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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.1.2
指数函数性质与图象
基础巩固
1．（2019·土默特左旗第一中学高一期中）下列各函数中，是指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据指数函数的定义知，，
A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；
D正确.
2．（2020·全国课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
【答案】A
【解析】当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).
3．（2020·全国课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
【答案】C
【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.
4．（2017·福建期中）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（
）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
所以0＜a＜1.
函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，
所以b＜0.
5．（2020·福建学业考试）已知函数，，的图象如图所示，则实数，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当取1时，三个函数的函数值分别为，，，由图知.
6．（2020·全国高一单元测试）已知正整数指数函数，则（
）
A．2
B．3
C．9
D．16
【答案】C
【解析】因为函数是指数函数，所以，则，所以，，所以.
7．（2020·陕西榆阳·榆林十二中月考（理））设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以.
8．（2020·公主岭市第一中学校（文））函数的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
在区间上单调递减，在区间上单调递增.
9．（2021·四川省泸县第四中学月考）设函数，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数的图象如图所示：
因为，
所以，
解得，
所以满足的x的取值范围是，
故选：D.
10．（2020·河南商丘·月考（理））企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量(单位：)与时间(单位：)间的关系为(其中，是正的常数).如果在前消除了20%的污染物，则后废气中污染物的含量是未处理前的（
）
A．40%
B．50%
C．64%
D．81%
【答案】C
【解析】当时，；
当时，，即，得，
所以
；
当时，，
11．（2020·山东枣庄·高二期末）已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：函数，且中，
令，得，
所以，
所以的图象过定点，
所以，；
所以．
12．（2019·黑龙江南岗·高三月考（文））函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：令，可得，
可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，
当时，，故函数的值域为，故选：B.
13．（2020·福建高二期末）若函数为增函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数为增函数，
可得，解得.
即实数的取值范围是.
14．（2020·四川省泸县第一中学月考）已知函数，，
构造函数，则（
）
A．有最小值0，无最大值
B．无最小值，有最大值1
C．有最小值，无最大值
D．无最小值，也无最大值
【答案】C
【解析】在同一坐标系中作出与的图像，然后根据定义画出的图像，
如图所示：
由图可知有最小值，无最大值.
15．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）已知，，若对任意，或，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由得，
因此对任意，或，只要时，即可，
，∴，
或，由得，
当时，，或，∴，，∴满足题意，
当时，，或，∴，，∴，
综上，．
16．（多选题）（2020·浙江高一单元测试）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．
当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】AC
【解析】因为函数是指数函数，所以，所以，
所以，所以，，，
故B、D、E错误，A、C正确.
18．（多选题）（2020·山东菏泽·高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（
）
A．蓝藻面积每个月的增长率为
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过
D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有
【答案】ACD
【解析】解：由图可知，函数图象经过，即，则，∴；
∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对、B错；
当时，，C对；
若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；
19．（多选题）（2019·福建三明·高一期中）下列说法正确的是（
）
A．函数在定义域上是减函数
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称
【答案】CD
【解析】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.
20．（多选题）对于函数定义域中任意的，，当时，下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由已知，，，故A对；
，故B错；
为减函数，所以当时，有，有
，故C对；
，，由基本不等式知，
，（因为，故等号不成立），
所以，故D对.
拓展提升
1．（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域、值域.
（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1.
【解析】（1）∵对一切x∈R，3x≠－1；
∴函数的定义域为R；
∵y＝＝1－；
又∵3x>0，1＋3x>1；
∴0<<1，∴－1<－<0；
∴0<1－<1，∴值域为(0，1).
（2）函数的定义域为R；
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋；
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值；
同时y可以取一切大于的实数；
∴值域为.
2．（2018·北京师大附中高一期中）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式．
【解析】（1）易知函数，.
所以定义域为.
（2）由，从而知为偶函数；
（3）由条件得，得，解得或.
所以不等式的解集为：或.
3．（2019·江苏省上冈高级中学期中）已知函数且的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）∵且的图象经过点
∴,由且
可得
（2）由（1）得
若,代入
可得
由指数函数的单调性可知满足
解得,即
4．（2020·全国高一课时练习）某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2018年年末，森林剩余面积为原来面积的，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的.
（1）求每年砍伐面积的百分比P%；
（2）到2018年年末，该森林已砍伐了多少年？
【解析】（1）由题意可得，，
解得，∴每年砍伐面积的百分比p%为.
（2）设经过m年剩余面积为原来的，则，
∴，
由（1）可得，即，∴，解得，
故到2018年年末，该森林已砍伐了5年.
5．（2020·江苏南通·月考）设函数
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；
（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.
【解析】解：的图象关于原点对称，
，
，即，
（注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分）
令，
则，
，又，
所以函数的零点为.
（2），
令，
，
对称轴，
①
当，即时，
，
；
②
当，即时，
，
（舍）；
综上：实数a的值为.
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精品试卷·第
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指数函数、对数函数与幂函数
4.1.2
指数函数的性质与图象
1、基础巩固
1．（2019·土默特左旗第一中学高一期中）下列各函数中，是指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
3．（2020·全国课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
4．（2017·福建期中）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（
）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
5．（2020·福建学业考试）已知函数，，的图象如图所示，则实数，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·全国高一单元测试）已知正整数指数函数，则（
）
A．2
B．3
C．9
D．16
7．（2020·陕西榆阳·榆林十二中月考（理））设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·公主岭市第一中学校（文））函数的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·四川省泸县第四中学月考）设函数，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·河南商丘·月考（理））企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量(单位：)与时间(单位：)间的关系为(其中，是正的常数).如果在前消除了20%的污染物，则后废气中污染物的含量是未处理前的（
）
A．40%
B．50%
C．64%
D．81%
11．（2020·山东枣庄·高二期末）已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·黑龙江南岗·高三月考（文））函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·福建高二期末）若函数为增函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·四川省泸县第一中学月考）已知函数，，
构造函数，则（
）
A．有最小值0，无最大值
B．无最小值，有最大值1
C．有最小值，无最大值
D．无最小值，也无最大值
15．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）已知，，若对任意，或，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）（2020·浙江高一单元测试）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（
）．
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
18．（多选题）（2020·山东菏泽·高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（
）
A．蓝藻面积每个月的增长率为
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过
D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有
19．（多选题）（2019·福建三明·高一期中）下列说法正确的是（
）
A．函数在定义域上是减函数
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称
20．（多选题）对于函数定义域中任意的，，当时，下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、拓展提升
1．（2020·全国课时练习）求下列函数的定义域、值域.
（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1.
2．（2018·北京师大附中高一期中）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式．
3．（2019·江苏省上冈高级中学期中）已知函数且的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
4．（2020·全国高一课时练习）某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2018年年末，森林剩余面积为原来面积的，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的.
（1）求每年砍伐面积的百分比P%；
（2）到2018年年末，该森林已砍伐了多少年？
5．（2020·江苏南通·月考）设函数
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；
（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.
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