4.1 指数学案-学生版

根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N
，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN
，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
（1）
（2）
（3）
有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
例1利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值.
；
（2）
；
（3）；
（4）
.
例2求下列各式的值.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）；
（5）
；
（6）.
例3用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）。
举一反三：
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
（2）
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
例4.计算：（1）；
（2）.
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
例5.计算：
(1)；
(2)
(3)。
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)；(2).
例6.化简
举一反三：
【变式1】化简下列各式.
（1）；
（2）；
（3）.
例7．已知，求的值.
举一反三：
【变式】已知，求及的值．
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
一、单选题
1．()4运算的结果是（
）
A．2
B．－2
C．±2
D．不确定
2．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知x5＝6，则x等于（
）
A．
B．
C．－
D．±
4．下列运算中计算结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．对任意的正实数及，下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
8．化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．2
9．的值（
）
A．
B．
C．
D．
10．若a、b为实数,且a+b=2,
则3a+3b的最小值为（
）
A．18
B．6
C．2
D．2
二、多选题
11．下列运算结果中，一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
E.
13．下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是(
)
A．和
B．和
C．和
D．和
E.和
三、填空题
14．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
15．化简：－＝________.
16．若，则________.
17．_________
18．化简________.
19.若，则化简________.
20．在①、②、③④中，最大的数是_______；最小的数值_______（填序号）.
21．计算：___________．若，，则___________．
五、解答题
22．已知，，求的值.
23.将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）
(a>0)；
（2）；（3）(b>0).
24．已知，求下列各式的值：
（1）.（2）.（3）.
1．的值（
）
A．
B．
C．
D．
2．计算的结果为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．若，则(　　)
A．
B．1
C．
D．
4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A．4
B．2或－2
C．－2
D．2
5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)
A.
B．
C．1
D．
6（多选）下列运算结果中，一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7.(多选）下列各式中一定成立的有（
）
A．
B．
C．
D．
8.当时，_______________.
9.设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
10.已知，则______；当时，化简______.
11.化简：________.
12.将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）
(a>0)；
（2）；（3）(b>0).
13.计算下列各式：
（1）.
（2）.
（3）.
14.已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.
15.已知.
（1）求（且）的值；
（2）求的值.
例1利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值.
；
（2）
；
（3）；
（4）
.
【答案】（1）2；（2）27；（3）27；（4）
例2求下列各式的值.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）；
（5）
；
（6）.
【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）；（5）2；（6）
例3用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。
（1）
（2）；
（3）；
（4）=====
举一反三：
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）==
例4.计算：（1）；
（2）.
【解析】（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
【答案】（1）；
例5.计算：
(1)；
(2)
(3)。
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)；　　(2).
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
例6.化简
【解析】原式
.
举一反三：
【变式1】化简下列各式.
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）原式；
（2）
（3）
例7．已知，求的值.
【解析】，，
，
=
=
举一反三：
【变式】已知，求及的值．
【解析】∵
，∴
x＞0，
则，
则，
∵
，
则，
∴
，
∴
．
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
一、单选题
1．()4运算的结果是（
）
A．2
B．－2
C．±2
D．不确定
【答案】A
【解析】
由指数运算法则，容易得：()4=2.
故选：A.
2．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由指数幂的运算性质，可得：
对于A中，式子中，实数的取值为，所以总有意义；
对于B中，式子中，实数的取值为，所以总有意义；
对于C中，式子中，实数的取值为，所以可能没有意义；
对于D中式子中，实数的取值为，所以总有意义.
故选：C.
3．已知x5＝6，则x等于（
）
A．
B．
C．－
D．±
【答案】B
【解析】
因为，故可得.
故选：B.
4．下列运算中计算结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
根据指数幂的乘法法则可知，故A选项错误；
根据指数幂的除法法则可知，故B选项错误；
根据指数幂的乘方法则可知，故C选项错误，
根据指数幂的运算，故正确.
