四川省遂宁市安居区2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案解析

安居区2020年下期期中高一年级文化素质监测
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1、设集合U=,则（ ）
A. B. C. D.
2、下列函数中图象完全相同的是（　　）
A. 与 B.与
C. 与 D. 与
3、下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4、若函数是函数的反函数，则 （ ）
A． B． C． D．
5、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国
古典小说四大名著，我区教育科学研究所为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《水浒传》的学生共有90位，阅读过《水浒传》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《水浒传》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A．80人 B．70人 C．60人 D．50人
6、设为定义在上偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序是（ ）．
A. B.
C. D.
7、设，，，则（ ）
A. B. C. D.
8、已知函数，则（ ）.
A. B. C. D. -2
9、函数的定义域是，则其值域是（ ）
A. B. C. D.
10、已知，则的解析式为（ ）
A. ,且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
11、设集合，若,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12、已知,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数的定义域为_▲____；
已知函数(且)图象恒过点，则点坐标为 ▲ ；
函数的增区间是 ▲ ；
已知函数(其中、是常数)，且，
则__▲__。
三、解答题（17题10分，18~22题各12分，共70分，请写出必要的解答过程或文字说明）
17、（本小题10分）
计算下列各式的值：
18、（本小题12分）
设已知全集,集合，，
求
（本小题12分）
设
（1）讨论的奇偶性;
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.
（本小题12分）
已知二次函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在时的最值．
（本小题12分）
设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
22、（本小题12分）
已知二次函数．
（1）求函数在区间的最大值；
（2）若关于的方程有两个实根，且，求实数的最大值.
安居区2020年下期期中高一年级文化素质监测
数学卷参考答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1、设集合U=,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【点睛】本题主要考查集合与集合之间的交集、补集基本运算，属于容易题。
2、下列函数中图象完全相同的是（　　）
A. 与 B.与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】求出A中两个函数的值域判断出A不是同一个函数；求出B两个函数的定义域判断出B不是同一个函数；通过化简函数判断出两个函数的定义域、对应法则、值域都相同得到C是同一个函数；求出D两个函数的定义域判断出D不是同一个函数；
【详解】选项A前后定义域一样，；对应关系与不一样，排除A．
选项B前面函数定义域和后面函数定义域，前后定义域不一样，排除B．
选项D前面函数定义域和后面函数定义域或，前后定义域不一样，排除D．
C前面函数定义域；后面函数定义域，对应关系一样．故正确答案是C．
两个函数相同分两步：第一，看定义域是否相同；第二，看对应关系是否一样．
故选C．
【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一个函数应该通过函数的定义域、对应法则、值域，属于基础题．
3、下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对选项逐一分析函数在上的单调性，由此选出正确选项.
【详解】对于A选项，在上递减，不符合题意.
对于B选项，在上递减，在上递增，不符合题意.
对于C选项，在上为增函数符合题意.
对于D选项，在上递减，不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题主要考查常见的函数单调性的基本判断，能利用常见结论进行初步的判断，考查单调性的定义，属于简单题。
4、若函数是函数的反函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据互为反函数的两个函数间的关系，原函数中时，，
故反函数中当时，即
【点睛】本题主要考查原函数与反函数之间的关系，是基础题．
5、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国
古典小说四大名著，我区教育科学研究所为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《水浒传》的学生共有90位，阅读过《水浒传》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《水浒传》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为
A．80人 B．70人 C．60人 D．50人
答案B
【解析】因为阅读过《西游记》或《水浒传》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《水浒传》的学生共有位，所以《西游记》与《水浒传》两本书中只阅读了一本的学生共有位，因为阅读过《水浒传》的学生共有位，所以只阅读过《水浒传》的学生共有位，所以只阅读过《西游记》的学生共有位，故阅读过《西游记》的学生人数为位，故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算中能运用Venn图解决集合运算的交、并、补集，属于基础题。
6、设为定义在上偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，故与的距离越远，函数值越大，所以．
故选．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的灵活运用，利用奇偶性转化到同一个单调区间来进行单调性运用，属于基础题。
7、设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对数函数单调性确定三个数取值范围，即可比较大小.
【详解】,
,
所以，
故选：A
【点睛】本题考查比较指数式以及对数式的大小，考查基本分析比较能力，属基础题.
8、已知函数，则（ ）.
A. B. C. D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段函数的定义，即可求出结果.
【详解】由题意，由于，显然。
故选:D.
【点睛】本题考查了函数的基本求值问题，属于容易题。
9、函数的定义域是，则其值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由函数的解析式可知，函数在和上单调递减.当时，当时
考点：利用单调性求函数的值域
【名师点睛】本题考查利用函数的的性质求函数的值域，属容易题.解题时首先考虑函数的定义域和单调性，利用单调性求值域。
10、已知，则的解析式为（ ）
A. ,且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
【答案】C
【解析】
令t=，得到x=，∵x≠1，∴t≠1且t≠0，
∴且t≠0)
∴且x≠0)，
故选C.
求函数解析式常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【点睛】本题考查函数解析式的常见求法，对换元法、配凑法的运用、函数定义域的考查，属于基础题。
11、设集合，若,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求解出集合中的表示元素的范围，然后根据列出对应的不等式，即可求解出实数的取值范围.
