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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题4.12有关切线的计算与证明问题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷解答题20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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一．解答题（共20小题）
1．（2019秋?宿豫区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．21世纪教育网版权所有
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．
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2．（2019秋?思明区校级期中）如图，四
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．21·世纪
教育网
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC，CE＝10，EF＝14，求CD．
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3．（2019秋?朝阳区校级期中）已知：如图AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠DCB＝∠A．2-1-c-n-j-y
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径．
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4．（2019秋?大连期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点
E．【来源：21cnj
y.co
m】
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，ED＝2CE，求BC的长．
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5．（2019秋?郾城区期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC上，⊙O经过点A，点C，且交BC于点D，直径EF⊥AC于点G．【版权所有：21教育】
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，求BD的长．
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6．（2019秋?开福区校级期中）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．21教育名师原创作品
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE时，求AD的长．
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7．（2019秋?荔城区校级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．21
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8．（2018秋?金乡县期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C在⊙O上，过点D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于点E，且CD＝DE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AB＝8，且BC＝CE时，求BD的长．
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9．（2020?天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
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10．（2019秋?金坛区期中）已知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
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（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；
（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．
11．（2019秋?扬州期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB＝∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．www.21-cn-jy.com
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）若CB＝4，CD＝8，①求圆的半径．②求ED的长．
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12．（2019秋?兴化
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市期中）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．
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13．（2019秋?玄武区期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：NF是⊙O的切线；
（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．
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14．（2019秋?江阴市期中）如图，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CDwww-2-1-cnjy-com
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦AD的长．
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15．（2019春?建湖县期中）如图，点D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．21
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（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）若CB＝4，CD＝8，求ED的长．
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16．（2019秋?建邺区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P为CO的延长【出处：21教育名师】
线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．
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17．（2020?九龙坡区校级模拟）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点
D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
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18．（2020?龙岗区二
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)模）如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．21·cn·jy·com
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
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19．（2019秋?伊通县期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．2·1·c·n·j·y
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
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20．（2020?临沂）已知⊙O1的半径为r
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．21教育网
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
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精品试卷·第
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（共
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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题4.12有关切线的计算与证明问题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷解答题20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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1．（2019秋?宿豫区期中）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．21教育名师原创作品
