4.4.1 对数函数的概念学案

对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)
2.对数函数的图像和性质
定义
形如（且）的函数叫做对数函数
定义域
值域
图像
性质
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
上是减函数
范围
当时，；
当时，
当时，；
当时，
定点
题型一
对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.
例1
指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
题型二　对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2　求下列函数的定义域.
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；(2)y＝log2(16－4x).
[跟踪训练]2
求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．
题型三　比较对数值的大小
例3
比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).
[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1B.log2.1>log2.2
C.log1.1(a＋1)D.log32.9题型四
对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.
例4　画出函数y＝lg|x－1|的图象.
例5
（1）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)
(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[跟踪训练]
3
（1）
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　　)
(2)y＝loga＋2图象恒过定点坐标是________．
例6.已知函数y=lg（ax2+2ax+1）：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．
（1）对数函数图像必经过第一、四象限，在第一象限的规律是：
以直线把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，，，，对应，，，，则；
（2）与关于轴对称；
（3）轴是渐进线，即图像向上、下无限延伸；
1.思考辨析
1．下列函数中，是对数函数的是(　　)
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝log5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x　　　　
B．y＝log3x
C．y＝x
D．y＝x
3.函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为(　　)
A.[－1,3)
B.(－1,3)
C.(－1,3]
D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
6.图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
7.设则（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
8．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x
D．f(x)＝elnx
9．如果函数y＝log2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝____.
10．函数y＝(3x－2)的定义域是____.
11.已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
12.已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是_______．
13．函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝___.
14.．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．
15．已知f(x)＝lg，x∈(－1,1)，若f(a)＝，求f(－a)．
16．求下列各式中x的取值范围：
（1）；（2）；（3）.
17.比较下列各组值的大小：
(1)，；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.
18..已知函数f(x)＝(1)求f?的值；(2)若f(a)＝，求a的值.
19.若函数的定义域为一切实数，求实数的取值范围．
1．下列函数中，是对数函数的是(　　)
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝log5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为(　
　)
A．y＝log2x　　　　
B．y＝log3x
C．y＝x
D．y＝x
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是(　
　)
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
4．y＝2x与y＝log2x的图象关于(　
　)
A．x轴对称
B．直线y＝x对称
C．原点对称
D．y轴对称
5．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　
D　)
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
6.函数y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点(　
　)
A(1,2)
B
(2,2)
C
(2,3)
D
(,2)
7.
如果函数y＝log2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝
.
8.设ln
b>ln
a>ln
c,则a,b,c的大小关系为
.
9.若函数f(x)＝logax(010.下列给出的函数:①y=log5x+1;
②y=logax2(a>0,且a≠1);③y=lox;
④y=log3x;⑤y=logx(x>0,且x≠1);
⑥y=lox.其中是对数函数的为(　
　)
A③④⑤
B②④⑥
C①③⑤⑥
D③⑥
11.已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2　　
B．2
C．
D．－
12．函数y＝＋lg(2x＋1)的定义域(　　)
A．(，3]
B．(，3)
C．(－，3]
D．(－，3)
13.已知函数f(x)=ln
x,g(x)=lg
x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(　　)
A.
x2B.
x1C.
x1D.
x314.函数y=log2|x|的图象大致是(　
　)
15.若loga＜1，则a的取值范围为
.
16.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)logax,则f(9)=　
.
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(3x－1)5；(3)y＝.
18.比较下列各组数的大小；
(1)log0.90.8，log0.90.7，log0.80.9；
(2)log32，log23，log4.
题型一
对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.
例1
指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.
(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
（1）
y＝log2x
[解析]　设对数函数为y＝logax，则4＝loga16，∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝log2x.
（2）A
[解析]　设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，
∴a2＝4，∴a＝2.
∴该对数函数的解析式为y＝log2x.
题型二　对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2　求下列函数的定义域.
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x).
解　(1)由得－3∴函数的定义域是(－3,3).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2).
[跟踪训练]2
求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．
(1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由解得(3)由解得(4)由解得－1题型三　比较对数值的大小
例3
比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).
