24.4.1弧长和扇形面积 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
24.4
弧长和扇形面积
第1课时
弧长和扇形面积
人教版
九年级数学上册
上课课件
学习目标
【知识与技能】
经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.
【过程与方法】
通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.
【情感态度】
通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用.
【教学重点】
弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.
【教学难点】
运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.
问题1
如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
问题2
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
情境引入
与弧长相关的计算
问题1
半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2
下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
合作探究
(1)
圆心角是180°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算
已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
弧长公式
知识要点
例1
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100
°
A
C
B
D
O
·
O
A
解：设半径OA绕轴心O逆时针
方向旋转的度数为n°.
解得
n≈90°
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与
滑轮之间没有滑动，
取3.14）？
练一练
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
与扇形面积相关的计算
概念学习
下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
判一判
问题1
半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
合作探究
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的
面积
=
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
知识要点
___大小不变时，对应的扇形面积与
__
有关，
___
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的
不变时，扇形面积与
有关，
越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O
●
A
B
D
C
E
F
O
●
A
B
C
D
问题
扇形的面积与哪些因素有关？
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想
扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
例3
如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为
，则这个扇形的面积S扇=
．
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=
.
试一试
例4
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
(1)
O
.
B
A
C
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
O.
B
A
C
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
(2)水面高0.3
m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积-
△OAB的面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵
OC＝0.6,
DC＝0.3,
∴
OD＝OC-
DC＝0.3，
∴
OD＝DC.
又
AD
⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
　从而
∠AOD＝60?,
∠AOB=120?.
O.
B
A
C
D
(3)
　　有水部分的面积：
S＝S扇形OAB
-
SΔOAB
O
B
A
C
D
(3)
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
知识要点
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,
∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为
（
）
B．
C.
D.
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为
.
C
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
当堂练习
3.如图，☉A、☉B、
☉C、
☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是
.
A
B
C
D
解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为
，圆心角为90°的扇形弧长之和，
即
4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝
，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
解：
6.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B
A'
B'
C
解
由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'
=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'
的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA'
所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
当堂小结
谢谢欣赏