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．
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【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可；
（2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AD．
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∵点D为弧BC的中点，
∴，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r，
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∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
2．（2019秋?思明区校级期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC，CE＝10，EF＝14，求CD．
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【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F＝∠EDF，根据等腰三角形的性质得到DE＝EF＝14，根据勾股定理得到CD．
【解析】（1）如图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，
∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠F＝∠EDF，
∴DE＝EF＝14，
∵CE＝10，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD4．
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3．（2019秋?朝阳区校级期中）已知：如图AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠DCB＝∠A．【出处：21教育名师】
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径．
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【分析】（1）相切，由已知可证得∠OCD＝90°即CD是⊙O的切线；
（2）由已知可推出∠A＝∠BCD＝30°，即BC＝BD＝10，从而得到AB＝20即可得到半径的长．
【解析】（1）CD与⊙O相切．
证明：∵AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°；
∵∠A＝∠OCA，且∠DCB＝∠A，
∴∠OCA＝∠DCB，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D＝30°；
∴∠COD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝BD＝10，
∴AB＝20，
∴⊙O的半径为10．
4．（2019秋?大连期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点
E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，ED＝2CE，求BC的长．
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【分析】（1）先证明OD∥BE，可得∠ODE＝90°，即可证DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BE于M，可证四边形ODEM是矩形，可得DE＝OM，OD＝EM，由勾股定理可求CE的长，即可求BC的长．
【解答】证明：（1）连接OD，
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∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∴∠ODE+∠E＝180°，
∴∠ODE＝90°，
即OD⊥DE，且OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BE于M，且OD⊥DE，∠E＝90°，
∴四边形ODEM是矩形，
∴DE＝OM，OD＝EM，
∵AB＝10，
∴OD＝EM＝5＝OB，
∴CM＝5﹣CE，
∵OM⊥BC，
∴CM＝BM＝5﹣CE，
∵OB2＝OM2+BM2，
∴25＝4CE2+（5﹣CE）2，
∴CE＝2，CE＝0（不合题意舍去）
∴BC＝2BM＝6．
5．（2019秋?郾城区期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC上，⊙O经过点A，点C，且交BC于点D，直径EF⊥AC于点G．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，求BD的长．
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【分析】（1）连接OA，由等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠OAC＝∠C＝30°，求出∠OAB＝120°﹣30°＝90°，得出AB⊥OA，即可得出AB是⊙O的切线；
（2）由垂径定理得出AG＝CGAC＝4，由直角三角形的性质得出OGAG，得出OA＝2OG，BO＝2OA＝2OD，即可得出BD＝OA．
【解答】（1）证明：连接OA，如图所示：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝30°，
∴∠OAB＝120°﹣30°＝90°，
∴AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵直径EF⊥AC，
∴AG＝CGAC＝4，
∵∠OAC＝30°，
∴OGAG，
∴OA＝2OG，
∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，
∴BO＝2OA＝2OD，
∴BD＝OA．
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6．（2019秋?开福区校级期中）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE时，求AD的长．
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【分析】（1）连接OC，根据等腰三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠OCA，根据平行线的判定定理得到OC∥AD，于是得到结论；
（2）根据已知条件推出OA＝OB＝BE＝OC，求得OCOE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为圆O的半径，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵AB＝2BE，且AB＝2OA＝2OB，
∴OA＝OB＝BE＝OC，
即OCOE，
在Rt△OCE中，CE，
∴OC＝1，OE＝2，
即AE＝3，
∴ADAE＝1.5．
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7．（2019秋?荔城区校级期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质和平行线的性质证得∠CDO＝∠CBO＝90°，可得∠ODA＝90°即可；
（2）由条件可得AE+AB＝4，又AE+AB＝2OA，则OA＝2，可求出半径长，由勾股定理建立方程可求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
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∵∠ODE＝∠OED，
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OD＝OD，OC＝OC，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
∴∠ODA＝90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，
∴AB+AE＝4，
∴AE+2OE+AE＝4，
∴2OA＝4，
∴OA＝2，
∴OD1，
即⊙O的半径为1．
∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，
∴DC＝BC，
设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x，AB＝3，BC＝x，
∴，
解得：x．
∴．
8．（2018秋?金乡县期中）如图，已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C在⊙O上，过点D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于点E，且CD＝DE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AB＝8，且BC＝CE时，求BD的长．
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【分析】（1）连结0C，由AB为直径，得到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ACB＝90°，求得∠E＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠OCB，等量代换得到∠E＝∠OCB，推出OC⊥CD，于是得到结论；
