人教版数学九年级上册：认识一元二次方程与解一元二次方程导学案（附答案）

专题一：认识一元二次方程与解一元二次方程
知识点1
一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
2．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．3x2＋false＝0
B．（3x－1）（3x＋1）＝3
C．（x－3）（x－2）＝x2
D．2x－3y＋1＝0
3．下列方程属于一元二次方程的是（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
4．下列方程中，一元二次方程共有（　　）
①3x2+x＝20
②2x2﹣3xy+4＝0
③x3﹣x＝1
④x2＝1
⑤false
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．方程false是关于false的一元二次方程，则false__________．
6．若false是关于false的一元二次方程，则false________．
知识点2
一元二次方程的一般形式
1．已知一元二次方程false，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
2．一元二次方程4x2﹣1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．4，﹣1，5
B．4，﹣5，﹣1
C．4，5，﹣1
D．4，﹣1，﹣5
3．方程false的二次项系数是________．
4．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．4，0，81
B．﹣4，0，81
C．4，0，﹣81
D．﹣4，0，﹣81
5．把一元二次方程（x﹣2）2﹣x＝7x+6化为一般形式是_____，二次项系数是_____，一次项是_____，常数项是_____．
知识点3
一元二次方程的根
1．x=2不是下列哪一个方程的解（　　）
A．false
B．false
C．false
D．false
2．已知false是方程x2﹣2falsex+c＝0的一个根，则c的值是（　　）
A．﹣3
B．3
C．false
D．2false
3．false是方程false的一个根，则代数式false的值是（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
4．已知关于x的一元二次方程ax2+x+a2﹣2a＝0的一个根是x＝0，则系数a＝_____．
5．若false则关于x的方程false的解是___________.
6、根据下列表格对应值：
false
3.24
3.25
3.26
false
-0.02
0.01
0.03
判断关于false的方程false的一个解false的范围是（
）
A.false＜3.24
B.3.24＜false＜3.25
C.3.25＜false＜3.26
D.3.25＜false＜3.28
7．已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同根，则这个共同根是_____．
知识点4
配方法
1．用配方法解下列方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false；
false；
（5）false；
（6）false．
2．已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____．
3．若把代数式x2﹣2x﹣2化成（x+m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝_____．
4．用配方法解方程：﹣3x2＋2x＋1＝0．
5．阅读理解：已知false，求m
、n的值．
解：∵
false
∴false
∴false
∴false
∴false．
方法应用：（1）已知false，求a
、b
的值；
（2）已知
false．①用含
y
的式子表示
x
：
；②若false，求
false的值．
知识点5
公式法
1．一元二次方程false的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（
）
A．
B．
C．
D．
2．用求根公式法解得某方程false的两个根互为相反数，则（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
3．x=false是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1=0
B．3x2﹣5x+1=0
C．3x2﹣5x﹣1=0
D．3x2+5x﹣1=0
4．公式法解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false．
知识点6
因式分解法
1．下列方程能用因式分解法求解的有（
）
①false；②false；③false；④false．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程false的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16
B．12
C．14
D．12或16
3．设m是方程false的一个较大的根，n是方程false的一个较小的根，则false的值是（
）
A．false
B．false
C．1
D．2
4．k是常数，关于x的一元二次方程x（x+1）＝k（k+1）的解是（　　）
A．x＝k
B．x＝±k
C．x＝k或x＝﹣k﹣1
D．x＝k或x＝﹣k+1
5．解下列方程：
（1）false；
（2）false．
重难点题型
题型1
利用一元二次方程的相关概念确定字母的取值范围
解题技巧：一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c=0，在解决一元二次方程定义的问题中，有几点需要注意：①在判定前，务必将一元二次方程化简为一般式；
②二次项系数a≠0，二次项的次数为2；③一次项系数b和常数项c无特殊要求。[]
1．关于x的方程false是一元二次方程，则它的一次项系数是(
)
A．－1
B．1
C．3
D．3或－1
2．如果false是一元二次方程，则m的取值范围是________．
3．若关于x的方程false是一元二次方程，则m的取值范围是_________．
4．已知：方程false是一元二次方程，则a的值为______．
题型2.
