八年级数学1-4三角形全等的条件（三、四）

三角形全等的条件（三、四）
教学目标
1．三角形全等的条件：角边角、角角边．
2．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．
3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
教学重难点
重点：已知两角一边的三角形全等探究．
难点：灵活运用三角形全等条件证明
教学过程
一．提出问题，创设情境
1．复习：
（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三条边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
三种：①定义；②SSS；③SAS．
2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
二．导入新课
问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？
1．两角和它们的夹边．
2．两角和其中一角的对边．
问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A′B′，使A′B′=AB．
③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
④射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．
将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
问题4：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
三、知识应用
例1、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可
例2、如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交CD的延长线于F，BE⊥CD于E，求证：CE=AF.
分析：要证明CE=AF，只要证明△BEC和△CFA全等就可得到.
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例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长
例4、如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE.
四、课堂学习检测
填空题
1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是______
___________________________________________________________________________；
（2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）指的是_____ _
___________________________________________________________________________．
2．已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
分析：∵PM＝PN，∴ 要证AM＝BN，只要证PA＝______，
只要证______≌______．
证明：在△______与△______中，
∴ △______≌△______ （ ）．
∴PA＝______ （ ）．
∵PM＝PN （ ），
∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．
3．已知：如图，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
分析：要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．
证明：∵ AC∥BD，∴ ∠C＝______．
在△______与△______中，
∴______≌______ （ ）．
∴ OA＝OB，OC＝OD （ ）．
选择题
4．能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
5．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）
图4－3
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
6．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（ ）
A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
解答题
7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△AOD≌△COB．
证明：在△AOD和△COB中，
∴ △AOD≌△COB （ASA）．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
8．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：AD＝AC．
9．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.
10．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．
11．填空题
（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．
（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．
图4－7 图4－8
12．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．
（1）请证明AD＝A'D'；
（2）把上述结论用文字叙述出来；
（3）你还能得出其他类似的结论吗？
图4－9