人教版数学八年级下册第18章18．1勾股定理课时同步训练

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第十八章 勾股定理
18．1勾股定理
第1课时（共3课时）
课前预习篇
1． 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=___c2_____．例如：如果直角三角形的两直角边分别是1、1，则斜边为________．
2． 勾股定理的证明：勾股定理常用面积相等的方法进证明．
3． 勾股定理的适用范围：勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能直接使用勾股定理．
典例剖析篇
考点1.勾股定理的证明
【例1】已知：如图，边长为（a+b）的大正方形被分为4个全等的直角边为a,b,斜边为c的直角三角形和一个边长为c的正方形．
求证：a2＋b2=c2．
【解析】证明勾股定理的方法有300多种，此题是其中的一种证明方法．利用面积相等可以得出证明．
证明：大正方形的面积为：
大正方形的面积还可以表示为：
=
所以=．
所以=
考点2．利用勾股定理进行计算
【例2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且AD=12，AB=13，BC=14．求AC的长．
【解析】由勾股定理先求BD 、CD，再求AC．
解：因为CD为高，
所以△ACD和△ABD为直角三角形
所以由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，即BD=5，
所以CD=BC-BD=14-5=9．
在Rt△ACD中，因为AD=12，CD=9，所以=
所以
基础夯实篇
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ C ）
A．26 B．18 C．20 D．21
4．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（ C ）
A．13 B．5 C．13或5 D．无法确定
5．将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（ B ）
A．4倍 B．2倍 C．不变 D．无法确定
6．正方形的面积是4，则它的对角线长是（ C ）
A．2 B． C． D．4
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ B ）
A．6
B．
C．
D．4
8．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是( C )
A. a2 + b2=c2
B. ab=c
C. a+b=c
D. a+ b=c2
9．写出一组是3个连续偶数的勾股数： 6，8，10 ；
写出一组是3个连续自然数的勾股数： 3，4，5 ．
10．一个三角形的三个内角∠A：∠B：∠C=1：2：3，则此三角形是___直角____三角形；若此三角形的三边对应分别为a、b、c，则此三角形的三边的关系是___ a2+b2= c2_______．
11．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 ∠C =90°； 若满足b2＞c2＋a2，则∠B是 钝 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠B是 锐 角．
12．若直角三角形的边长为6，8，则第三边长为 10或2 ．
13．在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°,AB=10，则BC= 5 ，AC= ．
决胜中考篇
14．（2010眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ C ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
15．（2009年长沙）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若，则 4 cm．
16．(2009达州)上图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ C ）
A．13
B．26
C．47
D．94
17．阅读下面内容后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 张雨同学举手说: “第三边长是5”； 王宁同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
解：因为没有确定第三边是否是直角三角形的斜边，所以两种情况都有可能，即如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 那么如果第三边是斜边，则是5；如果第3边长是不是斜边，则4是斜边，第三边长是。
18．（2009新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
解：（1）图
（2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为
,，，．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二解：（1）如图
（2）证明：大正方形的面积表示为：，又可以表示为：,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
第2课时（共3课时）
课前预习篇
1． 勾股定理的应用：
①已知直角三角形的两边，求第三边；②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
③用于证明有关线段平方关系的问题
2． 当多边形中不能直接应用勾股定理时，适当添加辅助线将其转化为直角三角形问题来解决．
3．理解勾股定理的一些变式 ：c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2 　　c2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c)
典例剖析篇
【例1】如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF
所以∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE
设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，
所以BF=6 cm
所以CF=BC－BF=10－6=4(cm)
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42
所以64－16x+x2=x2+16
所以x=3(cm),即CE=3 cm．
【例2】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上任意一点.求证：
【解析】在直角三角形中，如果有证明有关线段平方关系的问题，用勾股定理的思想来解决．
证明：在Rt△DBC中，因为∠ACB=90°，所以由勾股定理可得：．
在Rt △ABC中，∠ACB=90°，
所以，
所以
所以．
基础夯实篇
1．一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( A )
A. 12cm B. C. D.
2． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（假设2步为1米）（ C ）步路，却踩伤了花草．
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2009滨州）知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8， 则边BC的长为（ A ）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对
4．（2009白银）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　C　）
A．2 B．3
C． D．
5．直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高为 .
