4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解n次方根及根式的概念．(一般)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点、难点)
1．通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养．2．通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养.
关于根号的故事，最有价值和意义的当属的发现，它导致了第一次数学危机，并促使了逻辑学和几何学的发展．
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰．
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海．
问题：若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？
[提示] 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
1．有关幂的概念
一般地，an中的a称为底数，n称为指数．
2．根式的相关概念和性质
(1)根式的概念
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
(2)根式的性质
①()n＝a.
②＝
思考1：类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
[提示] a为正数：
a为负数：
零的n次方根为零，记为＝0.
3．分数指数幂
(1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．
(2)意义
分数指数幂
正分数指数幂
①a＝
(a>0)，②a＝()m＝(a>0，m，n∈N
，且为既约分数)
负分数指数幂
a－s＝(as有意义且a≠0)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
(3)运算法则
①前提：s，t为任意有理数．
②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs.
思考2：如何理解分数指数幂？
[提示] (1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；
(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会有意义．当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算；
(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘．
4．实数指数幂
无理指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当n∈N
时，()n都有意义．( )
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( )
(3)＝π－3.( )
(4)0的任何指数幂都等于0.( )
(1)× (2)× (3)√ (4)× [(1)当n是偶数时，()n没有意义．
(2)负数没有偶次方根．
(3)∵＝|3－π|＝π－3.
∴(3)正确．
(4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．]
2．下列等式成立的是( )
A.＝·
B.＝a－b
C.a＝
D.＝－
D [A中，当a＜0，b＜0时等式不成立；B中，当a－b＜0时等式不成立；C中，当a＜0时等式不成立．]
3．若a＞0，则用根式形式表示a，用分数指数幂表示分别为( )
C [当a＞0时，a用根式形式表示为，用分数指数幂表示为a3b.]
4．若8＜x≤10，则－＝________.
2x－18 [因为8＜x≤10，则－＝x－8－(10－x)＝2x－18.]
根式的概念与性质
【例1】 (1)若x＜，则等于( )
A．3x－1
B．1－3x
C．(1－3x)2
D．非以上答案
(2)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
(3)若有意义，则实数a的取值范围是________．
[思路探究] (1)先将根式内配成完全平方的形式，再利用根式的性质化简．
(2)先由平方根的定义求出a的值，再由立方根的定义求出b的值，再求和．
(3)根据被开方数大于或等于0，及分母不为0求解．
(1)B (2)－11或7 (3)(3，＋∞) [(1)因为x＜，所以1－3x＞0.
所以＝＝|1－3x|＝1－3x.
(2)因为(±9)2＝81，所以81的平方根为±9，即a＝±9，又(－2)3＝－8，
所以－8的立方根为－2，所以b＝－2，
所以a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7.
(3)要使有意义，则＞0，且a－3≠0，即a＞3.]
1．根式概念问题应关注的两点
(1)n为奇数时，对任意实数a都存在n次方根．
(2)n是偶数时，只有a≥0时才有n次方根，表示为±.
2．根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．
(2)被开方数是带分数的要化成假分数．
(3)被开方数中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
1．(1)的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．81
(2)若x6＝2
021，则x＝________.
(3)已知＝－()3，则实数a的取值范围是________．
(1)A (2)± (3)(－∞，－1] [(1)＝|－3|＝3.
(2)因为x6＝2
021，所以x＝±.
(3)因为＝|a＋1|，()3＝a＋1，
所以|a＋1|＝－(a＋1)，所以a＋1≤0，即a≤－1.]
根式与分数指数幂的互化
【例2】 (1)根式(式中a＞0)的分数指数幂的形式为( )
(2)下列各式正确的是( )
[思路探究] (1)从里往外先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解．
(2)利用指数幂的运算性质求解．
(1)A (2)D [(1)＝＝＝a.
(2)A.(m＋n)＝，因此不正确；
B.2＝b2·a－2，因此不正确；
C.＝＝3，因此不正确；
D.＝＝[(22)]
＝2，因此正确．]
根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律：根指数分数指数幂的分母．
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
2．(1)化为分数指数幂为________．
(2)将下列各式化为分数指数幂的形式：
①(x＞0)；
②(a＞0，b＞0)．
(1)a [＝(a·a)＝(a)＝a.]
(2)[解]
指数幂的运算
角度一 利用分数指数幂的运算性质化简与求值
【例3】 计算下列各式：
(1)(4a2b)(－2ab)÷(－b)；
(2)－－(－1)0＋(－1)2
021＋2－1.
[思路探究] 化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值．
[解] (1)
(2)－－(－1)0＋(－1)2
021＋2－1
＝－－1－1＋
＝－－＝－.
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂．
(2)化根式为分数指数幂．
(3)化小数为分数进行运算．
3．(1)化简：＝________.
(2)求值：1.5×0＋80.25×＋(×)6－.
