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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题4.5点与圆的位置关系
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．（2019秋?南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O上
D．不能确定
2．（2019秋?思明区校级期中）平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
A．6或10
B．3或5
C．6
D．5
3．（2020春?鹿城区校级期中）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）【版权所有：21教育】
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
4．（2019秋?思明区校级期中）若⊙O半径为1，点P到圆心O的距离为d，关于的方程x2﹣2x+d＝0有两个实数根，则点P在（ ）21
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A．⊙O的内部
B．⊙O上
C．⊙O的外部
D．在⊙O上或⊙O的内部
5．（2019秋?霍林郭勒市期末）下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有（ ）
①任意三点确定一个圆
②相等的圆心角所对的弧相等
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．（2020?夷陵区模拟）如图，方格纸
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）21cnjy.com
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A．（0，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（﹣1，﹣1）
D．（﹣1，﹣2）
7．（2019秋?太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（ ）
A．15
B．7.5
C．6
D．3
8．（2019?碑林区校级模拟）如图，△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC为⊙O内接等边三角形，将△ABC绕圆心O旋转30°到△DEF处，连接AD，AE，则∠EAD的度数为（ ）【出处：21教育名师】
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A．150°
B．135°
C．120°
D．105°
9．（2019秋?相城区期中）如图，⊙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．3
B．5
C．3
D．6
10．（2019?平阳县一模）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，等边△ABC的边长为4，点O是△ABC的外心，∠FOG＝120°．绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、CD于D、E两点．连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE；④△BDE周长的最小值为4．上述结论中正确的个数是（ ）21·cn·jy·com
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A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?滨湖区一模）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为
cm．21教育名师原创作品
12．（2019秋?苏州月考）半径为2的圆的内接正三角形的面积是
．
13．（2019春?漳州期中）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设
．
14．（2020?泰州二模）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为
．
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15．（2019秋?张家港市期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为
．
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16．（2019秋?阜宁县期中）①直径是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的是
．（填序号）
17．（2019秋?江都区期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为
．
18．（2020?高邮市二模）如图，⊙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长是
．21
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三．解答题（共6小题）
19．（2019秋?新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为
；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
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20．（2018秋?淮安区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为
；
（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．
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21．（2018秋?大丰区期中）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．2·1·c·n·j·y
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
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22．（2019秋?红桥区期中）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．
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23．（2019秋?信丰县期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．21·世纪
教育网
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：PD＝PF；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．
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24．（2019秋?宜兴市期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．2-1-c-n-j-y
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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专题4.5点与圆的位置关系
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．（2019秋?南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（ ）【来源：21cnj
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m】
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O上
D．不能确定
【分析】点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．据此求解可得．【出处：21教育名师】
【解析】∵点A到圆心O的距离d＝4，⊙O的半径r＝3，
∴d＞r，
则点A在⊙O外，
故选：A．
2．（2019秋?思明区校级期中）平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（ ）
A．6或10
B．3或5
C．6
D．5
【分析】点P应分为位于圆的内部位于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案．
【解析】当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10，
当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6．
故选：A．
3．（2020春?鹿城区校级期中）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
【解析】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：A．
4．（2019秋?思明区校级期中）若⊙O半径为1，点P到圆心O的距离为d，关于的方程x2﹣2x+d＝0有两个实数根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部
B．⊙O上
C．⊙O的外部
D．在⊙O上或⊙O的内部
【分析】根据根的判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4d≥0，解得d≤1，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
【解析】∵方程x2﹣2x+d＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4d≥0，
∴d≤1，
而⊙O的半径为1，
∴点P与O的距离小于或等于圆的半径，
∴点P在⊙O上或⊙O的内部．
故选：D．
5．（2019秋?霍林郭勒市期末）下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有（ ）
①任意三点确定一个圆
②相等的圆心角所对的弧相等
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、三角形外接圆的性质一一判断即可
【解析】①不在同一条直线上的三点确定一个圆，故符合题意；
②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故符合题意；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故不符合题意；