利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
解题技巧：紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
1．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．
2．已知关于x的方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为（　　）
A．a﹣b＝1
B．a﹣b＝﹣1
C．a﹣b＝0
D．a﹣b＝±1
3．若关于false的一元二次方程false的一根是0，则false＝___________．
4．已知实数false、false、false满足false，那么关于false的方程false一定有根（
）
A．false
B．false
C．false
D．都不对
5．关于false的方程false必有一个根为（
）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2
6．设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（
）。
A．x1=12,x2=13
B．x=-1
C．x1=-1,x2=12,x3=13
D．有无数个根
题型3
解一元二次方程（一）
解题技巧：解一元二次方程的主要方法有：①配方法；②公式法；③因式分解法。建议：
①若能使用因式分解法，优先使用因式分解法，计算量较小；
②若无法使用因式分解法，或不熟练因式分解法，建议使用公式法，不用配方法。
小技巧：若△为整数，则可以使用十字相乘法。
1．按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）x2+4x+2＝0（配方法）
（2）3x2+2x﹣1＝0（公式法）
2．按要求解方程：
（1）直接开平方法：
4(t-3)2=9(2t-3)2
（2）配方法：2x2-7x-4=0
（3）公式法：
3x2+5(2x+1)=0
（4）因式分解法：3(x-5)2=2(5-x)
3．选择合适的方法解方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false；
（4）false．
4．请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）false
（2）false
题型4
配方法的应用（求参数、最值、比大小等）
1、用配方法求参数值和解多元方程
解题技巧：配方法依托完全平方公式（完全平方和公式和完全平方差公式）来完成。关于x的一元二次方程：（ax）2+kx+b2=0，若可刚好配成完全平方的形式，则k=±2ab
注：因完全平方公式有完全平方和公式和完全平方差公式2个，因此此处的k有2解。
解题技巧：解多元二次方程的步骤为：①分组：将不同未知数各自分组；②配方：对分组部分进行配方；③求解方程：此类题型通常可配方为：a（x+m）2+b（y+n）2=0的形式，∴x=－m，y=－n
注：在分组的过程中，常数项可能需要分解成两部分再各自分配到不同组别中，其中分解的原则为：便于配方。
1．已知false，则false的值等于______．
2．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________．
3．已知△ABC三边false满足false，请你判断△ABC的形状，并说明理由．
4．若方程false的左边可以写成一个完全平方式，则false的值为（
）
A．false
B．false或false
C．false或false
D．false或false
2、用配方法求最值
1．不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值(　　)
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
D．可能为负数
2．不论false为任何实数，false的值都是（
）
A．非负数
B．正数
C．负数
D．非正数
3．代数式false的最小值是（
）
A．10
B．9
C．19
D．11
4．阅读下面的解答过程，求false的最小值．
解：false
∵false即false的最小值为0∴false的最小值为4．
仿照上面的解答过程，（1）求false的最小值（2）求false的最大值
3、用配方法比较大小
解题技巧：比较M与N的大小：①作差法得到M－N的多项式；②多项式配方得：m（x+n）2+p=0的形式；③利用平方的值非负的性质判断多项式的正负，从而比较M与N的大小
1．已知false，false，则false的值
（
）
A．为正数
B．为负数
C．为非正数
D．不能确定
2．若M＝a2﹣a，N＝a﹣3，则M、N的大小关系为_____．
3．设P＝（a+2b）2，Q＝8ab，则P与Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P≤Q
