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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题5.4有关概率应用的解答题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
21教育名师原创作品
1．（2020?威海）小伟和小梅两位同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．
【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；
（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，可使两人获胜的概率相等，或利用积分的形式，使两人的积分相等即可．
【解答】解（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，
所以，P（小伟胜），P（小梅胜），
答：P（小伟胜），P（小梅胜）；
（2）∵，
∴游戏不公平；
根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，
于是修改为：两次掷的点数之差为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．
这样小伟、小梅获胜的概率均为．
2．（2020?西藏）某校
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)组织开展运动会，小明和扎西两名同学准备从100米短跑（记为项目A），800米中长跑（记为项目B），跳远（记为项目C），跳高（记为项目D），即从A，B，C，D四个项目中，分别选择一个项目参加比赛．请用画树状图或列表法求两名同学选到相同项目的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名同学在运动会中所选项目完全相同的情况．
【解析】画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵共有16种等可能的结果，两名同学选到相同项目的为4种情况，
∴P（两名同学选到相同项目）．
3．（2020?沈阳）沈阳市图书馆推
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出“阅读沈阳
书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，找出抽出的两名学生性别相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】画树状图为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3，
所以抽出的两名学生性别相同的概率．
4．（2020?鄂尔多斯）“学而时
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝ 7 ，该班女生一周复习时间的中位数为 2.5 小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为 72 °；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女生中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，选择其中四名分别记为A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）由已知数据可得a的值，利用中位数的定义求解可得；
（2）先根据百分比之和等于1求出该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以样本中一周复习时间为4小时的学生所占比例即可得；
（4）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中B和D的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】（1）由题意知a＝7，该班女生一周复习时间的中位数为2.5（小时），
故答案为：7，2.5；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比为1﹣（10%+20%+50%）＝20%，21世纪教育网版权所有
∴该班男生一周复习时间为4小时所对应的圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72；
（3）估计一周复习时间为4小时的学生有600144（名）；
答：估计一周复习时间为4小时的学生有144名．
（4）画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中B和D的有2种结果，
∴恰好选中B和D的概率为P．
答：恰好选中B和D的概率为．
5．（2020?宿迁）将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．21cnjy.com
（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为 ．
（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率（请用画树状图或列表等方法求解）．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解析】（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果，
∴至少有1张印有“兰”字的概率为．
6．（2020?东营）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．
作业情况
频数
频率
非常好
44
0.22
较好
68
0.34
一般
48
0.24
不好
40
0.20
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了多少名学生？
（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组4名学生
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的作业本中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）结合扇形统计图与表格确定出调查学生总数即可；
（2）分别求出所缺的数据，填写表格即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可求出值；
（4）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次抽到的作业本都是“非常好”的情况数，即可求出所求概率．
【解析】（1）根据题意得：40200（名），
则本次抽样共调查了200名学生；
（2）填表如下：
作业情况
频数
频率
非常好
44
0.22
较好
68
0.34
一般
48
0.24
不好
40
0.20
故答案为：44；48；0.34；0.24；0.20；
（3）根据题意得：1800×（0.22+0.34）＝1008（名），
则该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约1008名；
（4）列表如下：
A1
A2
B
C
A1
﹣﹣﹣
（A1，A2）
（A1，B）
（A1，C）
A2
（A2，A1）
﹣﹣﹣
（A2，B）
（A2，C）
B
（B，A1）
（B，A2）
﹣﹣﹣
（B，C）
C
（C，A1）
（C，A2）
（C，B）
﹣﹣﹣
由列表可以看出，一共有12种结果，且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的作业本都是“非常好”的有2种，【出处：21教育名师】
则P（两次抽到的作业本都是“非常好”）．
7．（2020?赤峰）如图1，一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．【版权所有：21教育】
【解析】（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率；
（2）这个游戏规则不公平．
理由如下：
画树状图为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，
所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，
因为，
所以这个游戏规则不公平．
8．（2020?眉山）中华文化源
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 2 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 72 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【分析】（1）根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；
（2）根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据（1）中读2部的人数，可以将条形统计图补充完整；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
【解析】（1）本次调查的人数为：10÷25%＝40（人），
读2部的学生有：40﹣2﹣14﹣10﹣8＝6（人），
故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（2+2）÷2＝2（部），
故答案为：1，2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°72°，
故答案为：72；
（3）由（1）知，读2部的学生有6人，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如下图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
9．（2020?南通）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；2-1-c-n-j-y
（2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案．
【解析】（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；
（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
10．（2020?永州）今年6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝ 15 ，n＝ 5 ，B等级所占扇形的圆心角度数为 252° ．
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．
【解析】（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），
∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），
补全图形如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）m%100%＝15%，即m＝15，
n%100%＝5%，即n＝5；
B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，
故答案为：15，5，252°；
（3）画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
11．（2020?锦州）A，B两个不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ；
（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的情况，再由概率公式即可求得答案．
【解析】（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有9种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的有3种情况，
∴两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率为．
12．（2020?朝阳）某校准备组建
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．
（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．
（2）求甲同学被选中的概率．
【分析】（1）用树状图表示出所有可能的结果；
（2）从树状图中找到甲同学被选中的情况数，利用所求情况数与总数之比求概率即可．
【解析】画出树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）
所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同
（2）所有可能出现的结果共有12种，甲被选中的结果共有6种，
∴．
13．（2020?盘锦）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为 ．
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．21
cnjy
com
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和等于6的结果，再由概率公式即可求得答案．21
cnjy
com
【解析】（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字和等于6的结果有3个，
∴两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
14．（2020?葫芦岛）某校计
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 60 人；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）通过了解，喜爱“航模”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）根据摄影的人数和所占的百分比求出抽取的总人数；
（2）用总人数减去其他兴趣小组的人数求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出航模的人数，从而补全统计图；用360°乘以“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）根据题意画出图表得出所有等可能的情况数和所选的2人恰好是1名男生和1名女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．2·1·c·n·j·y
【解析】（1）本次被调查的学生有：9÷15%＝60（人）；
故答案为：60；
（2）航模的人数有：60﹣9﹣15﹣12＝24（人），
补全条形统计图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
“航模”所对应的圆心角的度数是：360°144°；
