7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(一般)2．理解象限角的概念．(重点)3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(重点、难点)
1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象、数学运算核心素养.
周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．
问题 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？
提示 时针转了－45°，分针转了－540°.
1．角的概念
(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角．
(2)角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转而形成的角
负角
按顺时针方向旋转而形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
2.角的加减法运算的几何意义
α＋β表示在角α的基础上，逆时针旋转β角度；α－β表示在角α的基础上，顺时针旋转β角度．
思考：用几何意义表示角的加、减时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？
[提示] 在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边．
3．象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边(除端点外)在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[拓展] 对于集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解应注意三点：
(1)α是任意角．
(2)“k∈Z”有三层含义：
①特殊性：k每取一个整数值就对应一个具体的角；
②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)；
③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k＝0时，没有旋转．
(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“＋”连接，如－30°＋k·360°应看成(－30°)＋k·360°，表示与－30°角终边相同的角．
思考：相等的角终边相同吗？反过来，终边相同的角相等吗？
[提示] 相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)经过1小时，时针转过30°.
( )
(2)终边与始边重合的角是零角．
( )
(3)小于90°的角是锐角．
( )
[提示] (1)×.因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.
(2)×.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
(3)×.锐角是指大于0°且小于90°的角．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．钟表的分针在一个半小时内转了( )
A．180°
B．－180°
C．540°
D．－540°
D [钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]
3．下列各角中，与330°角的终边相同的角是( )
A．510°
B．150°
C．－150°
D．－390°
D [与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．]
4．下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)
①②③④ [由象限角定义可知①②③④都不正确．]
任意角的概念
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．钟表的时针旋转而成的角是负角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．大于90°的角都是钝角
(2)给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④－315°是第一象限角．其中是真命题的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(1)B (2)C [(1)终边相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错；200°>90°但200°不是钝角，D错．
(2)－90°<－75°<0°，第四象限角，①正确；180°<225°<270°，第三象限角，②正确；360°＋90°<475°<360°＋180°，第二象限角，③错误；－360°<－315°<－270°，第一象限角，④正确；所以这四个命题中真命题有3个．]
1．理解角的概念的三个“明确”
常见角α的范围：锐角0°<α<90°，钝角90°<α<180°，直角90°，平角180°，周角360°.
2．判断角的概念型问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．
提醒：解答概念辨析题，一是利用反例排除错误答案，只需举一个反例即可，二是利用定义直接判断．
1．(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C
B．A?C
C．(A∩C)＝B
D．(B∪C)?C
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
(1)D (2)－120° [(1)第一象限角可表示为k·360°<α(2)由于顺时针旋转，分针每分钟转－6°，所以20分钟转了－120°.]
终边相同的角的表示及应用
【例2】 在角的集合S＝{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角；
(2)在集合S中有几个在[－360°，360°)内的角．
[解] (1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有4种，分别是与45°，135°，225°，315°角的终边相同的角．
(2)令－360°≤k·90°＋45°<360°，得－≤k<.
又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
所以在[－360°，360°)内的角共有8个．
确定在某范围内终边相同的角的基本思路
求与已知角α终边相同的角时，先将这样的角表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求出满足条件的角，或通过解不等式，确定k的值，求出满足条件的角．
2.如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合．
[解] 终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合为
S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合为
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．
于是，终边落在直线y＝x上的角的集合为
S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{r|r＝60°＋n·180°，n∈Z}．
象限角及其应用
角度一 用不等式组表示角的集合
【例3】 如图所示．
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解] (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°(k∈Z)，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°(k∈Z)即得区间角集合．
3.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
[解] 在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
角度二 nα或所在象限的判定
[探究问题]
1．由角α所在象限如何求(k∈N
)所在象限？
[提示] (1)代数推导法：先表示为角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
[提示] (1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【例4】 (1)若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
(2)已知α为第二象限角，判断下列角是第几象限角．
①2α；②.
[思路探究] (1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；
(2)由α的范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．
(1)C [因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．]
(2)[解] ①因为α是第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
所以2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
②法一：因为α是第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，所以是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(k∈Z)，所以是第三象限角．故是第一或第三象限角．
法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角．
(变结论)本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？
[解] 因为α是第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
所以30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角．
所以为第一、第二或第四象限角．
已知α范围，求nα或的范围
?1?已知α范围，求nα所在象限时，用不等式表示出来，再查找不等式的范围即可，注意结果可能不只有象限角，还可能有轴线角.
?2?已知α范围，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，再按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.
