5.1 导数的代数意义（002：函数的极值与最值） 同步学案

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导数的代数意义学案（002：函数的极值与最值）
一．学习目标
导数作为高中数学函数部分的重要工具，不仅仅对于其几何意义（切线）的适用，也在于代数意义中的价值；其价值我们已经学习了函数的单调性应用，在本节课我们学习导数代数意义的第二部分：函数极值与最值的应用。
对于函数最值或极值的考查时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式；题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大，但是有章可循。
本次高考中的解答题中出现函数极值的处理，涉及到数学的多个思想与方法的考查处理，难度较大。
二．基础知识
1.函数极值的概念
设函数在连续，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。
(1)附近左侧，右侧，那么是极大值；
(2)附近左侧，右侧，那么是极小值．
（函数在处左侧为增函数，右侧为减函数，则该处的函数值为极大值；反之为极小值）
2.求函数的极值的一般步骤：
先求定义域，再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。
检验在方程的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值，可列表完成。
3
最值的概念
(1)在闭区间上连续的函数在区间上必有最大值与最小值；（函数为连续函数，区间为闭区间）
(2)若函数在区间上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在区间上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值；
(3)设函数在区间上连续，在区间内可导，求在区间上的最大值和最小值的步骤：
①求在区间内的所有极值；?
②将的各极值与端点的函数值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
(4)函数的最大值不一定是极大值（可能是端点处），同样最小值不一定是极小值。
(5)函数的极大值不一定比极小值大。
注意：
通过极值与最值的定义可知，极值是一个局部概念（比如：喜马拉雅山脉的最高峰是珠穆朗玛峰——最值，但是每一个山脉总有一个相对局部最高峰——极值）；由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；同时，函数的极大值可能比极小值小。
函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值。
一般地，连续函数在点处有极值是的充分非必要条件。即：连续函数在点处有极值，反之不成立。
求函数的极值要列表。
三．典例分析与性质总结
题型1：极值概念的应用（函数图像）
例1：设函数在定义域R上可导，其导函数为，若函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
题型2：利用导数求极值或最值（不含参数）
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确断定导数的符号，当含参数时，需要根据参数取值对不等式的解集的影响进行分类讨论，在进行分类讨论时，要做到不重复不遗漏。
例2：已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值。
题型3：已知极值或最值求参数的值或范围
例3：已知在时有极值0，则______.
注意：
函数在某点处取得极值，隐含了两个关键信息：，该点在曲线上满足曲线的方程；另外，涉及到极值点的问题要注意列表进行检验，否则会出现增根。
例4：若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是(　　)
题型4：函数极值与最值的综合性问题
例5：已知函数；曲线在点处的切线为；
若时，有极值。
(1)求的值；(2)求在上的最大值。
例6：设函数，其中.
(1)讨论在其定义域上的单调性；
(2)当时，求取得最大值和最小值时的的值．
【方法归纳】
1.可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧导数的符号不同。
2.若函数在区间内有极值，则函数在内不是单调函数；若函数在某区间上是单调函数，则函数在此区间上一定没有极值。
3.利用导数研究函数极值的一般流程：
4.求函数在上的最值的方法
(1)若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在闭区间内有极值,要先求出上的极值，与、比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到；
(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值。
四．变式演练与提高
1.已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为________
2.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．．
3.若函数在上无极值，则必有
（
）
A.
B.
C.
D.
4.函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是
。
5.已知函数在点处有极小值，试确定的值，并求出的单调区间。
6.函数；（）
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间是增函数，求的取值范围．
五．反思总结
1.易错梳理
①注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行；
②求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论。
③一个函数在其定义域内的最值是唯一的，最值可以在区间的端点处取得；
④解题时，要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题，处理好当时的情况，正确区分极值点和导数为0的点。
2..求函数极值的方法
求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论。
3.求函数在区间上的最值的方法
(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在闭区间内有极值，要先求出上的极值，与、比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到。
六．课后作业
1.设函数，则(　　)
A．当时，在处取到极小值
B．当时，在处取到极大值
C．当时，在处取到极小值
D．当时，在处取到极大值
2.设函数在R上可导，其导函数是，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是(　　)
3.若函数在其定义域内的一个子区间)内不是单调函数，则实数的取值范围是(　　)
A．
B.
C．
D.
4.已知函数有零点，则的取值范围是____________．
5.设函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(2)若，成立，求的取值范围。
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
令，则
由的图像可知，当时，，所以；
当时，，故而；
当时，，所以；
当时，所以。
由此可以得到函数在处取得极大值，在处取得极小值。故而选D.