故选：D
5．对任意的正实数及，下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
根据指数的运算性质排除ABC.
故选:D
6．化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
原式.
故选：A
7．已知，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
当时，，，此时；
当时，，，此时.
，因此，.
故选：C.
8．化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】
原式.
故选：C
9．的值（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
原式.
故选：C.
10．若a、b为实数,且a+b=2,
则3a+3b的最小值为（
）
A．18
B．6
C．2
D．2
【答案】B
【解析】
因为,由基本不等式有,当且仅当时取等号.
故选：B
二、多选题
11．下列运算结果中，一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】
，故A正确；
当时，显然不成立，故B不正确；
，故C不正确；，D正确，
故选AD.
12．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】CE
【解析】
A错，，而；
B错，；
C正确，；
D错，；
E正确，.
故选：CE.
13．下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是(
)
A．和
B．和
C．和
D．和
E.和
【答案】CE
【解析】
A不符合题意，和均符合分数指数幂的定义，但，；
B不符合题意，0的负分数指数幂没有意义；
C符合题意，；
D不符合题意，和均符合分数指数幂的定义，但，；
E符合题意，.
故选：CE.
三、填空题
14．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
【答案】
【解析】
∵，∴.
故答案为：.
15．化简：－＝________.
【答案】
【解析】
原式＝.
故答案为：
16．若，则________.
【答案】
【解析】
因为，
所以，
所以.
故答案为：.
17．_________【答案】
18．化简________.
19.若，则化简________.
【答案】
当时，
；当时，.
【解析】
（1）由有意义，可得，即，
所以.
（2）由，
因为，
当时，原式；
当时，原式.
20．在①、②、③④中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）.
【答案】③.
①.
【解析】
①；②；③；④.
所以最大的是③，最小的是①.
故答案为：(1).
③.
(2).
①.
21．计算：___________．若，，则________________．
【答案】0
【解析】
①；
②
故答案为：0，
五、解答题
22．已知，，求的值.
【答案】
【解析】
原式.
23.将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）
(a>0)；
（2）；
（3）(b>0).
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）原式＝
＝＝＝.
（2）原式＝＝＝
＝＝＝.
（3）原式＝[]＝＝.
24．已知，求下列各式的值：
（1）.
（2）.
（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）3.
【解析】
（1）将两边平方，得，即.
（2）将上式两边平方，可得，∴.
（3）∵
，
而，
∴原式.
1．的值（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】原式.故选：C.
2．计算的结果为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，故选：C
3．若，则(　　)
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，.故选：C.
4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A．4
B．2或－2
C．－2
D．2
【答案】D
【解析】设ab－a－b＝t.
∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1.∴t＝ab－a－b>0.
则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4.∴t＝2.
5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)
A.
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝.
6（多选）下列运算结果中，一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】，故A正确；当时，显然不成立，故B不正确；
，故C不正确；，D正确，故选AD.
7.(多选）下列各式中一定成立的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】，错误；，正确；
，错误；，正确
故选：
8.当时，_______________.
【答案】
【解析】根据指数运算公式：，因为，
所以原式=.故答案为：.
9.设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
【答案】
【解析】∵，∴.
故答案为：.
10.已知，则______；当时，化简______.
【答案】；
.
【解析】
，
故答案为：；
11.化简：________.
12.【答案】
【解析】原式
.
12.将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1）
(a>0)；
（2）；
（3）(b>0).
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式＝
＝＝＝.
（2）原式＝＝＝
＝＝＝.
原式＝[]＝＝.
13.计算下列各式：
（1）.
（2）.
（3）.
【答案】（1）；（2）100；（3）.
【解析】
（1）原式.
（2）原式
.
（3）原式
.
14.已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.
【答案】－.
【解析】＝＝.①
∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，
∴a＋b＝12，ab＝9，②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6.③
将②③代入①，得＝＝－.
15.已知.
（1）求（且）的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），；
（2）原式.