(2)[解] 1.5×0＋80.25×＋(×)6－＝×1＋
(23)×2＋22×33－＝＋2＋4×27－＝110.
角度二 指数式的条件求值问题
[探究问题]
1．把2，2分别展开是什么？
[提示] 2＝a＋＋2，2＝a2＋＋2.
2.2和2有什么关系？
[提示] 2＝2＋4.
【例4】 已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)a－a.
[解] (1)因为a＋a－1＝5，
所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2
＝52－2＝23.
(2)因为2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
所以a－a＝±.
本例条件不变，如何求a3＋a－3的值？
[解] 因为a＋a－1＝5，
所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3aa－1]＝5×(25－3)＝110.
条件求值问题的常用方法
(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
一、知识总结
1．一个数有没有n次方根，一定先考虑被开方数是正数还是负数，还要分n为奇数或偶数这两种情况．
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
3．指数幂的几个常见结论
(1)当a＞0时，ab＞0；
(2)当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；
(3)若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；
(4)乘法公式仍适用于分数指数幂，如：
(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a＞0，b＞0)．
4．在条件求值(或化简)中，注意整体代入法的应用．求解指数方程，常化为同底数的幂、或者换元求解．
二、方法归纳
整体代换法．
三、常见误区
对于，当n为偶数时，a≥0.在运用分数指数幂的运算法则化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
1．若＝－，则( )
A．a＝0
B．a≠0
C．a≤0
D．a≥0
A [因为与－互为相反数，所以a＝0.]
2．有下列各式：①若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；②＝x＋y；③＝.其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B [①a2－a＋1＝2＋＞0，所以(a2－a＋1)0＝1成立．②无法化简．③＜0，＞0，故不相等．]
3．化简的结果等于________．
a [由条件知a≥0，
4．27＋16－－2－＝________.
3 [原式＝
4－1－4－＝3.]
5．化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2).(结果化为分数指数幂)
[解]
＝a.
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1课时分层作业(一) 实数指数幂及其运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列各式：①＝a；②(a2－3a＋3)0＝1；③＝.其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B [当n为偶数时，＝|a|，故①错；a2－3a＋3＝2＋＞0，故(a2－3a＋3)0＝1，故②对；＝，＝－，故③错．]
2．若＝，则实数a的取值范围是( )
A．a≥
B．a≤
C．－≤a≤
D．R
B [因为＝，
所以|2a－1|＝1－2a.
则2a－1≤0，解得a≤.]
3．下列各式计算正确的是( )
A．(－1)0＝1
B．a·a2＝a
C．4＝8
D．a÷a＝a
A [选项A中，(－1)0＝1正确；
4．化简[(－)2]的结果是( )
A．－
B．
C．
D．－
5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
A．＝x
B．＝y
D．x＝－
C [＝|x|，＝|y|，
二、填空题
6．化简：(1－1 [原式＝＝－1(17．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
20 [32a－b＝＝＝＝20.]
8．若有意义，则
－|3－x|化简后的结果是________．
－1 [∵有意义，∴2－x≥0.∴x≤2.
∴－|3－x|
＝|x－2|－|3－x|＝(2－x)－(3－x)＝－1.]
三、解答题
9．计算：
(1)0.5＋(0.1)－2＋－3π0＋；
(2)＋(0.001)－(0.25)×－4.
[解] (1)原式＝＋2＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝2－＋(0.1)－1－0.5×4
＝2－＋10－2＝10－.
10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解] 因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
2＝＝＝.
因为a>b>0，所以>，
所以＝＝.
11．(多选题)有下列结论：①当a＜0时，(a2)＝a3；②＝|a|；③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域为(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.其中错误的为( )
A．①
B．②
C．③
D．④
ABC [只有④正确，由100a＝102a＝5,10b＝2，得102a＋b＝5×2＝10，故2a＋b＝1.
而①中，(a2)应为－a3；
②中，＝
③中，函数的定义域由得x∈eq
\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，))∪eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，＋∞)).]
12．设a－a＝m，则＝( )
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
C [将a－a＝m平方得(a－a)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋
a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.]
13.＝________.
14．(一题两空)已知a＋＝7，则a2＋a－2＝________，a－a－1＝________.
47 ±3 [因为a＋＝7，
则eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋))
2＝a2＋＋2＝49，
变形可得a2＋＝a2＋a－2＝49－2＝47，
(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－4
＝49－4＝45，
所以a－a－1＝±3.]
15．计算：
(2)已知x＋x－1＝4，其中0＜x＜1，求的值．
[解] (1)原式＝＋1
－＝－＋＋1－＝－1.
(2)因为x＋x－1＝4，
所以(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝16，
所以x2＋x－2＝14，
则(x－x－1)2＝x2＋x－2－2＝12，
因为0＜x＜1，所以x＜x－1，
所以x－x－1＝－2，
＝－4.
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