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第十九章 四边形
19．1平行四边形
19．1．2 平行四边形的判定
第1课时（共3课时）
课前预习篇
1．平行四边形的定义：两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的判定：两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形； 两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形；对角线 互相平分 的四边形是平行四边形．
典例剖析篇
【例1】已知：如图，在□ABCD中，点E、F、G、H分别在□ABCD的4条边上，且AE=CF，BH=DG．求证：EF与GH互相平分．
【解析】由已知条件分析可知，要证明EF与GH互相平分，只要证明四边形HFGE是平行四边形即可．本题相等的线段比较多，很容易证明三角形全等，进而证明HE=GF，HF=GE，从而得出四边形HFGE是平行四边形，进而得证．
证明;连接HE、HF、FG、GE．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D．
因为BH=DG，所以AB-BH=CD-DG，即AH=GC，
因为AE=CF，∠A=∠C，所以△AHE≌△CGF（SAS），所以HE=GF．
同理可证△HDF≌△GBE，得HF=GE，
所以四边形EHFG是平行四边形，所以EF与GH互相平分．
【例2】（2010宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
【解析】由已知进行分析，要证明∠EBF=∠FDE，可用三角形全等来证明，但过程比较麻烦．若能证明四边形BFDE是平行四边形，则根据平行四边形对角相等即可得出证明．此题用对角线EF，BD互相平分来证明就十分简便．
证明：连接BD交AC于O点
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD
又因为AE=CF，所以OE=OF
所以四边形BEDF是平行四边形，所以∠EBF=∠EDF
基础夯实篇
1．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ D ）．
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ C ）．
A．AB平行且等于CD B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC
3．（2010成都）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ C ）
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种
4．（2009威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ D ）
A．AD=BC
B．CD=BF
C．∠A=∠C
D．∠F=∠CDE
5．（2010宁夏）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2009白银）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（ C ）
A．2
B．3
C．
D．
7．(2010衡阳）在如图4所示的四边形ABCD中，已知AB//CD，要使它为平行四边形，在不添加任何辅助线的前提下，还需添加一个条件，这个条件是 AD//BC或AB=CD ．
决胜中考篇
8．(2010东滨州)如图,□ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 2 ．
9．（2010怀化） 如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OD=OB,OA=OC
所以∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO
所以△FDO≌△EBO
所以OF=OE
所以四边形AECF是平行四边形
10．(2010东营)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
证明:（1）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．
又因为点E，F分别是AD，BC的中点．所以AE=CF,
因为∠BAE=∠DCF, 所以△ABE≌△DCF (边角边)
（2）在平行四边形BFDE中，
因为△ABE≌△DCF ,所以 BE=DF．
又因为点E，F分别是AD，BC的中点．
所以DE=BF,所以四边形BFDE是平行四边形．
11．（2010晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°
已知：在四边形ABCD中， ， ；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以．
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：因为AD∥BC
所以∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
因为∠A=∠C，所以∠B=∠D
所以四边形ABCD是平行四边形
12．（2010中山）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30 ，
EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
解：（1）提示：
（2）提示：，AD∥EF且AD=EF
第2课时（共3课时）
课前预习篇
1．一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”．例如：如图，AD∥BC，AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形．
2．平行四边形的判定方法：
从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
