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第十九章 四边形
19．2 特殊的平行四边形
19．2．3正方形
第1课时（共2课时）
课前预习篇
1．正方形的定义：有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质：
（1）边：四边 相等 ，对边 平行 ；（2）角：四个角都是 直角 ；
（3）对角线：互相 垂直平分且相等 ，对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角 三角形．
（4）对称性：既是 中心 对称图形，对称中心是 对角线的交点 ，又是 轴 对称图形，有 四 条对称轴
典例剖析篇
【例1】（2010苏州）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是 °．
【解析】此题考查了正方形的性质：对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，即此题中∠CAE=45°，∠ABC=90°，而由已知条件知：AE=AC，所以易求得∠E=67．5°，所以∠BCE=90°-∠E =22．5°．
【答案】22．5
【例2】（2010红河自治州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．
【解析】此题考查了正方形四边相等，四个角都是直角的性质，遇到同类的题，可考虑先证三角形全等，再证明角相等最后得出结论．
解：根据题目条件可判断DE//BF．
证明如下：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=AD，∠BAF+∠2=90°．
因为AF=AE+EF，又AF=BF+EF，所以AE=BF
因为∠1=∠2，所以△ABF≌△DAE（SAS）．
所以∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE．
所以∠ADE+∠2=90°，所以∠AED=∠BFA=90°．
所以DE//BF．
基础夯实篇
1．下列性质中，正方形具有而菱形不具有的是 ( C )
A．对角线平分内角 B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等 D．对称中心到各边的距离相等
2．下列性质中，正方形具有而矩形不具有的是 ( C )
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．四条边相等 D． 对角线互相平分
3．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则( C )
A．S=2
B．S=2．4
C．S=4
D．S与BE长度有关[来
4．如图，正方形ABCD的面积为1， M是AB的中点，连接AC、DM，则图中阴影部分的面积是 ．
5．如图在正方形ABCD中，E为AB的中点， E，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为____3____．
6．（2010宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正确结论的番号是 ①②④⑤ ．
7．（2010宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 32 ．
决胜中考篇
8．（2010长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
（1）证明：因为四边形ABCD是正方形
所以BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°
又EC＝EC
所以△ABE≌△ADE
（2）因为△ABE≌△ADE
所以∠BEC＝∠DEC＝∠BED
因为∠BED＝120°所以∠BEC＝60°＝∠AEF
所以∠EFD＝60°+45°＝105°
9． (苏州2010)如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数 (x＞0)的图像经过点B．
(1)求k的值；
(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数 (x＞0)的图像交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．
解：（1）因为四边形OABC是面积为4的正方形，
所以OA=OC=2．所以点B的坐标为（2，2）．
所以k=xy=2×2=4．
(2)因为正方形MABC′，NA′BC由正方形OABC翻折所得，所以ON=OM=2OA=4，
所以点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
因为点E，F在函数的图像上，所以当x=4时，y=1，即E（4，1）．
当y=4时，x=1，即F（1，4）．
设直线EF的解析式为y=mx+n，将E，F两点坐标代入，得：
，解得：m=-1,n=5．
所以直线EF的解析式为
10．(2010中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为_____625_____．
11．（2009北京）阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：
(1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
(2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．
解：（1）拼接成的平行四边形是□ABCD（如图3）
（2）正确画出的图形如图4，平行四边形MNPQ的面积为．
第2课时（共2课时）
课前预习篇
1．定义：有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形
3．正方形的判定
（1）有一组邻边 相等 的矩形是正方形，对角线 互相垂直 的矩形是正方形．
（2）有一个角是 直角 的菱形是正方形，对角线 相等 的菱形是正方形．
（3）有一组邻边 相等且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形．
（4）对角线______互相垂直且相等______的平行四边形是正方形．
（5）对角线______垂直平分且相等 ___的四边形是正方形．
3．特殊的平行四边形的性质与判定：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性
质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等
角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对角线 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定 两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分． 有三个角是直是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等． 四边相等的四边形是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直． 是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角．
