课时分层作业(一) 平面向量的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
D [根据向量的有关概念易判断，D项错误．]
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B [①正确．②错误．|a|＝0，则a＝0.③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．]
3．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆
B．一段弧
C．线段
D．直线
A [平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．]
4.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有( )
A．12个
B．18个
C．24个
D．36个
C [每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．]
5.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
B [向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．]
二、填空题
6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为________．
1 [因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.]
7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且||＝2||＝2时，||＝________.
3或1 [当与同向时，||＝||＋||＝3；
当与反向时，||＝||－||＝1.]
8．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．
③ [①错误，|a|＝时，|a|＜|b|；②错误，a与b的方向关系无法确定；③正确；④错误，|b|＝1.]
三、解答题
9.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
[解] (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2
000
km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2
000
km到达C地，再从C地按西南方向飞行1
000
km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
[解] 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2
000
km.
又∠ACD＝45°，CD＝1
000
km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1
000
km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1
000
km，方向为东南方向.
11．(多选题)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是
( )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．(A∩B)?{a}
ACD [因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误．]
12．(多选题)四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是( )
A．||＝||
B．与共线
C．与共线
D．与共线
ABD [∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线．又三点D，C，E共线，∴与共线，故A，B，D都正确．故选ABD．]
13.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
12 [根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．]
14．(一题两空)如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则||＝________.
(1)， (2)6 [(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，.(2)因为||＝3，||＝2||，所以||＝6.]
15．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
[解] (1)与向量共线的向量有，，.
(2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，因为E，F分别是CD，AB的中点，
所以ED∥BF且ED＝BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故＝.
5/56.1 平面向量的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
1．从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养．2．类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养．3．通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养.
高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”.
方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远．
问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？
1．向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
2．向量的几何表示
(1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量可以用有向线段来表示．向量的大小称为向量
的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，.
思考：(1)向量可以比较大小吗？
(2)有向线段就是向量吗？
[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
3．向量的有关概念
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量．向量a，b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量．向量a与b相等，记作a＝b
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)长度为0的向量都是零向量．
( )
(2)零向量的方向都是相同的．
( )
(3)单位向量的长度都相等．
( )
(4)单位向量都是同方向.
( )
(5)任意向量与零向量都共线．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B [①②③不是向量，④⑤是向量．]
3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
[△ABC是以B为直角的直角三角形，所以||＝＝.]
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
(1)与；(2)与；
(3)与；(4)与.
(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
＝，≠，≠，＝.]
向量的有关概念
【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
[思路探究] 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
1．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
2．共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．
[跟进训练]
1．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
③ [①错误．若b＝0，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．]
向量的表示及应用
【例2】 (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
②，使||＝4，点B在点A正东；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
(1)12 [可以写出12个向量，分别是：，，，，，，，，，，，.]
(2)[解] ①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
1．向量的两种表示方法
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
2．两种向量表示方法的作用
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
[跟进训练]
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
[解] (1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．
相等向量和共线向量
[探究问题]
1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
2．若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
[提示] 分四种情况
(1)直线AB和直线CD重合，与同向；
(2)直线AB和直线CD重合，与反向；
(3)直线AB∥直线CD，与同向；
(4)直线AB∥直线CD，与反向．
【例3】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[思路探究] 根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．
[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
1．本例条件不变，写出与向量相等的向量．
[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与相等的向量有，，.
2．本例条件不变，写出与向量长度相等的共线向量．
[解] 与长度相等的共线向量有：，，，，，，.
3．在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
一、知识必备
1．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
二、方法必备
向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c?a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量．
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]
2．汽车以120
km/h的速度向西走了2
h，摩托车以45
km/h的速度向东北方向走了2
h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]
3.(多选题)下列条件，能使a∥b成立的有( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
ACD [若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.]
4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]
5．(一题两空)如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)与平行的向量有________；
(2)与模相等的向量有________．
[答案]
(1)，， (2)，，，，，，，，
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