典例剖析篇
【例1】如图，在□ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形．
【解析】由AE⊥BD，CF⊥BD可知：AE∥CF，因此要证明四边形AECF是平行四边形，只需证AE=CF 或AF∥CE即可．显然，通过证△ABE≌△CBF来证得AE=CF比较容易实现．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB=CD．所以∠ABD=∠CDB．
因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，所以∠AEB=∠CFD=90°．
所以△ABE≌△CBF（AAS），所以AE=CF，
因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形．
【例2】（2010嘉兴）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上且AE＝CF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）连接BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）
证明：（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．
因为AE=CF，所以BE=DF，且BE//DF．
所以四边形BFDE是平行四边形．
所以．
（2）连接BD，如图，图中有三对全等三角形：△ADE≌△CBF，△BDE≌△DBF，△ABD≌△CDB．
基础夯实篇
1．下面命题中，正确的是（ C ）
A． 一组对角相等的四边形是平行四边形
B． 一组对角互补的四边是平行四边形
C． 两组边分别相等的四边形是平行四边形
D． 两组对角分别相等的四边形是平行四形．
2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ C ）．
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
3．已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么□ABCD一定是平行四边形．
其中正确的说法是（ C ）
A． ①和② B． ①、③和④
C． ②③ D． ②、③和④
4．如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD， 那么图中和△ABD面积相等的三角形有（ B ）个．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
5．如图，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是__平行____四边形，理由是__一组对边于行且相等的四边形是平行四边形___________．
6．（2009郴州）如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件___AB∥CD或AD=BC（答案不唯一）____（写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)
7．（2009牡丹江）如图，□ABCD中，E、F分别为BC、AD边上的点，要使BF=DE需添加一个条件： BE=DF（答案不唯一） ．
决胜中考篇
8．已知：如图， D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC，
求证：CD=AN．
证明：如图，因为 AB∥CN
所以∠1=∠2． 在△AMD和△CMN中
△AMD ≌△CMN
所以AD=CN，又AD∥CN，
所以四边形ADCN是平行四边形
9．在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．
（1）求证：△ABE ≌△DFE．;
(2)连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，
并证明你的结论
答案：（1）略，（2）平行四边形．
10． （2010恩施）如图7，已知，在ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
( http: / / / )求证：四边形MFNE是平行四边形 ．
证明：由平行四边形可知，AB=CD，∠BAE=∠DFC，
又因为AF=CF． 所以△BAE≌△DCF
所以BE=DF，∠AEB=∠CDF
又因为M、N分别是BE、DF的中点，所以ME=NF
又由AD∥BC，得∠ADF=∠DFC
所以∠ADF=∠BEA， 所以ME∥NF
所以四边形MFNE为平行四边形．
11．如图所示，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只须说明一组线段相等即可）．
（1）连接____________；
（2）猜想：____________＝____________；
（3）说明所猜想的结论的正确性．
解：（1）连接BF；
（2）猜想：BF＝DE
（3）如图12-1-14所示，连接DB、DF、BF、DB、AC交于点O
因为四边形ABCD为平行四边形，则
AO＝OC，DO＝OB（平行四边形的对角线互相平分）
又AE＝FC（已知）
AO－AE＝OC－FC
即EO＝FO
则四边形EBFD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
所以BF＝DE（平行四边形的对边相等）
第3课时（共3课时）
课前预习篇
1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
3．三角形中位线与三角形中线的区别：
中位线：中点与中点的连线，如图，DE是中位线；中线：顶点与对边中点的连线，如图，BD是中线．
典例剖析篇
【例1】如图，已知E为□ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于点O，连接OF．求证：DE＝4OF．