对称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形
典例剖析篇
【例1】已知：如图(4)，矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的平分线组成四边形A'B'C'D'，
求证：四边形A'B'C'D'是正方形．
【解析】要判定一个四边形是正方形，分两个步骤：
第一步先判定四边形是矩形，再 判定这个矫形又是菱形；或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形，即可判定它是正方形．
证明：因为AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA，
所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以∠B'＝∠D'＝90°，AD＝BC
所以△AB'D≌△BD'C (ASA) 。所以AB'＝BD'＝CD'＝DB'
同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC'
所以四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形)
又因为AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证)，AB'－AA'＝BD'－BA'，A'B'＝A'D
所以四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
基础夯实篇
1．（2010芜湖）下列命题中是真命题的是（ C ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ C ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
3．已知四边形ABCD中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ D ）．
A． B．
C． D．
4．(2010滨州)如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ C ）
A．60°
B．30°
C．45°
D．90°
5．大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ B ）
A．①②
B． ①②③
C． ①②④
D． ①②③④
6．如图8，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
⑴连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH是__平行四边形__________．
⑵对角线AC、BD满足条件____ AC⊥BD ________时，四边形 EFGH是矩形．
⑶对角线AC、BD满足条件___ AC＝BD _________时，四边形 EFGH是菱形．
⑷对角线AC、BD满足条件_ AC⊥BD且 AC＝BD ___时，四边形 EFGH是正方形．
7．大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，
把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是
决胜中考篇
8．已知：如图(3)，四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD．
求证：四边形ABCD是正方形．
证明：因为AO＝CO,BO＝DO， 所以四边形ABCD是平行四边形
又AC＝BD， 所以平行四边形ABCD是矩形
又因为AC⊥BD， 所以平行四边形ABCD是菱形，
9． (2010滨州)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么．
(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
解：(1) 四边形EFGH为平行四边形，连接AC
因为E、F分别是AB、BC的中点，EF∥AC，EF=AC．
同理HG∥AC，HG=AC．所以EF∥HG, EF=HG．
所以四边形EFGH是平行四边形
(2) 四边形ABCD的对角线垂直且相等．
10．在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．判断四边形AEMF的形状，并给予证明．
解：（1）因为ADBC，△AEB是由△ADB折叠所得
所以∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD, AE=AD
又因为△AFC是由△ADC折叠所得
所以∠2=∠4，∠F=∠ADC=，FC=CD，AF=AD
所以AE=AF 。
又因为∠1+∠2=， 所以∠3+∠4=，所以∠EAF=
所以四边形AEMF是正方形．
11．（2010绥化）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2 交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3 交于点M3；……，
依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为Mn_____(1－,)__________．
12．(2010绍兴) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB, BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF＝4．求GH的长．
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4． 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示)．
(1) 证明：如图1，因为 四边形ABCD为正方形，
所以 AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
所以 ∠EAB+∠AEB=90°．
因为 ∠EOB=∠AOF＝90°,
所以 ∠FBC+∠AEB=90°，
所以 ∠EAB=∠FBC，
所以 △ABE≌△BCF ，
所以 BE=CF．
(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
所以 EF=BN,GH=AM，
因为 ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, 所以 ∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN， 所以 AM=BN，所以 GH=EF=4．
(3) ① 8．② 4n．
A
F
D
E
B
C
第10题图（1）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
D2
A2
B2
C2
D1
C1
B1
A1
A
B
C
D
第10题图（2）
第23题图2
O′
N
M
第23题图3