（3）设两名男生分别为男1，男2，两名女生分别为女1，女2，列表如下：
男1
男2
女1
女2
男1
（男2，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（女1，女2）
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好是1名男生和1名女生的情况有8种．www-2-1-cnjy-com
则所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是．
15．（2020?鞍山）甲、乙两人去超市选
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【分析】（1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，
∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，
则两人选购到同一种类奶制品的概率是．
16．（2020?德阳）为了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；
B．良好；
C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好
60
C．及格
45%
m
D．不及格
n
请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m和n的值；
（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；
（3）先画树状图展示所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
【解析】（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%＝400（人），m＝400×45%＝180，
∵400﹣20﹣60﹣180＝140，
∴n＝140÷400×100%＝35%；
（2）56001120（人），
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：
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共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明参加），
P（小亮参加）＝1，
∵，
∴这个游戏规则不公平．
17．（2020?呼伦贝尔）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，，5．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是无理数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球上数字乘积是有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】（1）摸出小球上的数字是无理数的概率；
（2）画树状图如下：
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可知：共有9种等可能的结果，其中两个数字的乘积为有理数的有3种，
∴两次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为．
18．（2020?镇江）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有 8 种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数即可；
（2）根据（1）列举的结果数和概率公式即可得出答案．
【解析】（1）根据题意画图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有8种等可能的情况数，
故答案为：8；
（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种，
则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是．
19．（2020?长春）现有三张不透明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）
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【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】根据题意画图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．
20．（2020?吉林）“中国结”是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．
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【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有A卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】根据题意列表如下：
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有5种情况，
∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．
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精品试卷·第
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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题5.4有关概率应用的解答题
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
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1．（2020?威海）小伟和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．21教育名师原创作品
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；
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（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．21
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2．（2020?西藏）某
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)校组织开展运动会，小明和扎西两名同学准备从100米短跑（记为项目A），800米中长跑（记为项目B），跳远（记为项目C），跳高（记为项目D），即从A，B，C，D四个项目中，分别选择一个项目参加比赛．请用画树状图或列表法求两名同学选到相同项目的概率．
3．（2020?沈阳）沈阳市图书馆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)推出“阅读沈阳
书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．21
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4．（2020?鄂尔多斯）“学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝
，该班女生一周复习时间的中位数为
小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为
°；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生中，选择其中四名分别记为A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．21世纪教育网版权所有
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5．（2020?宿迁）将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．【版权所有：21教育】
（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为
．
（2）先从盒子中任意取出1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率（请用画树状图或列表等方法求解）．
6．（2020?东营）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．
作业情况
频数
频率
非常好
0.22
较好
68
一般
不好
40
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了多少名学生？
（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组4名学生的作业本中，有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．21·cn·jy·com
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7．（2020?赤峰）如图1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为
；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．21·世纪
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8．（2020?眉山）中华
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．【出处：21教育名师】
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请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是
部，中位数是
部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为
度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
9．（2020?南通）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
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请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
10．（2020?永州）今年6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
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（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝
，n＝
，B等级所占扇形的圆心角度数为
．
（3）该校准备从上述获得A等级的四
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【来源：21cnj
y.co
m】
11．（2020?锦州）A，B两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是
；
（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．21cnjy.com
12．（2020?朝阳）某校准
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．
（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．
（2）求甲同学被选中的概率．
13．（2020?盘锦）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为
．
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
14．（2020?葫芦岛）某校计划组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
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根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有
人；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
15．（2020?鞍山）甲、乙两人去超市选购
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是
；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
16．（2020?德阳）为了加
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；
B．良好；
C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．2-1-c-n-j-y
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好
60
C．及格
45%
m
D．不及格
n
请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
17．（2020?呼伦贝尔）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，，5．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是无理数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率．www.21-cn-jy.com
18．（2020?镇江）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．2·1·c·n·j·y
（1）所有这些三行符号共有
种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
19．（2020?长春）现有三张不透明的卡
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）21教育网
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20．（2020?吉林）“中国结”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【来源：21·世纪·教育·网】
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