川大附中2021届高三上半期考试数学试题(理科)（Word含答案）

川大附中2021届高三上半期考试数学试题(理科)
(时间：120分钟
满分：150分)
第一部分（选择题
共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.
已知是实数集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
若复数满足，则下列说法正确的是（
）
A．的虚部为2
B．为实数
C．
D．
3.
已知，，，则（
）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
4.
已知变量满足约束条件，则的最大值（
）
A．
B．1
C．4
D．8
5.
的展开式中，含项的系数为（
）
A．60
B．
C．
D．80
6.
在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB等于（
）
A．4
B.
C.
D．2
7.
函数的图象大致为（
）
A．
B．C．D．
8.
已知函数满足：，函数，若，则（
）
A．
B．0
C．0
D．4
9.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
10.
下列命题中错误的是（
）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
11.
斐波那契（约1170~1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列满足，，设，则（
）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
12.
已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（
）
A．2
B．
C．
D．
第二部分（非选择题
共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.
13.
若曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是
．
14.
P是双曲线上任意一点，，分别是它的左、右焦点，且，则
．
15.
已知在边长为3的等边中，，则
．
16.
给出以下命题：
（1）已知回归直线方程为，样本点的中心为，则；
（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；
（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；
（4）命题“存在”的否定是“对于任意”；
（5）设函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围为.
其中不正确的命题序号为
．
三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）
17.
（12分）已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
18.
（12分）2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生（男生与女生的人数之比为3：2）对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．
（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）
（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别
满意
不满意
合计
男生
女生
10
合计
100
，其中.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19.
（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
20.
（12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圈相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标．
21.（12分）已知函数（a为实常数）
（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；
（2）当时，讨论方程的根的个数；
（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22.
选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线、的直角坐标方程；
（2）设曲线、交于点、，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.
23.
选修4-5（不等式选讲）（10分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：.
川大附中2021届高三上半期考试数学试题(理科)
(时间：120分钟
满分：150分)
第一部分（选择题
共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.
已知是实数集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．【答案】C
2.
若复数满足，则下列说法正确的是（
）【答案】C
A．的虚部为2
B．为实数
C．
D．
3.
已知，，，则（
）答案　C
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
4.
已知变量满足约束条件，则的最大值（
）【答案】D
A．
B．1
C．4
D．8
5.
的展开式中，含项的系数为（
）【答案】C．
A．60
B．
C．
D．80
的展开式中，第项为，当时，系数为。
6.
在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB等于（
）答案　A
A．4
B.
C.
D．2
7.
函数的图象大致为（
）【答案】D
A．
B．C．D．
【解析】：由得，且，当时，此时，排除B,C
函数的导数，由得，即时函数单调递增，
由得且，即或时函数单调递减，故选：D
8.
已知函数满足：，函数，若，则（
）答案B
A．
B．0
C．0
D．4
9.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
【答案】A
A．
B．
C．
D．
【解析】由三视图知：几何体是以半径为1，母线为3的半圆锥，（如图）
可得该圆锥的高．底面面积，几何体的体积
10.
下列命题中错误的是（
）答案　D
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
11.
斐波那契（约1170~1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列满足，，设，则（
）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
解析：，则，故选B．
12.
已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（
）【答案】B
A．2
B．-2
C．
D．
【解】由抛物线的定义知，则，解得，
又点在抛物线上，代入，得，得，，
所以，抛物线，因为斜率为的直线过点，所以的方程为，
联立方程得，即，
设，，由根与系数的关系得，
则直线的斜率，直线的斜率，.
第二部分（非选择题
共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.
13.
若曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是
．
答案　(－ln
2,2)
14.
P是双曲线上任意一点，，分别是它的左、右焦点，且，则
．
答案　17
15.
已知在边长为3的等边中，，则
．6
16.
给出以下命题：
（1）已知回归直线方程为，样本点的中心为，则；
（2）已知，与的夹角为钝角，则是的充要条件；
（3）函数图象关于点对称且在上单调递增；
（4）命题“存在”的否定是“对于任意”；
（5）设函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围为.