第23题图4
第23题图3
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第十九章 四边形
19．2 特殊的平行四边形
19．2．2菱形
第1课时（共2课时）
课前预习篇
1．菱形的定义：有一组 邻边 相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
（1）边： 菱形的对边平行且四边相等 ．
（2）角： 菱形的对角相等邻角互补 ．
（3）对角线： 菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ．
（4）对称性：．菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴．
3．菱形的面积公式：（1） S菱形=对角线乘积的一半 ；（2） S菱形=底×高 ．
典例剖析篇
【例1】已知：如图，菱形ABCD的周长为8 cm，∠ADC=120°，对角线AC，BD相交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积．
【解析】此题考查了菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．根据已知可确定存在30°角的直角三角形，所以再结合菱形的性质，问题可解．
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AD=AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ADB=∠ADC．
因为菱形ABCD的周长为8 cm，∠ADC=120°，
所以AD=AB=2 cm，∠AOD=90°，∠ADB=60°．
所以在Rt△AOD中，∠DAO=30°．
所以DO=AD=1 cm ，
AO=．
因为DO=BD，AO=AC，
所以BD=2 cm，AC= cm．
所以S菱形=AC·BD=×2×= cm．
基础夯实篇
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的特征是( D )
A．对角相等 B．对边平行且相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．菱形具有而矩形不一定具有的特征是( B )
A．对角相等且互补 B．对角线互相垂直平分
C．四个内角都相等 D．一组对边平行，另一组对边相等
3．依次连接菱形四条边的中点所构成的四边形是（ B ）
A．菱形 B．矩形
C．一般平行四边形 D．一般四边形
4．（2010北京）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（A）
A．20 B．16 C． 12 D．10
5．．（2010南通） 如图，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC的长是（ D ）
A．20
B．15
C．10
D．5
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是（ D ）
A．4
B．8
C．12
D．16
7．（2010珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是___ 4__cm．
8．（2010嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80 ，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE＝BO，则∠EOA＝__25 _____．
9．（2010陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为 （ A ）
A 16 B 8 C 4 D 1
10． （2009烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 17 ．
11．（2010烟台）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图像上，则菱形的面积为______4______．
决胜中考篇
12．(2009安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009 m停下，则这个微型机器人停在___B___点．
13．（2010益阳）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
(1) 求∠ABD 的度数；
(2)求线段的长．
解:⑴ 在菱形ABCD中,AB=AD，∠A=60°，所以为等边三角形
所以∠ABD=60°
⑵由（1）可知BD=AB=4，又因为O为BD的中点
所以OB=2。又因为OE⊥AB，及∠ABD=60°，所以∠BOE=30°，所以BE=1
14． （2009宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 ．
15．（2010宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC＝8，BD＝6．
（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长．
（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形．
（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
图（2） 图（3） 图（4）
周长为 周长为
解：
第2课时（共2课时）
课前预习篇
1．菱形常用的判定方法：
（1）用菱形的定义：一组邻边相等的 平行四边形 是菱形．
（2）边：四条边相等的 四边形 是菱形．
（3）对角线：对角线互相垂直的 平行四边形 是菱形．
（4）对角线：对角线互相垂直平分的 四边形 是菱形．
2．（1）对角线互相平分的四边形是 平行四边形 ；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是 菱形 ；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是 矩形 ；
（4）两组对边分别平行，且对角线 互相垂直 的四边形是菱形．
典例剖析篇
【例1】（2010眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
【解析】此题考查了矩形的性质和菱形的判定．易证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的判定一组邻边相等的平行四边形是菱形可得出结论．
解：（1）四边形OCED是菱形．
因为DE∥AC，CE∥BD，所以四边形OCED是平行四边形，
又 在矩形ABCD中，OC=OD，所以四边形OCED是菱形．
（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，所以OE∥BC
又 CE∥BD，所以四边形BCEO是平行四边形，所以OE=BC=8
所以S四边形OCED=
基础夯实篇
1．（2010天津）下列命题中正确的是（ D ）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．已知下列条件求作菱形，能使所作菱形的形状唯一确定的是 ( C )