【解析】由于O为□ABCD对角线的交点，故O为AC的中点．要证明DE＝4OF，根据已知条件，CE=DC，故DE=2DC，即证明2DC=4OF，即DC=2OF，根据平行四边形的性质知AB=DC，所以只要证明点F为BC的中点即可．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD且AB∥CD， AO=OC．
因为CE=DC，所以AB=CE且AB∥CE，
所以△ABF≌△ECF（AAS），所以AF=FE ．
因为AO=OC， 所以FO是三角形AEC的中位线， 所以AB=2OF，
因为AB=CD，CE=DC，DE=CD+CE，所以DE=4OF．
【例2】求证：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
【解析】对于这样的证明题，需要分析题目中的已知条件，再结合相应的图形做出解答．
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：证明：连接AC，△DAG中，
因为 AH=HD，CG=GD，
所以 HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．
同理EF∥AC，EF=AC．
所以 HG∥EF，且HG=EF．所以 四边形EFGH是平行四边形．
基础夯实篇
1．已知△ABC的周长为30，中位线DE=4，中位线EF=8，则另一条中位线DF的长为（ C ）
A．6 B．7 C．3 D．9
2．周长为m的三角形ABC中，顺次连接各边中点，得到一个三角形A1，再顺次连接所得三角形各边的中点，又得一个小三角形A2，再顺次连接各边中点，得到一个三角形A3，则A3的周长是（ C ）
A． B． C． D．
3．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形的面积是（ B ）．
A．12cm B．24m C．48cm D．60cm
4．（2009茂名）杨伯家小院子的四棵小树E、F．G．H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（ A ）
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
5．如图所示，中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别为OB、OC的中点．若BC=12， EF=5，则四边形EFGD的周长为（ C ）
A．17
B．34
C．22
D．无法确定
6． (2010潍坊)如图，在中，
点F是边上一点，过点作交于点过点作交于点则四边形的周长是__．
7．（2010宁德）如图，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点，若EF的长为2，则BC的长为 4 ．
8．（2009山西）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，的周长为16cm，则的周长是 8 cm．
9．（2009哈尔滨）如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD．BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为 6 ．
决胜中考篇
10． 如图，DE是⊿ABC的中位线，DE=2cm,AB+AC=12cm, 则梯形DBCE 的周长为 10 cm．
11如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 18°．
12．已知三角形3条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长．
解：根据题意，设三角形三条中位线长分别为3x，5x，6x，则三角形的三边长分别为：6x，10x，12x，
所以三角形周长为：：6x+10x+12x=112，解得x=4．
所以三角形三条中位线长分别为：12 cm ，20 cm，24 cm．
13．如图，四形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC，AC的中点．
求证：（1）四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH中，EF=EH？并证明你的结论．
证明：（1）在△ABD中，因为点E，F是AD，BD的中点，
所以EF∥AB，EF=AB．
同理：GH∥AB，GH=AB；EH∥DC，EH=DC．
所以EF∥GH，EF=GH，
所以四边形EFGH是平行四边形．
（2）由（1）知，EF=AB，EH=DC，
要使EF=EH，只要满足AB=DC就可以了．
14．如图，李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状．请问李大伯愿望能否实现 若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由．
解：如图所示,连接对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作
BD、AC、BD、AC的平行线,且这些平行线两两相交于E、F、
G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形．
A
C
B
D
E
F
O
E
B
A
F
C
D
A
E
D
C
F
B
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
第18题图
（第3题）
D
C
B
A
A
B
C
E
D
F
Ａ
Ｄ
Ｈ
Ｇ
Ｃ
Ｆ
Ｂ
Ｅ
A
C
D
B
E
O
C
F
D
B
E
A
P
A
B
C
D
E
F
G
H
O
A
B
C
D
图19-25
A
B
C
D
E
F
G
H
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19．1平行四边形
19．1．1平行四边形的性质
第1课时（共2课时）
课前预习篇
1．两组对边分别 平行 的四边形叫平行四边行．平行四边形ABCD记作 □ABCD ．
2．平行四边形的 对边 相等，平行四边形的 对角 相等．如图，在□ABCD中，相等的边有 AD=BC,AB=DC ，相等的角有 ∠B=∠D，∠A=∠C ．
典例剖析篇
【例1】如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？对你的猜想加以证明．