（2）连接OC，由（1）得出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的∠BCD＝∠A，易知：∠OBC＝∠CDE，因此等腰△OBC和等腰△DCE相似；由于题中告诉了BC＝CE，可得到的条件是△OBC≌△DCE；因此OC＝CD＝6；在等腰Rt△OCD中，已知了直角边的长，即可求出斜边OD的长，进而可求出BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ECD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠E＝90°﹣∠A，∠ABC＝90°﹣∠A，
∴∠E＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠E＝∠OCB，
又∵CD＝DE，
∴∠E＝∠ECD，
∴∠OCB＝∠ECD，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，即OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
（2）由（1）知，∠OBC＝∠OCB＝∠DCE＝∠E，
在△OBC和△DCE中，，
∴△OBC≌△DCE（ASA），
∴OC＝CD＝6，
Rt△OCD中，OC＝CD＝4，∠OCD＝90°，
∴OD＝4，
即BD＝OD﹣OB＝44．
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9．（2020?天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）由三角形的外角性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；21cnjy.com
（2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．www.21-cn-jy.com
【解析】（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．
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10．（2019秋?金坛区期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；
（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．
【分析】（1）根据切线的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB＝90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：∠BCE＝∠BEC＝70°，利用同圆的半径相等知：OA＝OD，同理∠ODA＝∠OAD＝70°，由此可得结论．2-1-c-n-j-y
【解析】（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝40°，
∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠CDB＝∠CAB＝50°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝70°，
∴∠BAD＝∠BCD＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝70°，
∵∠ADC＝∠ABC＝40°，
∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
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11．（2019秋?扬州期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB＝∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．21
cnjy
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（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）若CB＝4，CD＝8，①求圆的半径．②求ED的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）①证明△CDB∽△CAD，可得，可求出AC，则AB可求出；
②求出OC和OD，证明OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵OD＝OB，
∴∠DBA＝∠BDO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDB＝∠CAD，
∴∠CDB+∠BDO＝90°，
即OD⊥CE，
∵D为⊙O的一点，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）①∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠BDC+∠ODB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝∠DAB，
∵∠DCB＝∠ACD，
∴△CDB∽△CAD，
∴，
∴AC16，
∴AB＝AC﹣BC＝16﹣4＝12，
∴圆的半径为6；
②∵OD＝OB＝6，
∴OC＝OB+BC＝10，
∵过点A作的⊙O切线交CD的延长线于点E，
∴EA⊥AC，
∵OD⊥CE，
∴∠ODC＝∠EAC＝90°，
∵∠OCD＝∠ECA，
∴△OCD∽△ECA，
∴，即，
∴EC＝20，
∴ED＝EC﹣CD＝20﹣8＝12．
12．（2019秋?兴化市期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）连接OC．由点C为的中点，得到，求得∠COB＝∠COF，根据平行线的性质得到∠OCG＝∠OMB＝90°，于是得到CG是⊙O的切线；2·1·c·n·j·y
（2）连接BC．由（1）知，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)COB＝∠COF∠BOF＝60°，推出△OBC为等边三角形．得到∠OCD＝30°，则EMCE＝2，根据勾股定理得到CM，求得OM＝CM，于是得到结论．www-2-1-cnjy-com
【解答】（1）证明：连接OC．∵点C为的中点，
∴，
∴∠COB＝∠COF，
∵OB＝OF，
∴OC⊥BF，
设垂足为M，则∠OMB＝90°，
∵CG∥FB，
∴∠OCG＝∠OMB＝90°，
∴CG是⊙O的切线；
（2）解：连接BC．由（1）知，∠COB＝∠COF∠BOF＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形．
∵∠OCD＝30°，则EMCE＝2，
∴CM，
∴OM＝CM，
∴OC＝4，
即⊙O的半径为4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
13．（2019秋?玄武区期中）如图，在Rt
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：NF是⊙O的切线；
（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．
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【分析】（1）欲证明NF为⊙O的切线，只要证明ON⊥NF．
（2）证明四边形ONFH是矩形，由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接ON．如图所示：
∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠ONC＝∠DCB，
∴∠ONC＝∠B，
∴ON∥AB
∵NF⊥AB
∴∠NFB＝90°
∴∠ONF＝∠NFB＝90°，
∴ON⊥NF
又∵NF过半径ON的外端
∴NF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥ED，垂足为H，如图2所示：
设⊙O的半径为r
∵OH⊥ED，NF⊥AB，ON⊥NF，
∴∠OHD＝∠NFH＝∠ONF＝90°．
∴四边形ONFH为矩形．
∴HF＝ON＝r，OH＝NF＝2，
∴HD＝HF﹣DF＝r﹣1，
在Rt△OHD中，∠OHD＝90°
∴OH2+HD2＝OD2，
即22+（r﹣1）2＝r2，
∴r．
∴HD，
∵OH⊥ED，且OH过圆心O，
∴HE＝HD，
∴ED＝2HD＝3．
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14．（2019秋?江阴市期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD21·cn·jy·com
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦AD的长．
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【分析】（1）连结OD，如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，由AD平分∠EAC得到∠1＝∠3，加上∠1＝∠2，则∠3＝∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接BD．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）设BDK，AD＝2K，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠3，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接BD．
∵∠CDO＝∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠CDB＝∠1，
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴，
∴CD2＝CB?CA，
∴（3）2＝3CA，
∴CA＝6，
∴AB＝CA﹣BC＝3，∴⊙O的半径；
（3）∵，设BDK，AD＝2K，
在Rt△ADB中，2k2+4k2＝9，
∴k，
∴AD．
