北京市朝阳区2021届高三上学期期中考试数学试卷 PDF版缺答案

北京市朝阳区 2020~2021 学年度第一学期期中质量检测
高三数学试卷 2020.11
（考试时间 120分钟 满分 150分）
本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .
第一部分 （选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（ 1） 已知集合 ， ，则
（ A） （ B） （ C） （ D）
（ 2） 已知 ， ，则
（ A） （ B） （ C） （ D）
（ 3） 已知 ，则
（ A） （ B） （ C） （ D）
（ 4） 如图 ， 在 中 ， 是 的 中点 ． 若 ， ， 则
（ A） （ B）
（ C） （ D）
（ 5） “ ” 是 “ ” 的
（ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件
（ C） 充 分必 要条件 （ D） 既不充分也不必要 条件
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（ 6） 已知函数 （ ） 的图象与直线 的 相邻 两个交点 间 的距离等于 ，
则 的 图象 的 一条对称轴是
（ A） （ B） （ C） （ D）
（ 7） 在 中， ， ， 且 ，则
（ A） （ B） （ C） （ D）
（ 8） 已知 是 定义在 上的偶函数， 且 当 时， ，则
（ A） （ B） （ C） （ D）
（ 9） 已知函数 若存在实数 ， 使得 成立 ，则 实数 的取值
范围 是
（ A） （ B）
（ C） （ D）
（ 10） 已知 奇函数 的定义域为 ，且 是 的 导函数 ． 若 对 任意 ， 都 有
，则满足 的 的取值范围是
（ A） （ B）
（ C） （ D）
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第二部分 （非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
（ 11） 已知向量 ， ，若 ，则 实数 ________．
（ 12） 已知 ， ， ，则 的最小值为 ________， 此时 的 值 为 ________．
（ 13） 在一 个房间 使用 某种 消毒剂 后 ， 该消毒剂 中的 某种 药物 含 量 （ mg/m3） 随 时间 （ h） 变化 的规律
可表示为 （ ），如图 所示， 则 ________；
实验表明， 当 房间中 该 药物含量 不超过 0.75 mg/m3时 对人体无害 ， 为了
不使人体受到 该 药物 的 伤害， 则 使用该消毒剂对 这个 房间进行消毒后至
少经过 ________小时 方可进入 ．
（ 14） 设 是公差为 的等差数列， 为其前 项和 ． 能说明 “若 ，则 数列 为递增数列 ” 是
假命题的一组 和 的值 为 ________．
（ 15） 公元前 2世纪的古希腊天文学家 和数学家希帕 科 斯是 三角学 的 创立者 之一， 他 因 天文观测的 需要编
制 了 有关三角比率的 表 格 ． 后人 推测希帕科斯 在 编制表格的过程中 本质上 使用了公式
． 如图是 希帕科斯 推导 此 公式时使用的几何图形 ， 已知点 在以线段 为直
径的圆 上， 为弧 的中点，点 在线段 上且 ， 点
为 的中点 ． 设 ， ． 给出下列四个结论：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中 ， 正确 结论 的 序号 是 ________．
注： 本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0分，其他得 3
分。
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三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（ 16） （本小题 13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 及 的最小正周期；
（Ⅱ）若 ，求 的 值域 ．
（ 17）（本小题 13分）
已知 是等差数列， 是 各项都为正数的 等比数列， ，再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③
这三个条件中选择 两个 ． ． 作为已知 ．
（Ⅰ） 求数列 的通项公式；
（ Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
条件 ① ： ；条件 ② ： ；条件 ③ ： ．
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（ 18）（本小题 14分）
在 中， ， ．
（Ⅰ） 若 ，
（ ⅰ ）求 ；
（ ⅱ ） 设 是边 上一点， 且 ，求 ；
（Ⅱ） 若 是 的内角平分线，求 的取值范围．
（ 19） （本小题 15分）
已知函数 （ ） .
（Ⅰ） 当 时 ，求 函数 的极值 ；
（Ⅱ）若不等式 对任意 恒 成立， 求 的取值范围 ．
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（ 20）（本小题 15分）
已知函数 （ ， ） ．
（ Ⅰ ） 当 ， 时， 判断函数 在区间 内 的单调性；
（ Ⅱ ） 已知 曲线 在 点 处的切线方程为 ．
（ ⅰ ） 求 的解析式；
（ ⅱ ） 判断方程 在 区间 上 解 的个数，并 说明 理由 ．
（ 21）（本小题 15分）
已知 数列 是 无穷数列， 其 前 项和 为 ． 若对任意的正整数 ， 存在正整数 （ ）
使得 ，则称数列 是 “ S数列 ” ．
（Ⅰ） 若 （ ） ， 判断数列 是否 是 “ S数列 ”， 并 说明理由；
（Ⅱ） 设 无穷 数列 的 前 项和 （ ） ， 且 ， 证明 数列 不 是 “ S数列 ” ；
（ Ⅲ ） 证明： 对任意的 无穷 等差数列 ，存在两个 “ S数列 ” 和 ，使得 （ ）
成立．
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