1．本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解．
2．会写终边相同的角、区域角．
3．关注2种思想
(1)nα所在象限的判断方法注意转化思想的运用；
(2)所在象限的判断方法注意分类讨论思想的运用．
4．辨明2个易错点
(1)象限角是以角的终边的位置分类的，而锐角、钝角和直角是以角的大小分类的，不能将它们混淆．同时要注意第一象限角、锐角、小于90°的角三者的区别；
(2)用分类讨论法解决分角象限问题时要注意找准分类角度，分类要做到不重不漏，切忌以偏概全．
1．以下说法正确的是( )
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
B [对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，所以A?B，故选B．]
2．如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<αC [在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α3．一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________．
1
110° [按逆时针方向旋转得到的角是正角，旋转三周则得30°＋3×360°＝1
110°.]
4．(一题两空)已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240° 三 [因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°<240°<270°，
故α＝240°，它是第三象限角．]
5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)640°.
[解] (1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，所以在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，所以在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
6/11课时分层作业(一) 角的推广
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．[0°，90°)的角是第一象限的角
B．第一象限的角都是锐角
C．平角跟周角不是象限内的角
D．钝角是大于第一象限的角
C [选项A,0°角不是第一象限的角；选项B显然错误；选项C，平角跟周角是轴线角，它们不是象限内的角，显然正确；选项D显然错误．]
2．若α为第一象限的角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在象限为( )
A．第一象限
B．第一或第二象限
C．第一或第三象限
D．第一或第四象限
C [若k为偶数，则k·180°＋α的终边在第一象限；若k为奇数，则k·180°＋α的终边在第三象限．]
3．与－420°角终边相同的角是( )
A．－120°
B．420°
C．660°
D．280°
C [与－420°角终边相同的角为k·360°－420°，k∈Z.
当k＝3时，3×360°－420°＝660°.]
4．已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有( )
A．M＝N
B．N?M
C．M?N
D．M∩N＝?
C [由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°(k∈Z)表示终边落在y＝x或y＝－x上的角．(如图(1))
又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x上8个位置的角(如图(2))，因而M?N，故正确答案为C．]
5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
D [终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．]
二、填空题
6．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
－960° [因为α与120°角终边相同，
故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°<α<－630°，
所以－990°即－1
110°所以－当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.]
7．(一题两空)如果将钟表拨慢10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
5 60 [由题意结合任意角的定义可知，钟表拨慢10分钟，
则时针所转成的角度是×＝5°，
分针所转成的角度是×360°＝60°.]
8．已知角α为钝角，角4α与角α有相同的始边与终边，则角α＝________.
120° [若角4α与角α有相同的始边与终边，则4α＝k·360°＋α(k∈Z)，即α＝k·120°(k∈Z)．又角α为钝角，所以k＝1，所以α＝120°.]
三、解答题
9．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．
(1) (2)
[解] 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
10．写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1
080°范围内与75°角终边相同的角．
[解] 与75°角终边相同的角的集合为
S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1
080°时，
即360°≤k·360°＋75°<1
080°，
解得≤k<2.
又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时β＝435°；当k＝2时，β＝795°.
综上所述与75°角终边相同且在360°≤β<1
080°范围内的角为435°和795°.
11．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、第二象限角
B．第二象限角必是钝角
C．不相等的角终边一定不同
D．锐角一定是第一象限角
D [90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、第二象限角，排除A；460°的角是第二象限角，但不是钝角，排除B；390°的角与30°的角不相等，但是它们的终边相同，排除C；易得D正确．]
12．(多选题)如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
ACD [因为α是第三象限的角，则α∈(k·360°＋180°，k·360°＋270°)，k∈Z，所以∈(k·120°＋60°，k·120°＋90°)，k∈Z，所以可以是第一、第三、第四象限角．]
13．(一题两空)若角α＝2
021°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
221° －139° [因为2
021°＝5×360°＋221°，所以与角α终边相同的角的集合为{α|α＝221°＋k·360°，k∈Z}，所以最小正角是221°，最大负角是－139°.]
14．角α，β的终边关于y＝x对称，若α＝30°，则β＝________.
60°＋k·360°，k∈Z [因为30°与60°的终边关于y＝x对称，
所以β的终边与60°角的终边相同．
所以β＝60°＋k·360°，k∈Z.]
15．如图所示，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个以O为圆心，1为半径的圆上爬行，两只蚂蚁从点A(1,0)同时逆时针匀速爬行，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14
s末时回到点A，并且在第2
s末时均位于第二象限，求α，β的值．
[解] 根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，
故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z，则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.
由两只蚂蚁在第2
s末时均位于第二象限，
知2α，2β均为第二象限角．
因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，
所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，
于是45°<α<90°，45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°，m∈Z,45°<·180°<90°，n∈Z，
即又α<β，所以m即α＝，β＝.
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