【解析】根据平行四边形的性质可得BC=AD，BC∥AD．进而推理得到∠1=∠2，从而得到△BCE≌△DAF，得证．
解：猜想BE∥DF，BE=DF．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD，∠1=∠2．
又CE=AF，所以△BCE≌△DAF，
所以BE=DF，∠3=∠4，所以BE∥DF．
【例2】(2010衢州)已知：如图，E，F分别是□ABCD的边AD，BC的中点．
求证：AF=CE．
【解析】根据平行四边形的性质对边相等、对角相等，再通过证三角形全等来得出结论．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，
所以 BF=DE．
又 因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以∠B=∠D，AB=CD．
所以△ABF≌△CDE．
所以AF=CE．
基础夯实篇
1． 在□ABCD中,∠A=80°,则∠D的度数是 ( B )
A． 105° B． 100° C． 110° D． 80°
2． 在□ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是 ( C )
A． 80° B． 90° C． 100° D． 110°
3．在□ABCD中，∠B= 60°，那么下列各式中，不能成立的是（ B ）
A．∠D= 60° B．∠A=120°
C．∠C+∠D= 180° D．∠C+∠A= 180°
4．（2010泰安）如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ B ）
A．AD=CF B．BF=CF C．AF=CD D．DE=EF
5．（2010湖州）如图，已知在□ABCD中，AD＝3cm，AB＝2 cm，则□ABCD的周长等于（A）
A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm
6．（2009桂林）如图，□ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ C ）．
A．3 B．6 C．12 D．24
7．如图,点 D,E,F分别在△ABC的三边BC,AC,AB上,且DE∥AB, DF∥AC, EF∥BC,则图中共有_____3_____个平行四边形,分别是__□AFDE，□CEFD, □BDEF_____________．
8．（2010荆州）如图，在□ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC， 则∠ECB的度数是 65° ．
9． (2010深圳)如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝___3_______．
10．已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB的长是____40 cm____________．
11．在□ABCD中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=___108____°,∠D=___72__________°．
12．（2010恩施）如图1，在□ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，则DE等于 3 ㎝．
决胜中考篇
13． （2010郴州）如图，已知□ABCD，E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是 或或 或F为DE的中点或F为BC的中点或或B为AE的中点 ．（只要填一个）
14．（2010株洲）如图，已知□ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=EC；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
证明：（1）如图，在□ABCD中，
AD∥BC得，∠1=∠3，又∠1=∠2，
所以∠2=∠3，，所以CD=CE
（2）由□ABCD得，AB=CD，
又CD=CE，BE=CE，
所以AB=BE， 所以∠BAE=∠BEA，
因为∠B=80°，所以∠BAE =50°，
所以∠DAE =180°-50°-80°=50°．
15．（2010毕节）如图，已知：□ABCD中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于．求证：．
证明：因为 四边形ABCD是平行四边形（已知），
所以AD∥BC，AB=CD（平行四边形的对边平行，对边相等）
所以∠GBC=∠BGA，∠BCE=∠CED（两直线平行，内错角相等）
又因为 BG平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知）
所以∠ABG=∠GBC，∠BCE=∠ECD（角平分线定义）
所以∠ABG=∠GBA，∠ECD=∠CED．
所以AB=AG，CE=DE（在同一个三角形中，等角对等边）
所以AG=DE
所以AG-EG=DE-EG，即AE=DG．
16．如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．
求证：(1)∠E=∠F (2)AB=AD．
证明：（1）在□ABCD中，BC∥AD，所以∠1=∠F．因为BE=BF，
所以∠E=∠1，所以∠E=∠F．
（2）因为EF∥BD，
所以∠2=∠E，∠3=∠F．
因为∠E=∠F，
所以∠2=∠3，
所以AD=AB
17．（玉溪2010）如图，在ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．
解：添加的条件是连接B、E,过D作DF∥BE交BC于点F,构造的全等三角形是△ABE与△CDF．
理由： 因为□ABCD，AE=ED,
所以在△ABE与△CDF中，
AB=CD,
∠EAB=∠FCD,
AE=CF ，
所以△ABE≌△CDF．
第2课时（共2课时）
知识导航篇
1．平行四边形的对角线 互相平分 ，平行四边形是 中心 对称图形．
2．平行四边形的面积= 底×高 ．
典例剖析篇
【例1】如图，在□ABCD中，且AB=5，AC=3，AC⊥BC，求BC，CD，AD，OA的长以及□ABCD的面积．
