长沙市长郡、雅礼、一中 2021届高三年上学期11月份联合编审名校卷 数学（Word含答案解析)

长郡、雅礼、一中、附中联合编审名校卷
2021届高三月考试卷二（全国卷）
数学（文科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝{x|x2-x-6＜0}，则A∩B＝
A．{-2，-1，0，1，2，3} B．{-2，-1，0，1，2}
C．{-1，0，1，2} D．{-2，-1，0，1}
2．若z(1+i)＝1-i，则z＝
A．1-i B．1+i C．-i D．i
3．在等比数列{an}中，已知anan+1＝9n，则该数列的公比是
A．-3 B．3 C．±3 D．9
4．已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据
A．一样稳定 B．变得比较稳定 C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断
5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为
A． B． C． D．
6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝
A．2 B． C．3 D．4
7．如图，在矩形ABCD中，，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是
A． B．1 C．2 D．
8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x+y的值是
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
9．已知函数，若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x-y+1＝0平行，则a＝
A． B． C．1 D．2
10．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为
A． B． C． D．
11．函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是
A．函数f(x)在上单调递增
B．函数f(x)的图象关于点成中心对称
C．函数f(x)的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称
D．若圆半径为，则函数f(x)的解析式为
12．若0＜a＜b＜c，且abc＝1，则下列结论正确的是
①2a+2b＞4 ②lg a+lg b＜0 ③a+c2＞2 ④a2+c＞2
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
二、填空题
13．若x，y满足约束条件则z＝x-2y的最大值为________．
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝23，Sn＝360，Sn-5＝183，则n＝________．
15．过双曲线的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为________．
16．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥平面ABCD，∠APD＝120°，AB＝PA＝PD＝2，则该四棱锥P-ABCD外接球的体积为________．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）求∠C；
（2）求△ABC周长的最大值．
18．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE．
19．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为，求的概率．
20．设函数f(x)＝aex+cos x，其中a∈R．
（1）若a＝1，证明：当x＞0时，f(x)＞2；
（2）若f(x)在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．
21．已知点P是圆Q：(x+2)2+y2＝32上任意一点，定点R(2，0)，线段PR的垂直平分线l与半径PQ相交于M点，当P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为Γ．
（1）求点M的轨迹Γ的方程；
（2）若点N在双曲线（顶点除外）上运动，过点N，R的直线与曲线Γ相交于A，B，过点N，Q的直线与曲线Γ相交于C，D，试探究|AB|+|CD|是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．
（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若射线与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．
23．选修4-5：不等式选讲：
已知函数f(x)＝|3x+2|．
（1）解不等式f(x)＜4-|x-1|；
（2）若a＞0且|x-a|-f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．
周练（六）
数学（文科）参考答案
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1．C
2．C 【解析】因为，所以选C．
3．B 【解析】由anan+1＝9n＞0，∴，∴q2＝9，故q＝3或q＝-3， 当q＝-3时，anan+1＜0不符合题意．故选B．
4．C 【解析】由题可得：平均值为2， 由，，所以变得不稳定．故选C．
5．C 【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示为，故选C．
6．C 【解析】设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有AA′＝AF，BB′＝BF，AA′+BB′＝2MM′，∵M到y轴距离为1，∴，∴AB＝AF+BF＝2MM′＝3．故选C．
7．D 【解析】据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A(0，0)，，，设F(x，2)；
∴，∴x＝1；∴F(1，2)，， ；∴．故选D．
8．D
9．A 【解析】函数的导数为，可得曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为k＝1-2a，由切线与直线2x-y+1＝0平行，可得1-2a＝2，解得．
10．A 【解析】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如右图所示：