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故不符合题意；
故选：C．
6．（2020?夷陵区模拟）如图，方格纸上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．（0，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（﹣1，﹣1）
D．（﹣1，﹣2）
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．
【解析】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB＝DA，
∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
7．（2019秋?太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（ ）
A．15
B．7.5
C．6
D．3
【分析】直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出AB即可．
【解析】如图，
∵∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝9，BC＝12，
∴AB15．
又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴其外接圆的半径为7.5．
故选：B．
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8．（2019?碑林区校级模拟）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，△ABC为⊙O内接等边三角形，将△ABC绕圆心O旋转30°到△DEF处，连接AD，AE，则∠EAD的度数为（ ）21·世纪
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A．150°
B．135°
C．120°
D．105°
【分析】连结OA、OE、OD、AE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、AD，根据旋转的性质得∠AOD＝30°，再根据圆周角定理得∠AED∠AOD＝15°，然后根据等边三角形的性质得∠EFD＝60°，则∠DOE＝120°，求出∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝90°，则∠ADE＝45°，根据三角形内角和可求出∠EAD的度数．
【解析】如图，连结OA、OE、OD、AE、AD，
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∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，
∴∠AOD＝30°，
∴∠AED∠AOD＝15°，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DOE＝2∠EFD＝120°，
∴∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝120°﹣30°＝90°，
∴∠ADE45°，
∴∠EAD＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣45°＝120°．
故选：C．
9．（2019秋?相城区期中）如图，⊙O的半
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3
B．5
C．3
D．6
【分析】连接OC，OB，由垂直的定义得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到∠ADC＝90°，得到CDAC，根据直角三角形的性质的∠A＝30°，由圆周角定理得到∠O＝60°，推出△OBC是等边三角形，得到BC＝OB，于是得到结论．
【解析】连接OC，OB，
∵CD垂直AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝3，AC＝6，
∴CDAC，
∴∠A＝30°，
∴∠O＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵⊙O的半径为5，
∴BC＝5，
故选：B．
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10．（2019?平阳县
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一模）如图，等边△ABC的边长为4，点O是△ABC的外心，∠FOG＝120°．绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、CD于D、E两点．连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE；④△BDE周长的最小值为4．上述结论中正确的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】连接OB，OC，易证△BOD≌△CO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E，因为OD＝OE，将S四边形ODBE转化为S△BOC，故可得①③正确；利用特殊时刻：当D与B重合时，E与C重合，此时S△ODE＞0，而S△BDE＝0，故②错误；因为△BOD≌△COE，所以BD＝EC，所以当DE最小时，△BDE周长最小，利用勾股定理求出DE，找到DE的最小值即可解决问题．
【解析】如图，连接OB，OC，过点D作DM⊥BC于M．
（1）∵等边△ABC的边长为4，点O是△ABC的外心，∠FOG＝120°，
∴易证∠BOD＝∠COE，OB＝OC，∠DBO＝∠ECO＝30°，
∴△BOD≌△COE，
∴OD＝OE，故①正确；
（2）当D与B重合时，E与C重合，
此时S△ODE＞0，
而S△BDE＝0，故②错误；
（3）∵△BOD≌△COE，
∴S四边形ODBE＝S△ODB+S△BOE
＝S△OCE+S△BOE
＝S△BOC
S△ABC
，故③正确；
（4）∵△BOD≌△COE，
∴BD＝EC，
∴△BDE周长＝BD+BE+DE＝BC+DE，
∵BC＝4，
∴当DE最小时，△BDE周长最小．
设BD＝x，则BMx，DMx，EC＝BD＝x，BE＝4﹣x，
∴ME＝BE﹣BM＝4x，
∴由勾股定理得：DE，
∴DE的最小值为2，
∴△BDE周长的最小值为6，故④错误；
所以①③正确．
故选：B．
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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?滨湖区一模）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 25 cm．21·cn·jy·com
【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据圆周角定理解答即可．
【解析】由勾股定理得，直角三角形的斜边长25，
∴这个三角形的外接圆的直径长为25cm，
故答案为：25．
12．（2019秋?苏州月考）半径为2的圆的内接正三角形的面积是 3 ．
【分析】连接OB、OC，作O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D⊥BC于D，根据垂径定理得到BD＝CD，∠OBC＝30°，根据直角三角形的性质求出OD，由勾股定理求出BD，得到BC的长，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB＝90°，BD＝CD，
∠BOC120°，
则∠OBC＝30°，
∴ODOB＝1，
由勾股定理得，BD，
∴BC＝2BD＝2，
∴△ABC的面积＝3S△OBC＝321＝3，
故答案为：3．
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13．（2019春?漳州期中）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设 a≤b ．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【解析】用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”
第一步应假设a≤b，
故答案为：a≤b．
14．（2020?泰州二模）如图，在平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 （6，6） ．【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】由题意得出M在AB、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．
【解析】如图所示：
∵⊙M是△ABC的外接圆，
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN＝CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），
∴OA＝OB＝4，OC＝8，
∴BC＝4，
∴BN＝2，
∴ON＝OB+BN＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON＝45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN＝ON＝6，
∴点M的坐标为（6，6）；
故答案为：（6，6）．
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15．（2019秋?张家港市期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为 ．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】先确定三角形外接圆的圆心，再根据已知条件和勾股定理分别求出OC、OB和AO的长，进而可以求出外接圆的半径．
【解析】如图，
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过点C作CE⊥y轴于点E，
连接OC交AB于点D，
根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线，
作AO的垂直平分线交AB于点O′，
则点O′即为△AOC的外心，
设OB＝CB＝x，
∵点C（4，8）
∴CE＝4，OE＝8，
则OC4
∴CD＝OD＝2，
EB＝8﹣x，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得
x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，
即OB＝BC＝5，
∴BD
∵OD2＝BD?AD
∴AD＝4
设OO′＝AO′＝r，
则DO′＝4r，
∴（4r）2+（2）2＝r2
解得r．