4．若代数式false，false，则M与N的大小关系是（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
题型5
解可化为一元二次方程的方程
解题技巧：解此类方程的要点，是基于观察或适当的代数变形，通过换元法（整体代入法），将方程转化为一元二次方程处理。
注：求解过程中，若采用了“去分母”等化为整式的手法，则可能产生增根。因此，所求出的解应该要验根。
方程false的解为__________．
2．已知实数x满足false，求false的值．
3．若实数false满足方程false，那么false的值为（
）
A．-2或4
B．4
C．-2
D．2或-4
4．解方程：false．
参考答案：
知识点1
一元二次方程的概念
D
B
C
B
-2
1
知识点2
一元二次方程的一般形式
B
B
4
C
x2﹣12x﹣2＝0
1
﹣12x
﹣2
知识点3
一元二次方程的根
D
B
【答案】A
【解析】∵把false代入方程false可得：false，∴false，
∴false，
故选：A．
4.【答案】【解析】把x＝0代入一元二次方程ax2+x+a2﹣2a＝0得a2﹣2a＝0，解得a1＝0，a2＝2，
而a≠0，所以a的值为2．故答案为2．
5.【答案】false或false
【解析】解：false
令false时，有false；令false时，有false；∴false，
则关于x的方程false的解是：false或false；故答案为：false或false．
6.【答案】B
【解析】当3.24＜false＜3.25时，false的值由负连续变化到正，
说明在3.24＜false＜3.25范围内一定有一个false的值，使false，
即是方程false的一个解.故选B
7.【答案】x=1
【解析】由题意设同一共同根为t，则false
②-①得（m+6）（t-1）=0
∴当唯一公共根t=1时，两方程有公共根.
知识点4
配方法
1.【答案】（1）false；（2）原方程无实数根；（3）false；（4）false；（5）false；（6）false．
【解析】（1）false
false
配方，得false，
false．
（2）false
移项，得false．
配方，得false．
false，false原方程无实数根．
（3）false
移项，得false．
配方，得false，
false．
（4）false
移项，得false．配方，得false，
false．
（5）false
原方程化为一般形式为false．
移项，得false．
配方，得false，
false．
（6）false原方程化为一般形式为false．
二次项系数化为1得false．
配方，得false，false．
2.【答案】（x﹣3）2＝11
【解析】解：方程x2﹣6x﹣2＝0，
移项得：x2﹣6x＝2，
配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．
故答案为：（x﹣3）2＝11．
3.【答案】-4
【解析】解：∵x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，∴m＝﹣1，k＝﹣3，∴m+k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
4.【答案】false或false
【解析】∵false，∴false，∴false，
∴false，∴false，∴false或false．
5.【答案】（1）a=5，b=false2；（2）①x=4-4y；②2．
（2）①通过移项即可得到答案；②把x换成4-4y，配方，利用非负数的性质求解即可．
【解析】解：（1）∵a2+b2-10a+4b+29=0，∴（a2-10a+25）+（b2+4b+4）=0，
∴（a-5）2+（b+2）2=0，∴（a-5）2=0，（b+2）2=0，∴a=5，b=-2；
（2）①∵x+4y=4，∴x=4-4y；故答案为：x=4-4y；
②∵xy-z2-6z=10，∴y（4-4y）-z2-6z=10，∴4y-4y2-z2-6z=10，
∴4y2-4y+z2+6z+10=0，∴（2y-1）2+（z+3）2=0，∴y＝false，z=-3，∴x=2，
∴yx+z的值=(false)2?3=2．
知识点5
公式法
1.【答案】B
【解析】解方程false得false．
设false是方程false的较大的实数根，false，
false，false，则false，只有B符合要求．故选：B．
2.【答案】A
【解析】false方程false有两根，false且false．
求根公式得到方程的根为false，两根互为相反数，
所以false，即falsefalse，解得false．故选：A．
3.【答案】D
【解析】一元二次方程的求根公式是false，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.