【解析】根据平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分，可得AD=BC，AB=CD，OA=OC=AC．再利用勾股定理求出AD的值，进而求出□ABCD的面积．
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD，AD=BC，OA=AC．
因为AB=5，AC=3，所以CD=5．
因为AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
由勾股定理得：
所以BC= 4，AD=BC=4，
所以OA=AC=，
所以S□ABCD=AC·BC=3×4=12
【例2】（1）已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________．
（2）在□ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+4），（x-5）和16，则这个四边形的周长是 ．
【解析】（1）由平行四边形的面积=底×高得该平行四边形的相邻两边长为：，所以平行四边形的周长为：2×（16+18）=64．（2）对于□ABCD，根据其性质知：两组对边分别相等，所以四边形的三边长（x+4），（x-5）和16中，（x+4）=16或（x-5）=16，所以x=12或x=21．当x=12时，x-5=7,此时四边形的周长为2×（16+7）=46；当x=21时，x+4=25,此时四边形的周长为：2×（16+25）=82．
【答案】（1） 64 （2）46或82
基础夯实篇
1． 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( D )
A． 对边平行 B． 对角相等
C． 对边相等 D． 对角线互相垂直
2．(2010河北)如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3， 则□ABCD的周长为( C )
A．6
B．9
C．12
D．15
3．如图，□ABCD中，对角线AC与BD交于O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ A ）
A．1＜m＜11
B．2＜m＜22
C．0＜m＜12
D．5＜m＜6
4．将一张平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这种折法共有（ D ）
A．1种 B． 2种 C． 4种 D． 无数种
5．（2010包头）已知下列命题：
①若，则；
②若，则；
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2009钦州）如图，在□ABCD中，∠A＝120°，则∠D＝_ 60 _°．
7． (苏州2010)如图，在□ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2， 则□ABCD的周长是 12 ．
8．□ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△COB的周长大8cm，则AB= 19 cm ，BC= 11 cm ．
9． (2009本溪)如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为 6 ．
10．（2010福州）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为 21 ．
决胜中考篇
11．□ABCD的两条对角线AC,BD相交于O．
(1) 图中有哪些三角形全等 有哪些相等的线段
(2) 若□ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm．求AB,AD的长．
解：（1）图中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB．
图中相等的线段有：AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD．
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，OA=OC，OB=OC．
因为□ABCD的周长是20cm,
所以AB+AD=10 cm
因为△AOD的周长比△ABO的周长大6cm．
所以（OA+OD+AD）-（AB+AO+BO）=6 cm
所以AD-AB=6 cm
联解方程组得，解得：
所以AD=8 cm，AB=2 cm
12．（2010河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB’O≌△CDO．
解：（1）等腰三角形有：△ABB’、 △AOC和△BB’C
（2）证明：在□ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，由轴对称知：
AB=AB’，∠ABC=∠AB’C
所以AB’=CD，∠AB’O=∠D
又∠A O B’ =∠COD
所以△AB’O≌△CDO．
13．如图，有一张梯形纸片ABCD，其中AD//BC，AD>CD．将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．
（1）求证：CE=CD=C′E= C′D．
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．
解：（1）根据题意可知：
CD= C′D，∠C′DE=∠CDE，∠C′ED=∠CED．
因为AD//BC，所以∠=∠CED，
所以∠CDE=∠CED, 所以CD=CE ．
同理=，
所以CD=CE==，
（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形．
证明：由（1）知CE=CD，而BC=CD+AD，则BE=AD，
又因为AD//BE，
所以四边形ABED为平行四边形．
A
C
D
B
O
G
F
E
D
C
B
A
3
2
1
C
D
F
E
B
A
B
C
D
A
C
D
A
B
C
B
F
E
D
A
C
D
A
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