解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1B.log2.1>log2.2
C.log1.1(a＋1)D.log32.9对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
题型四
对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.
例4　画出函数y＝lg|x－1|的图象.
解　(1)先画出函数y＝lg
x的图象(如图).
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).
例5
（1）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)
(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
（1）　C
(2)(0，－2)
因为函数y＝logax
(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[跟踪训练]
3
（1）
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　　)
(2)y＝loga＋2图象恒过定点坐标是________．
(1)
B
若01，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
(2)(－2,2)
[解析]　令＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y＝loga＋2过定点(－2,2)．
例6.已知函数y=lg（ax2+2ax+1）：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．
【分析】（1）由于函数的定义域为R，可得ax2+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立，当a≠0时，应有a＞0且△=4a2﹣4a＜0，由此求得a的取值范围．
（2）若函数的值域为R，则ax2+2ax+1能取遍所有的正整数，故有
a＞0且△=4a2﹣4a≥0，由此求得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax2+2ax+1＞0恒成立．当a=0时，显然成立．
当a≠0时，应有a＞0且△=4a2﹣4a＜0，解得
a＜1．
故a的取值范围为[0，1）．
（2）若函数的值域为R，则ax2+2ax+1能取遍所有的正整数，∴a＞0且△=4a2﹣4a≥0．
解得
a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）．
（1）对数函数图像必经过第一、四象限，在第一象限的规律是：
以直线把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，，，，对应，，，，则；
（2）与关于轴对称；
（3）轴是渐进线，即图像向上、下无限延伸；
1.思考辨析
1．下列函数中，是对数函数的是(　D　)
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝log5x
[解析]　A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为(　B　)
A．y＝log2x　　　　
B．y＝log3x
C．y＝x
D．y＝x
[解析]　设对数函数为y＝logax，则2＝loga9，
∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝log3x，故选B．
3.函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为(　　)C
A.[－1,3)
B.(－1,3)
C.(－1,3]
D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于(　　)C
A.0
B.1
C.2
D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)C
6.图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】A
【解析】
由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，
故，，，的值依次为，，，，
故选：．
7.设则（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
【答案】A
【解析】
，
.
故选：A.
8．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　C　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x
D．f(x)＝elnx
[解析]　∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，
∴f(x)＝log2x满足题目要求．
9．如果函数y＝log2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝__2__.
[解析]　将A(4，y0)代入y＝log2x得log24＝y0，∴y0＝2.
10．函数y＝(3x－2)的定义域是__(，＋∞)__.
[解析]　由3x－2>0得x>，所以函数的定义域为(，＋∞)．
11.已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(4，－1)
[解析]　y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
12.已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是__(－2,2)__.
[解析]　由题意知x2＋ax＋1>0恒成立，所以Δ＝a2－4<0，即－213．函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝____.
[解析]　由题图可求得直线的方程为y＝2x＋2，即a＝2，b＝2，又函数y＝logc的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
14.．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．
[解析]　∵f(x)是对数函数，∴，
解得m＝2.
∴f(x)＝log3x，∴f(27)＝log327＝3.
15．已知f(x)＝lg，x∈(－1,1)，若f(a)＝，求f(－a)．
[解析]　解法一：∵f(－x)＝lg＝lg()－1＝－f(x)，∴f(－a)＝－f(a)＝－.
解法二：f(a)＝lg，
f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－.
16．求下列各式中x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）.
（1）,,解得：或，
的取值范围是.
（2）
，解得：，
的取值范围是.
（3）
，解得：，
的取值范围是.
17.比较下列各组值的大小：
(1)，；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
18..已知函数f(x)＝(1)求f?的值；(2)若f(a)＝，求a的值.
解　(1)∵f?＝log3＝－3，∴f?＝f(－3)＝2－3＝.
(2)当a>0时，由f(a)＝，得log3a＝.∴a＝＝.
当a≤0时，由f(a)＝，得2a＝，∴a＝－1，
综上所述a的值为－1或.
19.若函数的定义域为一切实数，求实数的取值范围．
解析：因为函数的定义域为一切，
等价于，对任意的实数恒成立.