其中不正确的命题序号为
．【答案】（2）（4）（5）
【详解】
（1）根据回归直线恒过样本的中心点，可得，故正确；
（2）由有，与的夹角为钝角或平角，所以根据充要条件的定义可判断错误.故错误；
（3）把代入函数，函数值为，所以函数关于对称，由，可得所以函数在上是递增的.所以函数在上是递增的.故正确；
（4）命题“存在，”的否定是“对于任意，”故错误；
（5）构造函数，要使函数恰有三个零点，必须使函数有零点，并且函数有两个零点，而函数在上的两个零点为－1和－2，从而得到，故是错误的.
三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）
17.
（12分）已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
解　(1)由题意可得f?(x)＝m·n＋3＝2cos
ωx(sin
ωx－cos
ωx)－2＋3
＝2sin
ωxcos
ωx－(2cos2ωx－1)＝sin
2ωx－cos
2ωx＝sin.
由题意知，T＝＝π，得ω＝1，则f?(x)＝sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f?(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)将f?(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2，得到g(x)＝sin(x+)的图象．
∵x∈，∴
≤sin(x+)≤1，故函数g(x)的值域为[1，]．
18.
（12分）2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生（男生与女生的人数之比为3：2）对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．
（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）
（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别
满意
不满意
合计
男生
女生
10
合计
100
，其中.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解：（1）由已知得，解得，
又，解得，
评分的平均值为．
（2）完成列联表如下表：
态度
性别
满意
不满意
合计
男生
25
35
60
女生
30
10
40
合计
55
45
100
，
∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．
19.
（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【解】：（Ⅰ）
平面平面
因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．
（Ⅱ）如图，
以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则
取，则为面法向量．
设为面的法向量，则，
即，取，则
依题意，则．于是．
设直线与平面所成角为，则
即直线与平面所成角的正弦值为．
20.
（12分）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圈相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标．
解：（1）因为，的面积，且，
故解得，，，则，，则椭圆的标准方程为．
（2）假设，，
直线与椭圆联立得消去整理得，
则，，又因为，
所以，，则，
即，代入韦达定理得，
即，化简得，因为，则，
即，代入直线得，
所以恒过，故直线经过定点．
21.
（12分）已知函数（a为实常数）
（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；
（2）当时，讨论方程的根的个数；
（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，函数的定义域为．．
当时，，所以函数在上为减函数，在上为增函数．
，，
所以函数在上的最大值为，相应的x值为e．
（2）由，得．
若，则在上，函数在上为增函数，
由知，方程的根的个数是0；
若，由，得（舍）或．
若，即，在上为增函数，
由知，方程的根的数是0；
若，即，在上为减函数，
又，，所以方程在上有1个实数根；
若，即，在上为减函数，在上为增函数，
又，．．
当，即时，
，方程在上的根的个数是0；
当时，方程在上的根的个数是1；
当时，，，方程在上的根的个数是2；
当时，，，方程上的根的个数是1．
（3）若，由（2）知，函数在上为增函数，
不妨设，则，即为，
由此说明函数在上单调递减，所以，
对恒成立，即对恒成立，
而在上单调递减，所以．所以，满足，且对任意的，
都有成立的实数a的取值范围不存在．
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22.
选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线、的直角坐标方程；
（2）设曲线、交于点、，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.
【解】（1）曲线的极坐标方程可以化为，
所以曲线的直角坐标方程为，即.
曲线的极坐标方程可以化为，
所以曲线的直角坐标方程为；
（2）易知点的坐标为，直线的倾斜角为，所以的参数方程为（为参数）.
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，
整理得，判别式，
设、对应的参数分别为、，则线段的中点对应的参数为，
所以线段的中点到点的距离为.
23.
选修4-5（不等式选讲）（10分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：.
(1)解　依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.
当x<－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.
当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为?.
当x>1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.
所以不等式f
(x)＋f
(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}．
(2)证明　要证f
(ab)>|a|·f?，只需证|ab－1|>|b－a|，只需证(ab－1)2>(b－a)2.
因为|a|<1，|b|<1，知a2<1，b2<1，所以(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)>0.
故(ab－1)2>(b－a)2成立．从而原不等式成立．
第3页，共4页