其底面ABCD为一个底边长是和2的矩形，侧面PBC是边长为的正三角形，侧面ABP，ADP，CDP均是边长为2的等腰直角三角形，其表面积为
，故选A．
11．D 【解析】由图易得点C的横坐标为，所以f(x)的周期T＝π，所以ω＝2，又，所以，因此．函数f(x)的图象不关于点成中心对称．若圆半径为，则，∴，函数f(x)的解析式为
，故选D．
12．B 【解析】由题意0＜a＜b＜c且abc＝1，∴0＜a＜1，c＞1，0＜ab＜1，bc＞1． 2a+2b-4＝2a+2b-2abc-2abc＝2a(1-2bc)+2b(1-2ac)，∵0＜a＜b＜c，∴bc＞0，ac＞0，2bc＞1，2ac＞1，所以2a+2b-4＜0，所以①错． lg a+lg b＝lg ab＜0，②正确． ，所以a+c2＞2，③正确． 由题意，令b＝1，则，，令，(0＜a＜1)，则， 令f′(a)＝0，得，所以f(a)在(0，a0)上单调递减，在(a0，1)上单调递增， 所以f(a0)＜f(1)＝2，所以④错误．故选B．
二、填空题
13．-3 【解析】由x，y满足约束条件作出可行域如图，
化目标函数z＝x-2y为， 由图可知，当直线过点A(-1，1)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为-3．
14．18 【解析】由题意知S5＝a1+a2+a3+a4+a5＝23， Sn-Sn-5＝an+an-1+an-2+an-3+an-4＝360-183＝177， 两式相加可得：(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)＝23+177＝200， 所以a1+an＝40，，因此n＝18．
15． 【解析】过双曲线的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则，以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，可得：，∴c2-a2-2ac＝0，可得e2-2e-1＝0，解得，（舍去）．故答案为：．
16． 【解析】取AD的中点E，连接PE，△PAD中，∠APD＝120°，PA＝PD＝2，∴PE＝1，，设ABCD的中心为O′，球心为O，则，设O到平面ABCD的距离为d，则R2＝d2+22＝12+(1+d)2，∴d＝1，，∴四棱锥P-ABCD的外接球的体积为．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
17．【解析】（1）∵， 由正弦定理得：，∵sin A≠0，∴，即， 又0＜C＜π，∴，故，即；
（2）由（1）可知，， 在△ABC中，由余弦定理得a2+b2-2abcos C＝3， 即a2+b2-ab＝3，∴，∴，当且仅当a＝b时取等号，∴
，即△ABC周长的最大值为．
18．【解析】（1）因为BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，所以AE⊥BC， 又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF， 又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE， 又BE?平面BCE，所以AE⊥BE．
（2）取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点．
所以PN∥DC，且， 又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且， 所以PN∥AM，且PN＝AM， 故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP， 而AP?平面DAE，MN?平面DAE，所以MN∥平面DAE．
19．【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n＝2000．
则z＝2000-(100+300)-(150+450)-600＝400．
（2）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a＝2． 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车． 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个． 事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个． 故，即所求概率为．
（3）样本平均数． 设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0共6个， 所以，即所求概率为．
20．【解析】（1）f′(x)＝ex-sin x， 由x＞0，得ex＞1，sin x∈[-1，1]， 则f′(x)＝ex-sin x＞0，即f(x)在(0，+∞)上为增函数． 故f(x)＞f(0)＝2，即f(x)＞2．
（2）由f(x)＝aex+cos x＝0，得． 设函数，x∈[0，π]， 则
． 令h′(x)＝0，得． 则时，h′(x)＞0，时，h′(x)＜0， 所以h(x)在上单调递增，在上单调递减． 又因为h(0)＝-1，h(π)＝e-π，， 所以当时，方程在区间[0，π]内有两个不同解， 即所求实数a的取值范围为．
21．【解析】（1）依题意：|MP|＝|MR|， 且， 由椭圆定义知点M的轨迹为以R，Q为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆， 即：，c＝2，b＝2， 故Γ：．
（2）设N(x0，y0)，则，x0≠±2，∴直线NR，NQ的斜率都存在，分别设为k1，k2， 则， 将直线NR的方程y＝k1(x-2)代入
得， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
，∴， 同理可得
，∴
．
22．【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数可得普通方程：y+x＝4(x≠0)． 曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ．即ρ2＝2ρsin θ，可得普通方程：x2+y2＝2y．
（2）射线，即y＝x(x＞0)． 联立解得 联立解得 与直线l和曲线C分别交于A(2，2)，B(1，1)， ．
23．【解析】（1）函数f(x)＝|3x+2|，∴不等式f(x)＜4-|x-1|化为|3x+2|+|x-1|＜4， 当时，不等式化为-3x-2-x+1＜4，解得； 当时，3x+2-x+1＜4，解得； 当x＞1时，3x+2+x-1＜4，无解； 综上，不等式的解集为；
（2）令g(x)＝|x-a|-f(x)， 则 当时，g(x)取得最大值为； 欲使不等式g(x)≤4恒成立，只需，解得； 又因为a＞0，所以，即a的取值范围是．