A．已知四条边 B．已知四个角
C．已知两对角线 D．已知周长
3．若依次连接四边形各条边的中点所构成的四边形是菱形，则原四边形是（ D ）
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．对角线相等的四边形
4．（2010连云港）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ B ）
A．BA＝BC
B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
5．等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是( C )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．（2010山东德州）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是 答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等 （只要写出一种即可）．
决胜中考篇
7．（2010安徽）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC
⑴求证：四边形BCEF是菱形
⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE
证明：（1）因为AD∥FE，所以∠FEB=∠2．
因为∠1=∠2，所以∠FEB=∠1．
所以BF=EF．
因为BF=BC，所以BC=EF．
所以四边形BCEF是平行四边形．
因为BF=BC，所以四边形BCEF是菱形．
（2）因为EF=BC，AB=BC=CD，AD∥FE，
所以四边形ABEF，四边形CDEF均为平行四边形，
所以AF=BE，FC=ED．
又因为AC=2BC=BD，
所以△ACF≌△BDE
8． (2010荆门)将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A 的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．
证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，所以∠1＝∠2
由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，从而，∠3＝∠4
因为AD是△AED和△AFD的公共边，所以△AED≌△AFD(ASA)
所以AE＝AF，DE＝DF
又由第二次折叠可知：AE＝ED，AF＝DF
所以AE＝ED＝DF＝AF
故四边形AEDF是菱形．
9．（2010新泰）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD折叠，使CA到的位置，连接B．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若BC＝2，试求四边形是菱形的面积．
(1) 因为∠ACB=90°,∠A=30°．
所以BC=AB．
又CD是斜边AB的中线，
所以CD=AD=AB =BD．
所以BC =AD= CD =BD, 所以30°．
因为将△ABC沿CD折叠得△，
所以,30°，
所以60°－30°=30°，
所以∥CB． 所以四边形为菱形．
（2）因为BC=2，所以BD=2，易得，所以S=2．
B
A
C
D
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
周长为26
D
A
B
C
周长为22
D
A
B
C
答案不唯一
(1) (2)
第19题图
图1 图2
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第十九章 四边形
19．2 特殊的平行四边形
19．2．1矩形
第1课时（共2课时）
课前预习篇
1．矩形的定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫矩形．
2．矩形的性质：
（1）矩形的角的性质： 矩形的四个角都是直角 ．
（2）矩形的边的性质： 矩形的对边平行且相等 ．
（3）矩形的对角线的性质： 矩形的对角线互相平分且相等 ．
3．直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ．
典例剖析篇
【例1】（2010辽宁丹东）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
【解析】由矩形的性质四个角都是直角和题中的已知条件可得△AEF≌△DCE，所以AE=DC．再通过矩形的周长可求出AE．
解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， 因为EF⊥CE， 所以∠FEC=90°，
所以∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
所以∠AEF=∠ECD．
又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC
所以Rt△AEF≌Rt△DCE．
AE=CD．
AD=AE+4．
因为矩形ABCD的周长为32 cm，
所以2（AE+AE+4）=32．
解得， AE=6 （cm）．
【例2】（2009长沙）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（ B ）
A．2 B．4 C． D．
【解析】此题考查了矩形对角线相等和四个角都是直角的性质．由题中已知条件不难看出，△DCE是等边三角形，AB=OB，O是BD的中点，所以BD=2OB=4．
【答案】 B
基础夯实篇
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积的和，则大矩形周长的值只能有（ C ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是 ( B )
A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm
4．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是___先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等______．
5．（2010湘潭）长方形的周长为12cm，长是宽的2倍，则长为 4 cm．
6．（2009长春）如图，，矩形的顶点在直线上，则 25 °．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2．5，则AC的长为__5_____．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，则：
（1）图中与∠BAE相等的角有____∠ADB，∠DBC，∠ACB，∠DAC ______；
（2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝___1：2 ______．图中△DOC是____等边_______三角形（按边分）．
决胜中考篇
9（2010哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 125 度．
