4.1.2 指数函数的性质与图像
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点)
1.通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数
对应层数
对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝2
x＝3
y＝8＝23
S＝＝3
……
……
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝
2x(x∈N
)，对折后的面积S＝x(x∈N
)．
问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
[提示] (1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量．
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.
思考：指数函数中为什么规定a>0且a≠1?
[提示] (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义；
(2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义；
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像和性质
a>1
0
图像
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)
函数值的变化
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
[拓展] 在同一平面直角坐标系中，底数a的大小决定了图像相对位置的高低：
在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”；
在y轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”．
3．比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数．( )
(2)函数y＝2x＋1是指数函数．( )
(3)函数y＝(－2)x是指数函数．( )
(4)指数函数的图像一定在x轴上方．( )
(1)× (2)× (3)× (4)√ [(1)因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．
(4)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图像一定在x轴的上方．]
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0C [函数y＝ax的图像是下降的，所以01.]
3．若2x＋1＜1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
D [不等式2x＋1＜1＝20，
因为y＝2x在R上是增函数，所以x＋1＜0，
即x＜－1.]
4．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
12 [因为y＝x在[－2，－1]上为减函数，所以m＝－1＝3，n＝－2＝9，所以m＋n＝12.]
指数函数的概念
【例1】 (1)下列一定是指数函数的是( )
A．y＝ax
B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝x
D．y＝(a－2)ax
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3
B．a＝1
C．a＝3
D．a>0且a≠1
[思路探究] (1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论．
(2)根据指数函数的定义建立关于a的关系式求解．
(1)C (2)C [(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝x显然是指数函数；D中只有a－2＝1，即a＝3时为指数函数．
(2)由指数函数定义知
解得a＝3.]
1．判断一个函数是指数函数的方法
指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数．
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1.
(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指数函数．
2．已知某函数是指数函数求参数值的方法
(1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程．
(2)解不等式与方程求出参数的值．
提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件．
1．(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x
B．y＝πx
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(a＞0，a≠1)
(2)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)3x (3)∪(1，＋∞) [(1)函数y＝(－4)x的底数－4＜0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π＞1，故B中函数是指数函数；
函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；
函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B.
(2)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝9，又因为a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
(3)由题意可知解得a>且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
指数函数的性质
角度一 与指数函数有关的定义域、值域
【例2】 (1)函数y＝3－x(－2≤x≤1)的值域是( )
A.[3,9]
B.
C.
D.
eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，))
(2)函数y＝的定义域是________．
(3)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则实数a的值为________．
(1)B (2)(－∞，－2]∪[3，＋∞) (3) [(1)函数y＝3－x＝x在[－2,1]上递减，
所以ymax＝3－(－2)＝9，
ymin＝3－1＝.故值域为.
(2)因为函数有意义的充要条件是x2－x－6≥0，即x≤－2或x≥3，
所以所求的定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
(3)当a＞1时，y＝ax在[－1,1]上单调递增，
所以当x＝－1时，y取到最小值a－1，
当x＝1时，y取到最大值a，
所以a－a－1＝1，解得a＝；
当0＜a＜1时，y＝ax在[－1,1]上单调递减，
所以当x＝－1时，y取到最大值a－1，
当x＝1时，y取到最小值a，
所以a－1－a＝1，解得a＝.]
1．与指数函数相关的定义域问题
(1)函数y＝af(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．
(2)涉及不等关系求定义域时，先化同底，再利用图像、单调性求范围．
2．关于指数函数值域的求法
当指数函数的单调性可以确定时，分别求出其最大值、最小值得到函数的值域，若函数的单调性不确定时，则分情况讨论单调性，分别求出其最值，从而确定值域．
2．(1)函数f(x)＝x在区间[－2,2]上的最小值是( )
A．
B．－
C．4
D．－4
(2)函数y＝的定义域为________．
(1)A (2)[3，＋∞) [(1)函数f(x)＝x在定义域R上单调递减，所以f(x)在区间[－2,2]上的最小值是f(2)＝2＝.
(2)依题意得，2x－8≥0，
所以2x≥8＝23，又y＝2x为增函数，
所以x≥3.