所以△AOC的外接圆半径为：．
故答案为：．
16．（2019秋?阜宁
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)县期中）①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的是 ② ．（填序号）
【分析】根据直径与弦的定义判断①；根据确定圆的条件判断②；根据三角形的外心的性质判断③；根据半圆与等弧的定义判断④．21世纪教育网版权所有
【解析】①直径是圆中最长的弦，正确；
②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，错误；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；
④半径相等的两个半圆是等弧，正确．
其中正确的有①③④，错误的为②．
故答案为：②．
17．（2019秋?江都区期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为 35°或145° ．21教育名师原创作品
【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可．
【解析】①当点O在三角形的内部时，
如图所示：
则∠BAC∠BOC＝35°；
②当点O在三角形的外部时，
如图所示；
则∠BAC（360°﹣70°）＝145°
故答案为：35°或145°．
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18．（2020?高邮市二模）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长是 6 ．21
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【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC∠BOC＝60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．21
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【解析】∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝6，
∴OD＝3，
∴DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
故答案为6．
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三．解答题（共6小题）
19．（2019秋?新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
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【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解析】（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM2．
线段MD2，
所以点D在⊙M内．
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20．（2018秋?淮安区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．
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【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解答】
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解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM2．
∵DM＝2，
所以点D在⊙M上．
21．（2018秋?大丰区期中）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．2·1·c·n·j·y
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．2-1-c-n-j-y
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【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC和BD，再利用面积法计算出AF、DE，然后根据勾股定理计算出AE；
（2）利用B、C、D、E、F到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围．
【解析】（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD5，
∵AF?BDAB?AD，
∴AF，
同理可得DE，
在Rt△ADE中，AE；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
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22．（2019秋?红桥区期中）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．
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【分析】（I）连接OD，易证△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长；
（II）由角平分线的定义结合（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可证出BD＝DE．
【解析】（I）连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∵BC＝4，
∴BO＝OD＝2，
∴BD2；
（II）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵∠BAD＝∠CBD，
∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．
又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE．
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23．（2019秋?信丰县期中）已知：如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：PD＝PF；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．
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【分析】（1）根据角平分线的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到∠CBD＝∠DBA，根据圆周角定理得到∠DAC＝∠CBD，∠ADB＝∠AED＝90°，等量代换即可得到结论；
（2）证明根据圆周角定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到∠ADB＝90°，由垂直的定义得到∠ADE+∠EDB＝∠DFA+∠DAC＝90°，由等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）连接CD，根据等腰三角形的性质得到CD＝AD，根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形的面积公式即可得到结论．www.21-cn-jy.com
【解答】（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DBA+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE+∠EDB＝∠DFA+∠DAC＝90°，
又∵∠ADE＝∠DAP，
∴∠PDF＝∠PFD，
∴PD＝PF；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD＝∠DBA，
∴CD＝AD，
∵CD＝3，∴AD＝3，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB＝AD×BD，
∴5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．
即DE的长为2.4．
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24．（2019秋?宜兴市期中）如图，在Rt
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．【版权所有：21教育】
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．
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【分析】（1）先根据：∠ACB＝90°得出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD为⊙O的直径故可得出∠ACB＝∠AED．再由AD是△ABC中∠BAC的平分线可知∠CAD＝∠EAD，由HL定理得出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质可知AC＝AE；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，设CD＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，在Rt△BED中，根据勾股定理得出x的值，再由△ACD是直角三角形即可得出AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，
∴AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠ACB＝∠AED．
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE；
（2）∵△ABC是直角三角形，且AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∵由（1）得，∠AED＝90°，
∴∠BED＝90°．
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BE2＝BE2+ED2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
∴CD＝3，
∵AC＝6，△ACD是直角三角形，
∴AD2＝AC2+CD2＝62+32＝45，
∴AD＝3．
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精品试卷·第
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