10（2010河池）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，E是DC的中点，BF＝BC，则四边形DBFE的面积为 10 ．
11．（2010泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
证明：⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，所以∠DCA=∠CAB，因为∠EDC=∠CAB，
所以∠DCA=∠EDC，所以AC∥DE；
⑵四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°，
又∠EDC=∠CAB，AB=CD，
所以△DEC≌△AFB，所以DE=AF，由⑴得AC∥DE，
所以四边形AFED是平行四边形，所以AD∥EF且AD=EF，
因为在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
所以EF∥BC且EF=BC，
所以四边形BCEF是平行四边形．
12．（2010中山）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．
（1）求矩形ABCD的面积；
(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．
解：（1）在中，
，
．
(2）矩形，对角线相交于点，
．
四边形是平行四边形，
，
．
又，
，
，
同理，，
第6个平行四边形的面积为．
第2课时（共2课时）
课前预习篇
1．矩形的判定方法：
（1）利用定义进行判定：即有一个角是直角的 平行四边形 是矩形；
（2）矩形判定方法2： 对角线相等 的平行四边形是矩形．
矩形判定方法3：有三个角是直角 的四边形是矩形．典例剖析篇
【例1】（2010常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
【解析】此题出现了平行四边形，且又有相等线段，可考虑先证明四边形ADCE是平行四边形，再证明对角线AC与DE相等，即可得出结论．
证明：因为四边形ABDE是平行四边形，
所以AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
因为D为BC的中点，所以CD=BD．
所以CD∥AE，CD=AE．
所以四边形ADCE是平行四边形．
因为AB=AC，所以AC=DE．
所以平行四边形ADCE是矩形．
【例2】已知：如图所示，在□ABCD中，BE，CF，DG，AH分别为四个角的平分线，求证：四边形MNPQ为矩形．
【解析】由于平行四边形邻角互补，由平分线可得角平分线的 夹角为直角，所以可考虑用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC．
所以∠DAB+∠ABC=180°．
因为AH平分∠DAB，BE平分∠ABC，所以∠HAB=∠DAB，∠ABE=∠ABC，
所以∠HAB+∠ABE=90°，所以∠AMB=90°，∠EMH=90°．
同理可证：∠AND=∠BQC=90°，所以四边形MNPQ为矩形．
基础夯实篇
1．下列说法错误的是（ C ）
A．两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形
B．一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
2．下列条件，能断定四边形是矩形的是（ D ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分且相等
3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ D ）
A． AB=CD B． AD=BC C． AB=BC D．AC=BD
4．(2009上海)在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 答案不唯一，如AC=BD ．
5．矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为 64 平方单位．
6．(2010巴中)如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有 ①④ （填写番号）．
7．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于点E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，其中正确的（ D ）
A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④
决胜中考篇
8． (2009安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
(1） 求证：BD=CD；
(2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
解：（1）因为AF∥BC，所以∠AFE=∠DCE，
因为点E是AD的中点，所以AE=DE．
，
(2）四边形是矩形
，是的中点 ，
，四边形是平行四边形
又 四边形是矩形．
9．如图，在□ABCD中，E、F为BC两点，且BE＝CF，AF＝DE．求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
证明：（1）因为BE＝CF BF＝BE＋EF CE＝CF＋EF 所以BF＝CE
又因为在平行四边形ABCD中，AB＝CD
所以△ABF≌ △DEC（sss）
（2）由（1）知△ABF≌ △DEC 所以 ∠B=∠C
又因为在平行四边形ABCD中，AB∥CD
所以∠B+∠C=180° 所以∠C=90°
所以四边形ABCD是矩形．
10． (2010聊城)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
解：（1）因为AD是等边△ABC的中线，所以∠CAD=∠BAD=300
又△ADE为等边三角形，所以∠DAE =600
所以∠CAE=∠DAE-∠CAD=600-300=300．
（2）因为CF为等边△ABC的中线，所以CF⊥AB，
又∠BAE=∠BAC+∠CAE=600+300=900．
所以AE∥FC，
因为AD、CF都是等边△ABC的中线，所以AD=CF，
因为△ADE为等边三角形，所以AE=AD=FC，所以四边形AFCE是平行四边形．
又∠AFC为直角，
所以四边形AFCE是矩形
11．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
（1)证明：因为CE是∠BCA的平分线 ，
所以∠BCE=∠ACE ．
因为MN∥BC
所以∠BCE=∠ACE=∠CEN
得出EO=CO
同理可得CO=FO
所以EO=FO
(2)当O是AC中点时,四边形AECF是矩形．证明如下：
因为EO=FO=CO，根据矩形对角线相互平分，只有AO=FO=EO=CO，即AO=CO时，四边形AECF是矩形．
所以O为AC的中点时，四边形AECF是矩形．
B
C
A
E
D
F
O
D
C
A
B
D
A
B
C
m
l
65°
C
D
E
F
B
A
A
B
C
D
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