所以函数y＝的定义域为[3，＋∞)．]
角度二 指数函数性质的简单应用
【例3】 (1)已知a＝1.50.5，b＝0.51.5，c＝0.50.5，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
(2)使不等式92x－1＜3成立的x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
(1)B (2)A [(1)a＝1.50.5＞1,0＜0.51.5＜0.50.5＜1，
所以a＞c＞b.
(2)不等式即34x－2＜3，
可得4x－2＜，
解得x＜.]
利用单调性比较大小
(1)底数相同的直接利用单调性．
(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较．
(3)底数不同指数相同的借助图像间的关系比较．
3．(1)已知a＝0.40.3，b＝0.30.4，c＝0.3－0.2，则( )
A．b＜a＜c
B．b＜c＜a
C．c＜b＜a
D．a＜b＜c
(2)已知a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜c＜b
B．b＞a＞c
C．b＜a＜c
D．c＞b＞a
(1)A (2)B [(1)因为1＞a＝0.40.3＞0.30.3＞b＝0.30.4，c＝0.3－0.2＞1，
所以b＜a＜c.
(2)a＝0.52.1∈(0,1)，b＝20.5＞1，c＝0.22.1，
0．52.1＞0.22.1，
所以a＞c，所以b＞a＞c.]
角度三 形如y＝af(x)的函数的单调性、值域
【例4】 求函数y＝2x－x2的值域与单调区间．
[思路探究] 指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域?用换元法将其化为指数函数．
[解] 令t＝2x－x2，则y＝t，而t＝－(x－1)2＋1≤1，所以y＝t≥，故所求函数的值域为.
因为y＝t在R上是单调递减，函数t＝2x－x2在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．根据复合函数单调性得，函数y＝2x－x2的减区间是(－∞，1]，增区间是(1，＋∞)．
复合函数的单调性、值域
(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．
4．(一题两空)函数f(x)＝x2－2x的单调递减区间是________，值域是________．
[1，＋∞) [令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则f(x)＝t，利用二次函数的性质可得函数t的增区间为[1，＋∞)，所以函数f(x)＝x2－2x的减区间是
[1，＋∞)．
因为t≥－1，所以0＜f(x)≤，
所以函数f(x)＝x2－2x的值域为.]
指数函数的图像
[探究问题]
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过哪一定点？函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图像又过哪一定点呢？
[提示] 法一：(平移法)∵y＝ax过定点(0,1)，∴将函数y＝ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝ax－1＋2，此时函数图像过定点(1,3)．
法二：(解方程法)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0,1)；在f(x)＝
ax－1＋2中，令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,3)．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像可能在第三或第四象限吗？为什么？
[提示] 不可能．因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图像只能在第一象限和第二象限．
3．从左向右，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？
[提示] 当00且a≠1)的图像从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像从左向右呈上升趋势．指数函数的图像下凸．
【例5】 (1)下列几个函数的图像如图所示：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx.
则a，b，c，d与0和1的关系是( )
A．0B．0C．0D．1(2)已知函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(2,5]
C．(1,2)
D．(1,5]
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
(1)B (2)B (3)[－1,1] [(1)由指数函数图像得到当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到c>d>1，反之，1>a>b>0，所以0(2)因为f(1)>1，所以a－1>1，即a>2，因为函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，所以g(0)＝a1－1－4≤0，所以a≤5，所以a的取值范围是(2,5]．
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．]
1．处理函数图像问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)．
(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图像过定点问题的处理方法
求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点．
5．(1)在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝x＋a的图像，可能正确的是( )
(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝x的图像( )
A．向右平移3个单位
B．向左平移3个单位
C．向右平移8个单位
D．向左平移8个单位
(3)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图像是( )
(1)D (2)A (3)A [(1)∵a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，对应函数y＝x＋a单调递增，
又∵当a＞1时，函数y＝ax单调递增，当0＜a＜1时，函数y＝ax单调递减，
A中，从图像上看，y＝ax的a满足a＞1，而直线y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上两条；
B中，从图像上看，y＝ax的a满足0＜a＜1，而直线y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上两条；
C中，从图像上看，y＝ax的a满足a＞1，而函数y＝x＋a单调递减，不符合以上两条，
∴只有选项D的图像符合以上两条，故选D.
(2)因为y＝23－x＝x－3，
所以y＝x的图像向右平移3个单位得到y＝x－3，
即y＝23－x的图像．
(3)y＝a－|x|＝|x|，易知函数为偶函数，∵0＜a＜1，∴＞1，故当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.]