当时，，符合条件.
当时，.
综上.
故答案为：
1．下列函数中，是对数函数的是(　　)
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝log5x
2．已知对数函数的图象过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为(　
　)
A．y＝log2x　　　　
B．y＝log3x
C．y＝x
D．y＝x
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是(　
　)
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
4．y＝2x与y＝log2x的图象关于(　
　)
A．x轴对称
B．直线y＝x对称
C．原点对称
D．y轴对称
5．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　
D　)
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
6.函数y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点(　
　)
A(1,2)
B
(2,2)
C
(2,3)
D
(,2)
7.
如果函数y＝log2x的图象经过点A(4，y0)，那么y0＝
.
8.设ln
b>ln
a>ln
c,则a,b,c的大小关系为
.
9.若函数f(x)＝logax(010.下列给出的函数:①y=log5x+1;
②y=logax2(a>0,且a≠1);③y=lox;
④y=log3x;⑤y=logx(x>0,且x≠1);
⑥y=lox.其中是对数函数的为(　
　)
A③④⑤
B②④⑥
C①③⑤⑥
D③⑥
11.已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2　　
B．2
C．
D．－
12．函数y＝＋lg(2x＋1)的定义域(　　)
A．(，3]
B．(，3)
C．(－，3]
D．(－，3)
13.已知函数f(x)=ln
x,g(x)=lg
x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(　　)
A.
x2B.
x1C.
x1D.
x314.函数y=log2|x|的图象大致是(　
　)
15.若loga＜1，则a的取值范围为
.
16.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)logax,则f(9)=　
.
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log(3x－1)5；
(3)y＝.
18.比较下列各组数的大小；
(1)log0.90.8，log0.90.7，log0.80.9；
(2)log32，log23，log4.
【参考答案】
1.
D
[解析]
A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2.
B
[解析]设对数函数为y＝logax，则2＝loga9，∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝log3x，故选B．
3.
D
[解析]由1－x>0得x<1，故选D．
4.
B
解析]函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．
5.
D
解析]
a＝log32log22＝1，由对数函数的性质知log526.
A
解析:令3x-2=1,得x=1,又loga(3×1-2)+2=2,故定点为(1,2),选A.
7.
2
[解析]　将A(4，y0)代入y＝log2x得log24＝y0，∴y0＝2.
8.
b>a>c
解析:由对数函数的图象与性质可知,函数y=ln
x在(0,+∞)上为单调递增函数,因为ln
b>ln
a>ln
c,所以b>a>c.
9.[解析]　由题意得f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝.
10.
D
解析:①②④不满足对数函数解析式特征,⑤中真数是常数,故只有③⑥是对数函数.选D.
11.
B
[解析]　由题意得3＝loga8，∴a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.
12.
D
[解析]　由题意得，∴－13.A
解析:令a=-1,得ln
x1=-1,lg
x2=-1,log3x3=-1,故x1=,x2=,x3=,则x1>x3>x2.选A.
14.
A
解析:函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x,故选A.
15.
0＜a＜或a＞1
解析　loga＜1即loga＜logaa，当a＞1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga＜logaa总成立；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，由loga＜logaa，得a＜，故0＜a＜.
故a的取值范围为0＜a＜或a＞1.
解析:由对数函数定义知故a=3或a=-1(舍去),则f(x)=log3x,故f(9)=log39=2.
17　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，
所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需
解得x>，且x≠，
所以函数y＝log(3x－1)5的定义域是.
(3)要使函数式有意义，需
解得x<4，且x≠3，
所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
18.(1)log0.80.9＜log0.90.8＜log0.90.7;(2)log4＜log32＜log23
【解析】(1)因为y＝log0.9x在(0，＋∞)上是减函数，且0.9＞0.8＞0.7，所以1＜log0.90.8＜log0.90.7.
又因为log0.80.9＜log0.80.8＝1，所以log0.80.9＜log0.90.8＜log0.90.7.
(2)由log31＜log32＜log33，得0＜log32＜1.
又因为log23＞log22＝1，log4＜log41＝0，所以log4＜log32＜log23.