人教版八年级下册第16章 16．3分式方程课时同步训练

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第十六章 分式
16．3分式方程
第1课时（共4课时）
课前预习篇
1． 含有未知数的等式叫做方程， 分母中含有未知数的方程 叫分式方程．
2．解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程．具体做法是： 去分母 ，即方程两边同乘 最简公分母 ．
3．检验分式方程的根：解分式方程时，先求出转化的整式方程的解，然后检验，检验方法是： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 ．
4．增根：在将分式方程变为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，此时解出的整式方程的根使有时可能不适合原分式方程,这种根通常称为增根．
典例剖析篇
【例1】（1）（2010无锡）；
（２）（2010北京）解分式方程：=．
【解析】方程两边同时乘以最简公分母2(x-2)，转化为整式方程，然后求解．
解：（1）分子分母同乘x(x+3)，得2(x+3)=3x,
解得：x=6．
检验，当x=6时，x(x+3≠0，
所以原方程的解是x=6
（２）方程两边同乘2(x-2)，得：3-2x=x-2．
整理，得：3x=5．
解得：x=
检验：当x=时，2(x-2)≠0，
所以x=是原分式方程的解．
【例2】解分式方程：．
【解析】将分式方程化为整式方程，再解整式方程．对于分式的分母可以分解因式的，要先对分母进行因式分解，再找最简公分母，将分式方程化为整式方程．最后的结果要进行检验．
解：原方程可化为：
方程两边同乘x(x-2)，得：10(x-2)-2x=-4
整理，得：8x=16．
解得：x=2．
检验：当x=2时，x(x-2)=0，
所以x=2不是原分式方程的解，原分式方程无解．
基础夯实篇
1．下列方程中，是分式方程是（ D ）
A．2(x+8)=7+3x B．x= C． 　　 D．
2．下列说法中，正确的是（ D ）
A．方程的解等于0就是增根
B．使分式分子的值为0的根是增根
C．增根既是原方程的根，双是原分式方程去分母后所得的整式方程的根
D．使最简公分母的值为0的根是增根
3．已知若用含x的代数式表示y，则以下结果正确的是 ( C )．
A． B．y＝x＋2 C． D．y＝－7x－2
4． (2010福州）分式方程的解( A )
A． B． C． D．
5．（2010咸宁）分式方程的解为（　D　）
A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3
6．完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的60%，所需要的时间是( C )．
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
7． （2010毕节）关于的分式方程无解，则的值为（ A ）
A．2 B．1 C．0 D．2
8． （2010浙江）分式方程的解是 x=3 ．
9．（2010汕头）分式方程 的解=__1___．
10．（2010哈尔滨）方程的解是 x=-2
11．（2010鄂尔多斯）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为________．
12．x＝___时，分式与的值相等．
13．若方程有增根，则增根是___．
14．若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为________．
决胜中考篇
15．（2009上海）用换元法解分式方程时，如果设，将原方 程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（ A ）
A． B．
C． D．
16．要使的值和的值互为负倒数，则x的值为( D )．
A．0 B．-1 C． D．3
17．若关于x的方程有增根，则k的值为( A )．
A．3 B．1 C．0 D．－1
18．梯形面积公式s=(a+b)h中，已知s，a，h，且h≠0，则b= ．
19．当a＝__时，关于x的方程的根是1．
20．解分式方程：
（1）（2010嘉兴）＋＝2
解：分子分母同乘x(x+1)，得
整理得：2x=-1,
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解是
（2）(2010江西）＋＝1．
解：去分母，得：
解得：．
检验：当x=3时，（x+2）(x-2)≠0，所以x=3是原分式方程的解．
（3）（2010眉山） HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4
解：
解这个整式方程得：
经检验：是原方程的解．
所以原方程的解为．
21．解分式方程：
解：将方程两边分别通分，得：
，
第2课时（共4课时）
课前预习篇
1．解分式方程常用的方法：直接去分母法
2．解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．．验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．
典例剖析篇
【例１】（2010青海 ）分式方程的解为 ．
【解析】先将分式方程的分母分解因式，确定最简公分母，然后去分母得x―1―6（x+1）=3，化分式方程为整式方程求解得
【答案】
【点拨】本题属于基础题，主要考查分式方程的解法，容易出错的地方有两处，一是1―x忘记乘以－1；二是去括号时－6与+1相乘时，忘记变符号，信度相当好
【例２】当m为何值时，关于x的方程有一个负数解？求m的取值范围．
【解析】原分式方程有负数解，即说明分式方程是有解的．先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再抓住此时x的值是负数这个条件，即可求出m的范围．注意m的取值不能使分式方程的分母为0．
解：原方程两边都乘以x+5，约去分母得x－3(x+5)=m，
所以x=
因为原方程有解，所以不能为增根．
即≠-5，所以m≠-5．
又因为方程的解为负数，所以＜0，即m＞-15．
所以当m＞-15且m≠-5时，原方程有一个负数解．
基础夯实篇
1．（2010南宁）将分式方程去分母，整理后得( D )
A． 　 　 B．
C． D．
2．（2010晋江）分式方程的根是( C ) ．
A． 　　 B． C． 　　　D．无实根
3．（2010重庆潼南）方程的解为（ B ）
A． B． C． D．无解
4．（2010曲靖）分式方程的解是（　B　）
Ａ．2　　Ｂ．1　　Ｃ．－1　　Ｄ．－2
5．（2009山西）解分式方程，可知方程（ D ）
A．解为 　　　B．解为 C．解为　　　 D．无解