一、知识总结
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
3．解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图像求解．
二、方法归纳
数形结合法、换元法．
三、常见误区
1．在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax＞0.
2．研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a＞1还是0＜a＜1.
1．下列函数中一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2
C．y＝3－x
D．y＝－2·3x
C [只有y＝3－x＝x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．]
2．函数y＝(－1)x在R上是( )
A．增函数
B．奇函数
C．偶函数
D．减函数
D [∵0＜－1＜1，∴函数y＝(－1)x在R上是减函数．]
3．不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1－2恒过点( )
A．(－1，－1)
B．(－1,0)
C．(0，－1)
D．(－1，－3)
A [令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)＝ax＋1－2的图像恒过点(－1，－1)．]
4．已知a＝23.5，b＝22.5，c＝33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列________．
b＜a＜c [由指数函数y＝2x知，因为2.5＜3.5，
所以22.5＜23.5，
即b＜a，又c＝33.5＞a＝23.5，
故b＜a＜c.]
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1课时分层作业(二) 指数函数的性质与图像
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列各函数中是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x
B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝x
D [根据指数函数的定义，y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D项正确．]
2．若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在( )
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
A [因为a＞1，且－1＜b＜0，故其图像如图所示．
]
3．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a＞0
B．a＜1
C．0＜a＜1
D．a≠0
C [由ax－1≥0，得ax≥a0.
∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a＜1.]
4．若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0且a≠1
C [由题意，得
解得a＝2，故选C.]
5．函数y＝x2＋2x－1的值域是( )
A．(－∞，4)
B．(0，＋∞)
C．(0,4]
D．[4，＋∞)
C [设t＝x2＋2x－1，则y＝t.
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝t为关于t的减函数，
所以0故所求函数的值域为(0,4]．]
二、填空题
6．已知函数f(x)为指数函数，且f
＝，则f(－2)＝________.
[设f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，
∴＝a＝，
∴＝，∴a＝3.
∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝.]
7．已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________．
(0,1) [由函数的定义，得1＜2x＜2?0＜x＜1.所以y＝f(2x)的定义域为(0,1)．]
8．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.
[∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，
①
得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，
②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，
∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.]
三、解答题
9．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图像；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图像如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，函数y＝ax与y＝x的图像关于y轴对称．
10．设函数f(x)＝－.
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
[解] (1)证明：由题意，得x∈R，即函数的定义域关于原点对称，
f(－x)＝－＝－＝
＝＝－＋＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＝.
∵x1又∵2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(2)＝.
∴函数f(x)在[1,2]上的值域为.
11．定义一种运算：g⊙h＝已知函数f(x)＝2x⊙1，那么函数y＝f(x－1)的大致图像是( )
A
B C D
B [f(x)＝
∴f(x－1)＝
∴其图像为B项，故选B.]
12．(多选题)关于函数f(x)＝的说法中，正确的是( )
A．偶函数
B．奇函数
C．在(0，＋∞)上是增函数
D．在(0，＋∞)上是减函数
BC [f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，当x增大时，ex－e－x增大，故f(x)增大，故f(x)为增函数．]
13．(一题两空)设函数f(x)＝则f(－4)＝________，若f(x0)＞1，则x0的取值范围是________．
15 (－∞，－1)∪(1，＋∞) [f(－4)＝24－1＝15；
由题意得或
由得x0＜－1，
由得x0＞1，
综上所述，x0的范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
14．若函数y＝0.5|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
[－1,0) [因为函数y＝0.5|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，所以就是求函数m＝－0.5|1－x|的值域问题．
m＝－0.5|1－x|的值域为[－1,0)．
故实数m的取值范围是[－1,0)．]
15．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．
(1)求3a的值及函数g(x)的解析式；
(2)试判断函数g(x)的单调性；
(3)若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
[解] (1)f(a＋2)＝3a＋2＝32·3a＝18，
所以3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x.
(2)g(x)＝2x－4x＝－(2x)2＋2x，
令2x＝t∈，
所以g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－2＋在t∈上单调递减，又t＝2x为单调递增函数，所以g(x)在x∈[－1,1]上单调递减．
(3)由(2)知g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－2＋
在t∈上单调递减，
所以g(x)∈，
即m∈.
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