4.【答案】（1）false；（2）false；（3）false．
【解析】（1）false，false，
false，即false；
（2）false，false，false，
false，
false，false；
（3）false，整理，得false，
false，false，
false，false．
知识点6
因式分解法
1.【答案】C
【解析】解：方程false可变形为false，故①能用分解因式法求解；
方程false可变形为false，故②能用分解因式法求解；
方程false不能用因式分解法求解；
方程false可变形为false，即false，故④能用分解因式法求解．综上，能用因式分解法求解的方程有3个，故选：C．
2.【答案】A
【解析】解方程false，得：false或false，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A．
3.【答案】C[]
【解析】解方程false
得false或false，则false，
解方程false，得false或false，则false，false，故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵x（x+1）＝k（k+1），∴x2+x﹣k（k+1）＝0，
∴x2+x﹣k2﹣k＝0，∴（x﹣k）（x+k+1）＝0，∴x＝k或x＝﹣1﹣k．故选：C．
5.【答案】（1）false；（2）false
【解析】（1）false，
移项得：false，
配方得：false，即false，开平方得：false，∴false；
false移项得：false，
分解因式得：false，∴false或false，∴false．
重难点题型
题型1
利用一元二次方程的相关概念确定字母的取值范围
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0，解得m=-1或m=3．
m=3不符合题意，舍去，所以它的一次项系数-m=1．故选：B．
2.【答案】m≠-3
【解析】解：依题意，得m+3≠0，解得，m≠-3．故答案是：m≠-3．
3.【答案】false且false
【解析】由题意，得false，且false，所以false且false，故答案是：false且false．
4.【答案】9
【解析】由题意可知false，false，
false，false，false，故答案为：9．
题型2.
利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
1.【答案】2020.
【解析】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，故答案为：2020.
2.【答案】B
【解析】把x＝﹣a代入方程得：（﹣a）2﹣ab+a＝0，a2﹣ab+a＝0，
∵a≠0，∴两边都除以a得：a﹣b+1＝0，即a﹣b＝﹣1，故选：B．
3.【答案】false
【解析】把false代入方程得：false，且false，
解得：false，故答案为：false．
4.【答案】B
【解析】解：∵a﹣b+c=0，∴b=a+c，①
把①代入方程ax2+bx+c=0中，ax2+（a+c）x+c=0，ax2+ax+cx+c=0，
ax（x+1）+c（x+1）=0，（x+1）（ax+c）=0，∴x1=﹣1，x2=﹣false．故选B．
5.【答案】A
【分析】分别把false，false，false，false代入false中，利用一元二次方程的解，当false为任意值时，则对应的false的值一定为方程的解.
【解析】解：A、当false是，false，所以方程false必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当false时，false，所以当false时，方程false有一个根为false，所以B选项错误；
C、当false时，false，所以当false时，方程false有一个根为false，所以C选项错误；
D、当false时，false，所以当false时，方程false有一个根为false，所以D选项错误.故选：A
6.【答案】C
【解析】试题解析：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，
而m是整数，∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，∴n=1，∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，∴x1=12，x2=13，故选C．
题型3
解一元二次方程（一）
1.【答案】（1）∴x1＝﹣2+false
x2＝﹣2﹣false；（2）x1＝false，x2＝﹣1．
【解析】解：（1）x2+4x+2＝0（配方法）
x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝﹣2+4，
（x+2）2＝2，
∴x+2＝false，
∴x1＝﹣2+false
x2＝﹣2﹣false；
（2）3x2+2x﹣1＝0（公式法）
∵a＝3，b＝2，c＝﹣1，false＝22﹣4×3×（﹣1）＝16，
falsefalse
2.【答案】（1）false；（2）false；（3）false；（4）false；
【解析】解：（1）4(t-3)2=9(2t-3)2
开方得：false，
∴false或false，
∴false；
（2）2x2-7x-4=0方程两边同时除以2得：false，
false，
false，
false，
false，
∴false；
（3）3x2+5(2x+1)=0
方程整理为一般式为：false，
∴false，∴false，
∴false，∴false
（4）3(x-5)2=2(5-x)
方程变形为：false，
∴false，
∴false，
∴false；
3.【答案】（1）false；（2）false；（3）false，false；（4）false，false．
【解析】解：（1）移项，得false，提取公因式，得false．
∴false或false，解得：false；
（2）整理，得false，即false，因式分解，得false．
即false或false，解得：false；
（3）移项，得false．二次项系数化为1，得false．
配方，得false，即false，∴false，
解得：false，false；
（4）方程中，false，false．
∴false，即false，false．
4.【答案】(1)
x1=﹣2，x2=2；
(2)
false，
false.