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15．（2019春?建湖县期中）如图，点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）若CB＝4，CD＝8，求ED的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC，进而求得OC和OD，根据证得OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠DBA＝∠BDO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDB＝∠CAD，
∴∠CDB+∠BDO＝90°，
即OD⊥CE，
∵D为⊙O的一点，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BC?AC，
∵CB＝4，CD＝8，
∴82＝4AC，
∴AC＝16，
∴AB＝AC﹣BC＝16﹣4＝12，
∵AB是圆O的直径，
∴OD＝OB＝6，
∴OC＝OB+BC＝10，
∵过点A作的⊙O切线交CD的延长线于点E，
∴EA⊥AC，
∵OD⊥CE，
∴∠ODC＝∠EAC＝90°，
∵∠OCD＝∠ECA，
∴△OCD∽△ECA，
∴，即，
∴EC＝20，
∴ED＝EC﹣CD＝20﹣8＝12．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
16．（2019秋?建邺区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P为CO的延长
线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．
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【分析】（1）连接OA，由圆心角等于2倍的圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)周角得出∠AOC＝120°，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝30°，由AP＝AC，推出∠APC＝∠ACP＝30°，由三角形内角和定理得出∠PAC＝120°，则∠PAO＝∠PAC﹣∠OAC＝90°，即可得出结论；
（2）连接OB，由切线的性质得出PA＝PB，由OA＝OB，得出PO是AB的垂直平分线，则CB＝CA，由又∠ABC＝60°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接OA，如图1所示：
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）（180°﹣120°）＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠PAO＝∠PAC﹣∠OAC＝120°﹣30°＝90°，
∴AP⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）连接OB，如图2所示：
∵AP、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴PO是AB的垂直平分线，
∴CB＝CA，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
17．（2020?九龙坡区校级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点
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（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；
（2）直接利用弧长公式求解即可；
（3）利用“阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD”求解即可．
【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD；
（2）由（1）得∠B＝60°，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴弧BD的长为；
（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，
∴CDBC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD21．
18．（2020?龙岗区二模）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．【版权所有：21教育】
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
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【分析】（1）连接BD，根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据圆周角定理得出∠CBD＝∠AEB＝90°，∠A＝∠C，进而求得∠ABE＝∠CDB，得出，即可证得结论；21
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（2）根据垂径定理和圆周角定理易求得∠A∠ABE，得出∠A＝30°，解直角三角形求得AB，即可求得⊙O的半径；
（3）根据S阴＝S扇形﹣S△EOB求得即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB，CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠AEB＝90°，
∵点B恰好为的中点，
∴，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，
∴∠ABE＝∠CDB，
∴，
∴AE＝BC；
（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，
∴，
∵，
∴，
∴∠A∠ABE，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABE中，cos∠A，
∴AB4，
∴⊙O的半径为2．
（3）连接OE，
∵∠A＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴△EOB是等边三角形，
∵OB＝OE＝2，
∴S△EOB2，
∴S阴＝S扇形﹣S△EOB．
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19．（2019秋?伊通县期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．【来源：21cnj
y.co
m】
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
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【分析】（1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB＝90°，故AP⊥BC，再由PC＝PB即可得出结论；
（2）①先根据直角三角形的性质求出AP的长，再由勾股定理可得出PB的长；
②连接OP，根据直角三角形的性质求出△PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；
（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴APAB＝2，
∴BP2；
②连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O时AB的中点，
∴S△POBS△PABAP?PB2×2，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
π．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
20．（2020?临沂）已知⊙O1的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．21·世纪
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（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）由题意得出O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1P＝AP＝O2P，则可得出∠O1AO2＝90°，由平行线的性质可得出∠O1BC＝90°，过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，证得O2D＝r2，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出∠BO1C＝60°，由勾股定理求出BC长，则可根据S阴影求出答案．
【解答】（1）证明：连接AP，
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∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，
∴O1P＝AP＝O2P，
∴∠O1AO2＝90°，
∵BC∥O2A，
∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，
过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，
∴四边形ABDO2是矩形，
∴AB＝O2D，
∵O1A＝r1+r2，
∴O2D＝r2，
∴BC是⊙O2的切线；
（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，
∴O1A，
∴∠AO2C＝30°，
∵BC∥O2A，
∴∠BCE＝AO2C＝30°，
∴O1C＝2O1B＝4，
∴BC2，
∴S阴影2π．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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