6．（2010南安）方程的解是__x=2______
7．（2010宜宾）方程的解是 x=4_
8．(2009成都)分式方程的解是____x=2_____
9．(2009潍坊)方程的解是 ．
10．（2010德州）方程的解为=____-3_______．
11．（2010山西）方程的解为__ x＝5___．
12．（2010温州）当x= 5 时，分式的值等于2．
13．解分式方程：，若令，则原方程可变形为　 ．
14．（2010海南）解方程：
解：两边都乘以得：
检验：当时入x-1≠0，
所以原方程的根是
15．（2010南平）解方程：+ =1
解:方程两边同时乘以(x+1)(x－1)得
x(x－1)+2(x+1)=x2
解得x=－3
经检验: x=－3是原方程的根．
所以原方程的根是x=－3
决胜中考篇
16．（2010天津）若，则的值为．
17．（2010宁夏）若分式与1互为相反数，则x的值是 -1　　　　
18．已知，则＝__9．5______．．
19．（2010鞍山）若方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
20．（2009牡丹江）若关于的分式方程无解，则 1或-2　　．
21．（2010菏泽）解分式方程
解：原方程两边同乘以得
解得
检验知是原方程的增根
所以原方程无解
22．（2010荆州）解方程：
．解： 去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根．
23．（2010达州）对于代数式和，你能找到一个合适的值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程．
（2）解：能．
根据题意，设= ，
则有2x+1=3（x-2）．
解得：x=7, 经检验得x=7是=的解．
所以，当x=7时，代数式和 的值相等．
24．关于x的方程有增根，求k的值．
解：去分母，得：（x+2）+k(x-2)=3，整理，得：．
因为增根可能是-2 或2，因此当x=2时，，2k+1=2k+2不可能成立；当x= -2时，，解得：．所以当时，原方程有增根．
第３课时（共4课时）
课前预习篇
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数（要有单位）；
（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；
（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
（5）写出答案（要有单位）．
典例剖析篇
【例1】在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？设甲工程队单独完成任务需x天，依题意所列方程为
【解析】 工程问题要牢牢抓住工作总量为1这一隐含条件，来列出方程．甲工程队单独完成任务需x天，则乙在程队单独完成任务需x+2天，根据题意，不难得出本题的答案．
【答案】
【例2】（2010珠海）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1．5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1．5x件产品，依题意得
解得:x=40
经检验：x=40是原方程的根，所以1．5x=60
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
基础夯实篇
1．（2010益阳）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少 设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是（ C ）
A． B．
C． D．
2．(2010深圳)某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（ B ）
A．＝＋12 B．＝－12
C．＝－12 D．＝＋12
3．（2010青海） 某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（ C ）
A． B．
C． D．
4．某中学图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书，由于科普书的单价比文学书的单价高出一半，因此学校所购买的文学书比科普书多4本，求文学书的单价．设这种文学书的单价为x,则根据题意，所列方程为__________．
5．（2010佛山）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm）（参考数据:黄金分割数：，）
解：设应该穿xcm的鞋子．
得，解得10cm
决胜中考篇
6．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，则根据题意可得：，解得：x=3
经检验，x=3是原方程的根．
所以这个个位上的数字为：x+1=3+1=4，所以这个两位数是：
答：这个两位数是34．
7．（2010日照）2010年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1．5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
解：设原计划每天生产x吨纯净水，则依据题意，得：
解得：x=200，
把x代入原方程，成立，所以x=200是原方程的解．
答：原计划每天生产200吨纯净水．
8．（2010新疆）2010年4月14日我国青海玉树地区发生强烈地震，急需大量赈灾帐篷．某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶，现在生产3 000顶帐篷所用的时间与原计划生产2 000顶的时间相同．现在该企业每天能生产多少顶帐篷？
解：设现在该企业每天生产顶帐篷，则原计划每天生产顶帐篷
由题意得：
解得 ，经检验是原方程的解
即该企业现在每天生产600顶帐篷
9．（2010丹东） 某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成．
（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t＞4）之间的函数关系式;
（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？
解：（1）
（2）= =
答：每天多做件夏凉小衫才能完成任务．
10．（2010济宁）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20m，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．