6．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为__169______．
7． (2009内江)已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝_____8_______。
１．（2010哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 125 度。
决胜中考篇
8． （2009宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
10．（2009临沂）如图，过原点的直线l与反比例函数的图像交于M，N两点，根据图像猜想线段MN的长的最小值是___________．
11．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=27时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来．
3，4，5 32+42=52
5，12，13 52+122=132
7，24，25 72+242=252
9，40，41 92+402=412
．．．．．． ……
27，b,c 272+b2=c2
解：当a=27时，b=364，c=365
，
12．如图，一架长5m的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3m．如果梯子的顶端沿墙下滑1m，梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动1m吗？如果梯子顶端下滑2 m呢？用所学知识，论证你的结论．
解：当梯子顶端下滑1米时，
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB=5，BC=3，
所以由勾股定理得：
AC==4
梯子下滑后，如图，在Rt△DCE中，DE=5，DC=AC-1=3，
所以CE==4
所以梯子顶端下滑1m时，底端移动的距离为CE-BC=4-3=1 m．若梯子顶端下滑2 m，则AD=2，DC=4-2=2，此时
CE=
此时梯子滑动的距离为CE-BC=-3
12．(2009定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点。
求证：（1）；
（2）．
证明:（1） 因为∠ACB＝∠ECD，
所以∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠ACE．
即∠BCD=∠ACE．
因为BC=AC，DC=EC， 所以 △ACE≌△BCD．
（2）因为△ACB是等腰直角三角形，
所以∠B=∠BAC=45°．
因为 △ACE≌△BCD， 所以∠B=∠CAE=45°．
所以∠DAE=∠CAE+∠BAC= 45°+45°=90°．
所以．
由（1）知AE＝DB，所以．
10．有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是40cm、30cm、50cm的木盒中，能放进去吗？通过计算说明理由．
解：能放进去．
木盒中能放的最长的木棒的长度是DB′的长度．
在Rt△BDC中，BD= =
在Rt△BDB′中，由勾股定理得：B′D= = ＞70，
所以能放进去．
第3课时（共3课时）
课前预习篇
1．勾股定理在实际生活中应用非常广泛，要善于把实际问题转化为数学问题，特别是能准确的画出图形
2．数轴上的点不但可以表示__有理____数，也可以表示__无理____数，实数与数轴上的点是__一一对应______的．
典例剖析篇
【例1】如图，网格中的每个小正方形边长都是1，请在图中画出表示，这样的线段．
解：如图，AB、CD、EF，GH分别表示，．
【例2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．
（2）若会受到观风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
【解析】将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理求解．
解：（1）作AH⊥BC于H
在Rt△ABH中，因为∠B=30°，
所以（千米）
又因为台风中心的影响半径为（12-4）×25=200（千米）
所以城市A要受台风影响．
（2）假设台风从M处开始影响A市，到N处结束，连接AM、AN．
在Rt△AMH中，
因为MH2=AM2-AH2=25600
所以MH=160（千米）
所以台风影响该城市的持续时间为（2×160）÷20=16（小时）
（3）该城市受台风影响的最大风力为12-120÷25=7.2（级）
基础夯实篇
1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ C ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( B )
A.20m B.25m C.30m D.35m
3．（2009恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　B　　）
A． B．25 C． D．
4．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 合格 ．（填“合格”或“不合格” ）
5．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为___480 m ______．
6．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高___15___米．
7．（2010德州）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__ 4___m.
决胜中考篇
8．（2009滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中AB=4 m，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 （2+2）米 ．
9．（2009年安徽）13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．
10．(2009安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是___76 ．
11．（2010厦门）如图3，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为 ______厘米.
12．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形．
（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一端点B在格点上，且长度为；
（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且令两边的长度都是无理数．
12．如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑50米到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑200米到离B点最近的D点，再跳入海中．若三名救生员同时从A点出发，他们在岸边跑的速度都是5米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点B．
．解：在△ABD中，∠BAD=45°，, ．
所以∠ABD=45°，BD=AD=200，
所以由勾股定理得：．
在中，，所以．
所以1号救生员到达B点所用的时间为（秒）
2号救生员到达B点所用的时间为（秒），
3号救生员到达B点所用的时间为（秒）．
，所以2号救生员先到达营救地点．
13．中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
解：在Rt△ABC中， BC2=AB2-AC2=502-302=1600，
所以BC=40
所以汽车的行驶速度为40÷2=20（m/s）=72（km/h）
因为72>70 所以小汽车超速了
答：这辆小汽车超速了．
14．(2009牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
解：在Rt△ABC中，，由勾股定理有：，扩充部分为Rt△ABC，扩充成等腰△ABD．应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6,得△ABD的周长为32m．②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4,由勾股定理得：AD=4,得△ABD的周长为，③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x,则CD=x-6,由勾股定理得：,得△ABD的周长为 m.
l
N
M
x
y
O
S3
S27S2
S11
c
b
a
a
a
a
b
b
b
c
c
c
c
b
a
c
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
B
D
C
A
c
b
5
20
15
10
C
A
B
A时
B时
B
C
A
30°
观测点
小汽车
小汽车
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