高一物理人教版必修1学案 2.3　匀变速直线运动的位移与时间的关系 Word版含解析

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系

【例1】　(多选)某物体运动的v－t图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．物体在第1 s末运动方向发生变化
B．物体在第2 s内和第3 s内的加速度是相同的
C．物体在4 s末返回出发点
D．物体在6 s末离出发点最远，且最大位移为1 m
用v－t图象分析问题时要注意：(1)v－t图象中直线的斜率表示物体运动的加速度；(2)图线和t轴所围的面积的数值等于物体的位移大小，图线和t轴所围成的面积的数值的绝对值的和等于物体的路程．
【解析】　由图象可知，物体在前2 s内速度先增大后减小，但运动方向没有变化，选项A错误；第2 s内和第3 s内图线的斜率没变，所以加速度相同，选项B正确；在v－t图象中，图线与坐标轴所围的“面积”表示物体的位移，从图象可以看出，前4 s内物体的位移为零，所以物体在4 s末返回出发点，选项C正确；物体在第6 s末离出发点最远，6 s内的位移为1 m，选项D正确．
【答案】　BCD
甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内(　A　)
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：v－t图象中图线下的面积表示位移，在0～t1时间内，甲的位移大于乙的位移，所以汽车甲的平均速度比乙的大，选项A正确，选项C错误；汽车乙做的不是匀减速直线运动，平均速度小于，选项B错误；v－t图象中图线的斜率表示加速度，汽车甲、乙的加速度都是逐渐减小的，选项D错误．
考点二 匀变速直线运动的位移
(1)匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2.
(2)对位移公式x＝v0t＋at2的理解
①位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中v0是初速度，时间t是物体实际运动的时间．
②此公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算结果x>0，说明位移的方向与初速度v0方向相同；x<0，说明位移方向与初速度v0方向相反．
③对于初速度为零的匀加速直线运动，位移公式为x＝at2，即位移x与时间t的二次方成正比．
④此公式中共有四个物理量，知道其中任意三个物理量，便可确定第四个物理量．
【例2】　一辆卡车初速度为v0＝10 m/s，以a＝2 m/s2的加速度行驶，求：
(1)卡车在3 s末的速度v3；
(2)卡车在6 s内的位移x6与平均速度v；
(3)卡车在第6 s内的位移x.
卡车做匀加速直线运动，根据速度公式可求得3 s末的速度，根据位移公式可求得6 s内的位移．第6 s内的位移等于前6 s内的位移减去前5 s内的位移．
【解析】　(1)3 s末的速度
v3＝v0＋at3＝10 m/s＋2×3 m/s＝16 m/s
(2)6 s内的位移
x6＝v0t6＋at＝10×6 m＋×2×36 m＝96 m
6 s内的平均速度v＝＝ m/s＝16 m/s
(3)5 s内的位移
x5＝v0t5＋at＝10×5 m＋×2×25 m＝75 m
所以第6 s内的位移x＝x6－x5＝21 m.
【答案】　(1)16 m/s　(2)96 m　16 m/s　(3)21 m
总结提能 (1)对x＝v0t＋at2中a的理解：物体做匀减速直线运动时，若以初速度方向为正方向，并使a仅表示加速度的大小，这时匀减速直线运动的位移时间关系式可变形为x＝v0t－at2，这时v0、a、t均取正值，更适合于我们的习惯．
(2)汽(火)车刹车等问题，物体做匀减速直线运动，停止后不再运动．这类问题的处理思路是：先求出它们从刹车到静止的刹车时间，再比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动公式求解．
2011年太平洋冰壶锦标赛在南京奥体中心完美收官，主场作战的中国队表现出色，包揽了男、女两个项目的金牌．如图所示，冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时，速度恰好为零．冰壶通过前三个矩形区域的时间为t，试通过所学知识计算冰壶通过四个矩形区域所需的时间．
解析：根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式，设每个矩形区域的长为l.由A到E，有4l＝vt1－at，0＝v－at1，由A到D有3l＝vt－at2，联立解得t1＝2t或t1＝t，显然t不符合题意，应舍去．
答案：2t
【例3】　汽车在高速公路上行驶的速度为108 km/h，若驾驶员发现前方80 m处发生了交通事故，马上紧急刹车，汽车以恒定的加速度经过4 s才停下来．
(1)问该汽车是否会有安全问题？
(2)如果驾驶员看到交通事故时的反应时间是0.5 s，该汽车是否会有安全问题？
(1)驾驶员采取刹车措施后，汽车做匀减速直线运动．在此过程中，初速度为汽车的行驶速度108 km/h，即30 m/s，汽车经过4 s停下来，末速度为0.运动过程如图所示．
(2)该汽车的实际运动可分为两部分：当驾驶员看到交通事故时，在反应时间内，汽车做匀速直线运动；当驾驶员刹车后，汽车以原行驶速度为初速度做匀减速直线运动．其运动情况如图所示．选取汽车行驶的初速度方向为正方向．
【解析】　(1)108 km/h＝30 m/s，由公式v＝v0＋at可得
汽车刹车过程中的加速度为
a＝＝ m/s2＝－7.5 m/s2
汽车从刹车到停止所经过的位移为
x＝v0t＋at2＝ m＝60 m
由于前方距离有80 m，汽车经过60 m就已停下来，所以不会有安全问题．
(2)汽车做匀速直线运动的位移x1＝v0t＝30×0.5 m＝15 m，汽车做匀减速直线运动的位移x2＝v0t＋at2＝30×4＋×(－7.5)×42 m＝60 m，汽车停下来的实际位移为x＝x1＋x2＝(15＋60)m＝75 m，由于前方距离有80 m，所以不会有安全问题．
【答案】　(1)不会有安全问题　(2)不会有安全问题
总结提能 公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值．若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值．若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反．
ETC是电子不停车收费系统的简称．汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以正常行驶速度v1＝16 m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝8 m处正好匀减速至v2＝4 m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝25 s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶．设汽车在减速和加速过程中的加速度大小分别为a1＝2 m/s2和a2＝1 m/s2.求：
(1)汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
(2)汽车走ETC通道比走人工收费通道节约的时间Δt是多少？
解析：(1)汽车通过ETC通道时，
匀减速过程的位移x1＝＝60 m，
匀加速过程的位移x2＝＝120 m，
则汽车的总位移x＝x1＋d＋x2＝188 m.