（1）解：设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x-20）米．
根据题意得：． 解得．
检验: 是原分式方程的解．
所以甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．
（2）设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米．
由题意，得解得． 所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．
第３课时（共4课时）
课前预习篇
1．列分式方程解应用题时，设未知数很重要，如果设一个未知数不好表示相等关系，可多设一个未知数，一般情况下，一道题中有几个未知数就列几个方程进行求解．
2．列分式方程解应用的关键是找等量关系．
典例剖析篇
【例1】（2010淄博）小明7：20离开家步行去上学，走到距离家500米的商店时，买学习用品用了5分钟．从商店出来，小明发现要按原来的速度还要用30分钟才能到校．为了在8：00之前赶到学校，小明加快了速度，每分钟平均比原来多走25米，最后他到校的时间是7：55．求小明从商店到学校的平均速度．
【解析】此类行程问题中通常要抓住时间之间的等量关系来做为解题的突破口．
解:设小明从家走到商店的平均速度为x米/分，则他从商店到学校的平均速度为（x+25）米/分，根据题意列方程得 ，解这个方程得x＝50
经检验x＝50是所列方程的根． 50＋25＝75（米/分），所以小明从商店到学校的平均速度为75米/分．
【例2】（2010威海）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m ，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．
解：设该市去年居民用气的价格为x元/ m ，则今年的价格为(1+25%)x元/ m ．
根据题意，得 ．
解这个方程，得x＝2．4．
经检验，x＝2．4是所列方程的根． 2．4×(1+25%)＝3 (元)．
所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m ．
基础夯实篇
1．去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1．8倍，结果提前20天完成修水渠任务． 问原计划每天修水渠多少米？设原计划每天修水渠 x 米． 根据题意列方程得： ．
2．某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1．5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？设原计划参加植树的团员有x人． 根据题意，可列方程为 ．
3．（2010青岛）某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设管道，那么根据题意，可得方程 或30．
4．（2010扬州）为了迎接扬州烟花三月经贸旅游节，某学校计划由七年级（1）班的3个小组（每个小组人数都相等）制作240面彩旗．后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务，这样这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗．如果每名学生制作彩旗的面数相等，那么每个小组有多少学生？
解：设每个小组有x名学生，根据题意，得
解得：x=10
经检验：x=10是原方程的解
答：每个小组有10名学生．
决胜中考篇
5．（2010丹东）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
解：设原来每天加固x米，根据题意，得
．
去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400）
解得 ．
检验：当时，（或分母不等于0）．
所以是原方程的解．
答：该地驻军原来每天加固300米．
6．海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹 海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格．
解：设该公司今年到台湾采购苹果的成本价格为x 元/kg，根据题意，得：，解得：x=2．5
经检验，x=2．5是原方程的根．当x=2．5时，2x=5．
答：实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/kg．
7．（2010邵阳）小明离家2．4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍．
（1）小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？
（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？
解：（1）设步行的速度为x米/分钟，则骑自行车的速度为3x米/分钟．
依题意得， 解得x=80 3x=240
答：小明步行的速度是80米/分钟．
（2）来回家取票总时间为：=42,
因为42＜45，所以能在球赛开始前赶到体育馆．
8．（2010 镇江）小明新买了一辆“和谐”牌自行车，说明书中关于轮胎的使用说明如下：小明看了说明书后，和爸爸讨论：小明经过计算，得出这对轮胎能行驶的最长路程是（ C ）
A．9．5千公里 B． HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 千公里 C．9．9千公里 D．10千公里
9．（2010盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
解：求两个班人均捐款各多少元？
设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得: ·90%=
解得x=36 经检验x=36是原方程的根
所以x+4=40
答：1班人均捐36元，2班人均捐40元
解法二：求两个班人数各多少人？
设1班有x人，则根据题意得: +4=
解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根
所以90x % =45
答：1班有50人，2班有45人
我们加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍．
你们是用9天完成4800米长的大坝加固任务的
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