人教版八年级上册：13.3.1等腰三角形 同步练习（附答案）

13．3　等腰三角形
13．3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
知识点1　等边对等角
1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为 ( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为 ( )
35858457620A．85° B．75°
C．60° D．30°
3．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝ ．
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BD，AD＝CD，求∠CAD的度数．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.
知识点2　等腰三角形“三线合一”
6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是 ( )
27444707620A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC
D．AB＝2BD
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝2 cm，则CD＝ cm.

第7题图 第8题图
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为 ．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
10．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 ．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，∠A＝50°，则∠DBC的度数为 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为 ( )
A．30° B．45° C．50° D．75°

第12题图 第13题图
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线．若∠FCE＝52°，则∠A的度数为 ( )
A．38° B．34° C．32° D．28°
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝ ．

第14题图 第15题图
15．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B＝ ．
16．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.
17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.求证：AE＝CG.
第2课时　等腰三角形的判定
知识点1　等角对等边
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为 ( )
245491045720A．2
B．3
C．4
D．5
2．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，则△COD 等腰三角形．(填“是”或“不是”)

第3题图 第4题图
4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝ ．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△ABC是等腰三角形．
6．如图，△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
知识点2　用尺规作等腰三角形
7．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．
25228552743208．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝ 时，△AOP为等腰三角形．
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上的两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形 ( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

第9题图 第10题图
10．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是 ．
11．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACD的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E.
(1)求∠ADC的度数；
(2)求证：AE＝AC；
(3)试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．
13．如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．
参考答案
第1课时　等腰三角形的性质
1．D
2．B
3．75°．
4．解：∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝BD，AD＝CD，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°，∠DCA＝∠CAD.
∴∠BDA＝2∠CAD＝45°.
∴∠CAD＝22.5°.
5．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB.
∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD.
6．D
7．2
8．55°．
9．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠C.
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.
∴∠C＋∠CBE＝∠ABD＋∠BAD＝90°.
∴∠CBE＝∠BAD.
10．50°或80°．
11．25°．
12．B
13．D
14．35°．
15．37°．
16．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴AD＝AE.
17．证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°.
∴∠CAE＝∠BCG.
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG＋∠BCF＝90°.
又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG.
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB(ASA)．
∴AE＝CG.
第2课时　等腰三角形的判定
1．D
2．B
3．是
4．5__cm．
5．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF.
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
6．证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°.
∴∠A＝∠EFC－∠D，
∠C＝∠DFA－∠CEF.
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D.
346392583820∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF.
∴∠A＝∠C.
∴△ABC为等腰三角形．
7．解：①作线段AB＝a；
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D；
③以点D为圆心，b为半径画弧，交MN于点C；
④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形．
8．45°或67.5°或90°
9．C
10．30．
11．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAE.
∴∠ADE＝∠DAE.
∵AD⊥BD，
∴∠DAE＋∠B＝90°，
∠ADE＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE.
∴BE＝DE，即△BDE是等腰三角形．
12．解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝(180°－∠BAC )＝72°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB＝∠ACB＝36°.
∴∠ADC＝∠B＋∠DCB＝72°＋36°＝108°.
(2)证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝∠ACE.
∵AE∥BC，
∴∠BCE＝∠E.
∴∠ACE＝∠E.
∴AE＝AC.
(3)△ADE是等腰三角形．
理由：∵AE∥BC，
∴∠EAB＝∠B＝72°.
∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，
∴∠ADE＝∠BDC＝180°－72°－36°＝72°.
∴∠EAD＝∠ADE.
∴AE＝DE.
∴△ADE是等腰三角形．
13．
证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则△BOD和△COE都是直角三角形．
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE.
∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC.
∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．
∴∠ABO＝∠ACO.
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．