数学：3.1.1《方程的根与函数的零点4》课件（新人教A版必修1）

(共28张PPT)
一．教材分析
二．教法学法分析
三．教学过程分析
四．评价分析
五．教学反思
教材分析
关于教材地位与作用的解析
1、第三章“函数与方程”是高中数学的新增内容，是近年来高考关注的热点.
2、本节课是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法;是培养学生“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”的优质载体.
3、本节课为下节“二分法求方程的近似解”和后续的 “算法学习”提供了基础，具有承前启后的作用.
教材分析
关于教学目标的解析
（一）知识目标：
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践的能力．
（三）情感目标：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
教材分析
关于教学重点、难点的解析
教学重点：了解函数零点的概念，体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．
教学难点：探究发现函数零点的存在性.在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点 .
教法学法分析
关于教法的解析
关于学法的解析
“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.
采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会。
教学过程分析
1
设
问
激
疑
创
设
情
境
2
启
发
引
导
形
成
概
念
6
知
识
应
用
尝
试
练
习
3
初
步
运
用
示
例
练
习
4
讨
论
探
究
揭
示
定
理
5
观
察
感
知
例
题
学
习
7
反
思
小
结
培
养
能
力
8
课
后
作
业
自
主
学
习
（一）设问激疑，创设情景
设计意图:由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
（二）启发引导，形成概念
(1)y=x2+2x-3与x2+2x-3=0
(2)y=x2+2x+1与x2+2x+1=0
(3)y=x2+2x+3与x2+2x+3=0
问题2：下列二次函数的图象与x轴交点和
相应方程的根有何关系？
设计意图: 有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
判别式△ =b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
问题3:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系
结论:
二次函数图象与x轴交点的横坐标
就是相应方程的实数根。
（二）启发引导，形成概念
设计意图：把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
函数零点的定义：
等价关系
（二）启发引导，形成概念
设计意图：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.
引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“转化”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．
设计意图：巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．
（三）初步运用，示例练习
（四）讨论探究，揭示定理
探究:在什么情况下，函数f（x）在区间
（a，b）一定存在零点呢？
设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系.
将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。
由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。
1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
3.A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
用f（a）·f（b）<0来表示
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
[－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0
（－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根
[2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0
（2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
（0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根.
x
y
0
1
2
1
.
.
.
（四）讨论探究，揭示定理
问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定
有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定
有零点？
设计意图：通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.
设计意图：引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．
（四）讨论探究，揭示定理
（四）讨论探究，揭示定理
设计意图：通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“函数零点存在或所在区间”这一类问题．
引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的定理应用作好铺垫．
反馈练习:
练习1、观察下表，分析函数 在定义域内是否存在零点？
练习2、求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内。
变式：若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( )
A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于零
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)·f(b)<0。
总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
（1） f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
x －2 －1 0 1 2
f(x) -109 -10 -1 8 107
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
（五）观察感知，例题学习
设计意图:引导学生思考如何应用定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.
问题5：你能判断函数
的单调性，并给出相应的证明吗？判断方法：
（六）知识应用，尝试练习
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5；
（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；
（3）f(x)=ex－1+4x－4;
设计意图:对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（七）反思小结，培养能力
1．你能说说二次函数的零点与一元
二次方程的根的联系吗？
2．如果函数图象在区间[a,b]上是连
续不断的，那么在什么条件下，
函数在(a,b)内有零点？
设计意图：
通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
问题6：
内容小结：
1．函数零点的定义
2．等价关系
3．函数的零点或相应方程的根的存
在性以及个数的判断
作业：
（八）课后作业，自主学习
设计意图:巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．达到熟练使用零点定理的目的（没有图像的情况下），同时为下一节课作好铺垫。
板书设计
评价分析
本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进一步加深理解；这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
加强过程性评价，创设公平、平等、宽松、积极向上的课堂环境，这就要求对学生的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，充分暴露思维，及时矫正，调整思路。
教学反思
1. 逐层铺垫，降低难度
由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．
2. 恰当使用信息技术
恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.
3. 采用“启发—探究—讨论”教学模式
精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.
解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有
且只有一个零点。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
(1)f(x)= －x3－3x+5
.
.
.
.
.
解：作出函数的图象，如下：
.
.
.
.
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
-3
-2
4
(2)f(x)=2x · ln(x－2)－3
解：作出函数的图象，如下：
.
.
.
.
因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
(3)f(x)=ex－1+4x－4
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4