例2：解析：
由题意知函数的定义域为，
(1)当时，，
，；由题意知，切点为，斜线的斜率为-1。
所以曲线在点处的切线方程为.
(2)由，x＞0知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，由，解得
又当时，；当时，，
从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值。
例3：解析：
由题意得，则；解得，或，；
经检验当，时，函数在处无法取得极值；而，满足题意，故。
注意：
函数在某点处取得极值，隐含了两个关键信息：，该点在曲线上满足曲线的方程；另外，涉及到极值点的问题要注意列表进行检验，否则会出现增根。
例4：解析：
由题知，，显然可得在上是增函数，在上是减函数；作出其草图如图所示。令得，或，结合图象可知，
解得。
本题的关键点在于函数在某个开区间上存在最小值，则其最小值只能在极值处取得。
例5：解析：
(1)由，得
当时，切线的斜率为3，可得；
当时，有极值，则，可得。
联立方程组，可得；同时，所以，故而。
(2)由(1)可得，，；令得，；
建立如下的表格：
1
﹢
0
﹣
0
﹢
8
13
4
所以，在上的最大值是13。
例6：解析：
(1)的定义域为，
令，得，，，
所以
当或时，；当时，
故在和内单调递减，在内单调递增．
(2)因为，所以，.
①当时，.
由(1)知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值．
②当时，.
由(1)知，在上单调递增，在上单调递减．所以在
处取得最大值．
又，，所以
当时，在处取得最小值；
当时，在处和处同时取得最小值；
当时，在处取得最小值．
（四．变式演练与提高）
1.解析：
当点处的曲线的切线与直线平行时取得最小值．令，解得，所以点的坐标为，所以点到直线的距离为，即的
最小值为。
2.解析：
令在上有最小值，得，且是的极大值点，是的极小值点，若函数在上有最小值，则函数的极小值点内，且左端点的函数值不小于；即实数应满足，且，解之得，且；故而实数的取值范围是，故选C。
3.解析：
由题意知，在上无极值，则在上单调；在上无解或只有一个实数解；
，则，故而选C。
4.解析：
由题意得，；由，得，令，解得，也即在单调递增，在单调递减；经比较与的大小，在上的最大值为，故而实数的取值范围是。
5.解析：
因为，；由题意得
即，；联立解得
，；令，解得；
故而可知的单调递增区间为，单调递减区间为
6.解析：
(1)，的判别式．
①若，则恒成立，故此时在R上是增函数．
②由于，故当时，有两个根：
若：
当或时，
故分别在、是增函数；
当时，，
故在是减函数；
若：
当或时，
故分别在、是减函数；
当时，
故在是增函数．
(2)当时，
当时，在区间是增函数显然成立；
当时，在区间是增函数，当且仅当且，解得
综上，的取值范围是
（六．课后作业）
1.解析：
当时，，，，故错；
当时，，，故有一根为，另一根．当时，，递减；当时，，递增，∴在处取得极小值，故选C.
2.解析：
在处取得极小值，即，；，，那么过点及．当时，，，则；当时，，，；当时，，，故C正确
3.解析：
，，
令，得；又函数在区间内不是单调函数，故且，解得，故选B。
4.解析：
由原函数有零点，可转化为方程有解，即方程有解．
令函数，则；容易得到在上是增函数，在上是减函数，所以的最大值为；因为的取值范围就是函数的值域，所以的取值范围为．
5.解析：
(1)由题意知，函数的定义域为，，
令，．
(i)当时，，此时，函数在单调递增，无极值点；
(ii)当时，．
①当时：
，，，函数在单调递增，无极值点；
②当时，
设方程的两根为
因为，所以，，
由，可得.
所以当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增；所以函数有两个极值点．
(iii)当时，，
由，可得，
当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；所以函数有一个极值点．
综上所述，
①当时，函数有一个极值点；
②当时，函数无极值点；
③当时，函数有两个极值点．
(2)由(1)知，
(i)当时，函数在上单调递增．因为，
所以时，，符合题意；
(ii)当时，由，得，
所以函数在单调递增，又，所以时，，符合题意；
(iii)当时，由，可得；所以时，函数单调递减；
因为，所以时，，不合题意；
(iv)当时，设．
因为时，；所以在上单调递增．
因此当时，，即
可得
当时，；此时，不合题意．
综上所述，的取值范围是
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