(2)汽车走ETC通道时，
匀减速过程的时间t1＝＝6 s，
匀速过程的时间t2＝＝2 s，
匀加速过程的时间t3＝＝12 s.
汽车走人工收费通道时，
匀减速过程的时间t′1＝＝8 s，
匀减速过程的位移x′1＝t′1＝64 m；
匀加速过程的时间t′2＝＝16 s，
匀加速过程的位移x′2＝t′2＝128 m.
则汽车走ETC通道比走人工收费通道节约的时间Δt＝(t′1＋t0＋t′2)－(t1＋t2＋t3)－＝28.75 s.
答案：(1)188 m　(2)28.75 s
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(　C　)
A．物体的末速度一定与时间成正比
B．物体的位移一定与时间的平方成正比
C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比
D．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小
解析：根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，选项A、B错误；由a＝可知，选项C正确．当物体做匀减速运动时，速度减小，但位移可能增大，选项D错误．
2．做匀变速直线运动的物体，加速度为a，在时间t内位移为x，末速度为v，则下列关系中正确的是(　D　)
A．x＝vt＋at2　　　　　B．x＝－vt＋at2
C．x＝－vt－at2 D．x＝vt－at2
解析：根据x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，可得D选项正确．
3．如图所示是汽车与自行车在同一直线上、从同一地点同向运动、同时计时而作出的v－t图象，由图象可知(　A　)
A．在2 s末二者速度相同
B．在4 s末二者速度相同
C．在2 s末二者相遇
D．在4 s末二者不相遇
解析：由图象可知，自行车做匀速直线运动，速度为v1＝6 m/s，汽车做初速度等于零的匀加速直线运动，a＝3 m/s2，交点表示t＝2 s时，二者速度都是6 m/s，A正确，B错误；位移可由图线与横轴所围的面积求得，t＝2 s末面积不相同．t＝4 s末面积相同，C、D错误．
4．(多选)一个物体做匀变速直线运动，它的位移与时间的关系式为x＝t＋0.5t2(m)，从t＝0时开始计时，t1时刻它的速度大小为3 m/s，则(　AC　)
A．物体的加速度a＝1 m/s2
B．物体的加速度a＝0.5 m/s2
C．t1＝2 s
D．t1＝4 s
解析：将x＝v0t＋at2与x＝t＋0.5t2(m)，对比知v0＝1 m/s，a＝1 m/s2.当v＝3 m/s时，t1＝＝2 s，所以A、C选项正确．
5．“10米折返跑”的成绩反映了人体的灵敏素质，测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点—终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时，受试者到达折返线处时，用手触摸折返线的物体(如木箱)，再转身跑向起点—终点线，当胸部到达终点线的竖直面时，测试员停止计时，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度大小为4 m/s2，运动过程中的最大速度为4 m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度大小为8 m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线，求该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？
解析：对受试者，由起点—终点线向折返线运动的过程中，加速阶段根据运动学公式得t1＝＝1 s，s1＝vmt1＝2 m，减速阶段根据运动学公式得t3＝＝0.5 s，s3＝vmt3＝1 m，匀速阶段用时t2＝＝1.75 s．由折返线向起点—终点线运动的过程中，加速阶段根据运动学公式得t4＝＝1 s，s4＝vmt4＝2 m，匀速阶段用时t5＝＝2 s，受试者“10米折返跑”的成绩为t＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5＝1 s＋1.75 s＋0.5 s＋1 s＋2 s＝6.25 s.
答案：6.25 s