【详解】因为，
所以，，
又因为，所以.
故选D.
【点睛】本题考查根据集合间的运算结果求解参数范围，难度一般.将集合转化为区间的形式时一定要注意集合中的表示元素是哪一个.
12、已知,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式作出的图象，由图象得到的单调性，列出关于的不等式求解出的范围即为不等式解集.
【详解】的图象如下图所示：
由图象可知：在上单调递增，
因为，所以，
所以即，所以解集为：.
故选:A.
【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式，着重考查了数形结合思想，已知函数的单调性，可将函数值之间的不等关系转变为自变量之间的不等关系，从而求解出相应自变量的取值范围,属于中档偏难题。
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】要使函数有意义，则，据此即可求出函数的定义域.
【详解】由题意可知，，
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法及集合求交集，属于基础题.
14、已知函数(且)图象恒过点，则点坐标为________.
【答案】
【解析】
令，即，有.
所以. 故答案为.
函数的增区间是 ▲ ；
【答案】
解析：根据复合函数的单调性“同增异减”可知，外函数是单调递增，需要内函数在定义域内单调递减即可。由知，，由在的单调区间可知，在单增，单减。
16、已知函数(其中、是常数)，且，则____________.
【答案】5
【解析】由函数，得.
所以，所以.
又，所以.
故答案为5.
三、解答题（17题10分，18~22题各12分，共70分，请写出必要的解答过程或文字说明）
17．（本小题10分）
计算下列各式的值

【答案】（1）5 （2）
【解析】（1）……………………（5分）
（2）…………………………………（10分）
【点睛】本题考查学生对数与指数式的基本运算，属于基础题型。
18、设已知全集,集合，，求
解：由已知得 ……………………………………2分
……………………………………5分
……………………………………7分
……………………………………9分
又 ……………………………………10分
……………………………………12分
【点睛】本题考查学生解一次双向不等式的能力及集合基本运算的能力，属于基础题型。
（本小题12分）设
（1）讨论的奇偶性;
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.
【答案】(1)奇函数(2)在上是增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)分别确定函数的定义域和与的关系即可确定函数的奇偶性；
(2),且,通过讨论符号决定与的大小，据此即可得到函数的单调性.
【详解】(1)的定义域为, ……………………………（2分）
, …………………………………（4分）
是奇函数. ……………………………………………（6分）
(2),且, …………………………………（7分）
…………………（9分）
∵, ，………………………（10分）
， . ……………………………（11分）
所以在上是增函数. …………………………………（12分）
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基础题型。
（本小题12分）
已知二次函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在时的最值．
【答案】(1)；(2)最小值为，最大值为26
【解析】
【分析】
(1)设出二次函数的一般形式，根据条件利用待定系数法求解出的解析式；
(2)根据二次函数的对称轴、开口方向，结合区间，求解出的最值即可.
【详解】(1)设，
因为，所以， …………………………………（1分）
因为，
所以，
所以， …………………………………（3分）
所以，所以， …… …………………………（5分）
所以； …………………………………（6分）
(2)因为，的对称轴为，且的开口向上，
所以在上递增， …………………………………（8分）
所以，
.…………………………………（10分）
所以最小值为，最大值为26. …………………………………（12分）
【点睛】本题考查根据待定系数法求解函数的解析式以及利用函数的单调性求解函数的最值，难度较易.
对于常见的一次函数、二次函数、反比例函数，求解析式时可采用待定系数法求解；
(2)求解二次函数的值域时，注意借助二次函数的对称轴和开口方向进行分析.
（本小题12分）
设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
（1）（2）
【解析】（1）当，即时，，满足.………………（2分）
当，即时，要使成立， …………………（3分）
只需即. …………………………………（5分）
综上，当时，的取值范围是. …………………………………（6分）
（2）∵，且，，
又不存在元素使与同时成立，
∴当，即，得时，符合题意； ……………………………（8分）
当，即，得时， …………………………………（9分）
或解得 …………………………………（11分）
综上，所求的取值范围是 …………………………………（12分）
【点睛】本题考查集合之间的基本运算，尤其是含参讨论中对空集的考查，对集合的子集与真子集的考查，基本不等式的交集、并集的理解，属于中档题。
22、（本小题12分）
已知二次函数．
（1）求函数在区间的最大值；
（2）若关于的方程有两个实根，且，求实数的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
（1）根据对称轴的位置讨论两种情况： 分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果；（2）设 ，,由韦达定理可得
,利用函数的单调性可得实数的最大值.
试题解析：（1）对称轴，，二次函数开口向上,
①当，即时：,…………………………（2分）
②当，即时：,……………………………（4分）
综上所述,. …………………………………（5分）
（2）由题知：方程的两个根分别为,
由韦达定理知：①， ②， ………………………………（6分）
又已知 , ③ …………………………………（7分）
联立，得，
带入知： ， …………………………………（9分）
即，其中 …………………………………（10分）
当t=1时，分母取得最小值， …………………………………（11分）
所以得最大值为. …………………………………（12分）
【点睛】本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解，属于中档偏难题。