【解析】（1）x2﹣4=0
x2=4
x=±2
（2）x（x﹣6）=5
x2-6x-5=0
因为a=1，b=-6，c=-5
所以△=36-4×（-5）=56＞0.所以false
，所以false，
false
题型4
配方法的应用（求参数、最值、比大小等）
1、用配方法求参数值和解多元方程
1.【答案】false
【解析】解：false
false，
则false，false，
所以false，false，
所以false．故答案是：false．
2.【答案】2．
【解析】∵x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，∴x2-2x+1+y2+4y+4+z2-6z+9=0，∴(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=0，
∴x-1=0，y+2=0，z-3=0，∴x=1，y=-2，z=3，∴x+y+z=1-2+3=2．故答案为：2．
3.【答案】直角三角形，理由见解析
【解析】解：△ABC是直角三角形．
∵false，∴false，
∴false，∴false，
即false，false，false．∵false，∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．
4.【答案】B
【解析】?(m?2)=±2×2×1，∴m?2=±4，即m?2=4或m?2=?4，
得m=?2或m=6.故选B.
2、用配方法求最值
1.【答案】A
【解析】解：x2+y2+2x-4y+7=
x2
+2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，
则不论x，y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值总不小于2，故选A.
2.【答案】B
【解析】falsefalse，
∴a2＋b2?6a＋10b＋35的值恒为正数．故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：false
∵false∴代数式false的最小值是10．故选：A．
4.【答案】（1）3；（2）5
【解析】解：（1）false
∵false∴false∴false的最小值是3.
（2）false
∵false∴false∴false的最大值为5
3、用配方法比较大小
1.【答案】B
【解析】∵M-N=8x2-y2+6x-2-（9x2+4y+13）=-x2+6x-y2-4y-15=-[（x2-6x+9）+（y2+4y+4）+2]
=-（x-3）2-（y+2）2-2，∴M-N的值为负数，故选：B．
2.【答案】M＞N
【解析】由M=a2-a，N=a-3，得M-N=a2-a-a+3=（a-1）2+2．由于（a-1）2≥0，所以（a-1）2+2＞0，
所以M-N＞0，所以
M＞N．故答案是：M＞N．
3.【答案】C
【解析】解：P﹣Q＝（a+2b）2﹣8ab＝a2+4ab+4b2﹣8ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2≥0，
∴P≥Q，故选：C．
4.【答案】C
【解析】∵false，
∴false，∴false.故选C.
题型5
解可化为一元二次方程的方程
1.【答案】false
即x2-x-2=0
∴（x-2）（x+1）=0
∴x=2或x=-1
∵x=-1时不满足题意．∴x=2．故答案为：2．
2.【答案】false或false．
【解析】解：false，false原方程可变形为false．
设false，则原方程可变形为false，解得false．false或false．
3.【答案】B
【解析】设false=a，则原方程化为：false，∴false，（a-4）（a+2）=0，
解得false，false，
∴false=4或-2，
当false=-2时，方程无解，故舍去，∴false=4，故选：B.
4.【答案】false．
【解析】当false时，false，解得false；
当false时，false，矛盾，舍去；
当false时，false，解得false．
故方程的解有4个，分别为false．