北师大版九年级上数学第二章一元二次方程解法与应用导学案（无答案）

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一元二次方程
第一课：一元二次方程的解法
（1）一元二次方程的概念:只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是（a、b、c是已知数且a≠0），其中ax2叫做 ，bx叫做 ，a叫做 系数，b叫做 系数，c叫做 。
(2)一元二次方程的常用解法
( 形如或的一元二次方程，可用 方法.
配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项；
③方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④把原方程变为的形式；
⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解.
(3)公式法：求根公式为 （ ）
(4)因式分解法：因式分解法的步骤：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到并解出这两个一元一次方程。
3、根的判别式:一元二次方程根的情况（）
(1)当Δ＞0时，方程有 实数根；
(2)当 时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程 .
例1：关于的方程是一元二次方程，则=________.
变式练习1：已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则k = .另外一根为
例2：用适当的方法解下列方程



变式练习2：用适当的方法解下列方程




例题3：已知关于的一元二次方程有两个实数根和，求实数的取值范围
变式练习3：如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）.
B．且 C． D．且
过关检测
（一）选择题
1、下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）.
A． B．
C． D．
2、方程的解是 （　　）.
A. B. C. D.
3、用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）.
A． B． C． D．
★4、方程x2-4│x│+3=0的解是 ( )
A.x=±1或x=±3 B.x=1和x=3 C.x=-1或x=-3 D.无实数根
5、使分式 的值等于零的是 ( )
A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6
★6、若是关于的方程的根，则m+n的值为（ ）.
A．1 B．2 C．-1 D．-2
★7、关于的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的同号实数根 B.有两个不相等的异号实数
C.有两个相等的实数根 　　 D.没有实数根
8、下列一元二次方程中,有实数根是( ).
A. B. C. D.
★9、关于x的一元二次方程kx2+3x－1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A、k≤ B、k≥且k≠0 C、k≥ D、k＞且k≠0
10、解下面方程：（1）（2）（3），较适当的方法分别为（ ）
（A）（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法
（B）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
（C）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
（D）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
(二)填空题
11、若一元二次方程 有一个根为1,则= ;若有一个根为－1,则 与之间的关系为 ;若有一个根为零,则=
12、已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程 .
13、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为
14、关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
15、若x2－6x－a满足完全平方公式，则a= .
（三）解答题
16、用适当的方法解下列方程：
(1) x2+2x－2=0 (2)


(3) x2=4x （4）
★17、阅读下面的例题： 解方程：
解：（1）当x≥0时，得 （2）当x＜0时，得
解得x1 = 2 , x2 = －1＜0（舍去）。 解得x1 = 1 （舍去）, x2 =－2。
∴原方程的根为解得x1 = 2 , x2 = －2。
求方程的解；
★18、如图，在△ABC 中，∠B＝90°，点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿 BC边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8 平方厘米？
课后作业
1、关于x的方程是一元二次方程，则k＝ 。
2、方程化为形式后，a、b、c的值为（ ）
A、1，–2，–15 B、1，–2，–15 C、1，2，–15 D、–1，2，–15
3、 ＝
4、解下列方程：
（1） （2）
第二课：一元二次方程的应用
【考点分析】
（1）理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
（2）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个根之间是否相等．
（3）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=-,x1·x2=.
针对练习1：填表解题：
方程 X1+X2= X1X2=
X2+2X+1=0

