO﹣6）2，
∴AO，
∴⊙O的半径为；
②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，
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∵OD⊥AB，AD＝BD
∴AC＝BC，且AD＝BD
∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB
∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB
∴MH＝NH＝DH
在Rt△ACD中，ACBC，
∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，
∴16×610×MH16×DH10×NH，
∴DH，
∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），
∴OH（6）═5．
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精品试卷·第
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