X2—3X—4=0

3X2+4X—7=0

韦达定理常用的公式变形：
②
④
2.一元二次方程应用题的解答
（1）解答一元二次方程解应用题的一般步骤:审,设,列,解,答
（2）常见的应用类型
①平均增长率问题:
,或
其中a为增长（降低）前数额，b为增长（降低）后数额，n为增长（降低）次数，通常为2次，即n=2
握手定理:人数×（人数-1）÷2=总握手次数 列式为
销售问题：每件利润×销售量=总利润，主要找出降价（升价）1元，多（少）卖几件
面积问题(对于居于中间位置的小路，我们可以把小路平移到边缘位置来考虑，不改变面积的大小。)
例1：若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是( )
A. B. C. D.7
变式练习1：（1）已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于________.
（2）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值_____．
例2：广安市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米6860元的均价开盘销售。
（1）求平均每次下调的百分率。
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
变式练习2：某企业2018年盈利1500万元，2019年盈利2160万元。从2018年到2020年，如果该企业每年的盈利的年增长率相同，求：
（1）求2018年到2020年的年增长率
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2021年盈利多少万元？
例3：张老师参加一次同学聚会，每两个人见面都握一次手，如果我们这样记录甲乙两人的握手过程；
（1）请你画出甲、乙、丙三个人的握手过程并计算握手次数．
（2）请你画出甲、乙、丙、丁四个人的握手过程并计算握手次数．
（3）这次聚会一共来了10个人，他们一共握了多少次手？
（4）如果是百人聚会，每两个人握手一次，一共要握多少次手？
变式练习3：元旦前夕，某学习小组的同学互赠贺卡，一共赠送了72张贺卡，求该学习小组共有多少人？
例4：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
变式练习4：常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
例5：某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），求彩纸的宽度．

变式练习5-1：如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。
变式练习5-2：一块矩形耕地，大小尺寸如右图，要在这块地上横纵分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，且 余下的面积为9600平方米，问水渠要挖多宽？设水渠宽为x，则根据题意可以提出方程得： 。
变式练习5-3：某校在一处一面靠食堂外墙的空地上，用材料围城一个停放自行车的日子形车棚（如图所示），共消耗材料60m，围成的车棚面积共计为300m2，求AB的长
自我检测
1、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A．x(x＋1)＝1035 B．x(x－1)＝1035×2
C．x(x－1)＝1035 D．2x(x＋1)＝1035
2、 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是( )
A． B．
C． D．
3、某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。若平均每月增率是，则可以列方程（ ）；
（A） （B）
（C） （D）
4、小丽要在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm，则x满足的方程是（ ）。
A、 B、
C、 D、
5、从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不秒刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x尺，则下列方程，满足题意的是( )
6、某市政府为了申办2020年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划过两年时间，绿地面积增加44％，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ( )
A. 19％ B. 20％ C. 21％ D. 22％
★7、某小区计划在一块长60米，宽40米的矩形空地上修两条小路，一条水平，一条倾斜（如图2-5）. 剩余部分辟为绿地，并使绿地总面积为1925平方米. 为求路宽x,下面列出的方程中, 正确的是( ).
A. x2 +100x - 475 = 0 B. x2 +100x + 475 = 0
C. x2 - 100x - 475 = 0 D. x2 -100x + 475 = 0
8、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为 ( )
A、200(1+x)2=1000 B、200+200×2x=1000
C、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
9、长方形铁片四角各截去一个边长为5cm的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为1. 5 立方分米, 则铁片的长等于_____,宽等于______.
10、把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是________________cm.
11、如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园， 矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为，面积为.
(1) 求与的函数关系式，并求自变量的取值范围;
(2) 生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.
12、用一块长方形的铁片, 把它的四角各剪去一个边长为4cm的小方块, 然后把四边折起来, 做成一个没有盖的盒子, 已知铁片的长是宽的2 倍, 做成盒子的容积是 1536 cm3, 求这块铁片的长和宽.
课后作业
1 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （ ）
A、10% B、20% C、120% D、180%
2 某农机厂10个月完成了全年的生产任务，已知10月份生产拖拉机1000台，为了加速农业机械化，该厂计划在年底前再生产2310台，求11月、12月平均每月的增长率，这个问题中，若设平均增长率为x，则所得的方程是________________.
3.某商人将每件进价为80元的商品按100元出售，每天可售出30件．现在他为了尽快减少库存，决定采取适当降价措施来扩大销售量，增加日盈利．经市场调查发现，如果该商品每降价2元，那么平均每天可多售出10件．要想在销售这种商品上平均每天盈利800元，问每件商品应降价多少元？