江苏省南京市2021届高三上学期期中考试考前训练数学试卷 Word版含解析

江苏省南京市2021届期中考试考前训练
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数false （其中false是虚数单位），则false在复平面内对应点在（ ）．
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．已知集合false则false（ ）
false false false false
3．已知双曲线false的离心率为false，则双曲线false的渐近线方程为false　　false
A．false B．false C．false D．false
4．函数false的零点所在区间为false　　false
A．false B．false C．false D．false
5．函数false的部分图象大致为false　　false
A． B．
C． D．
6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有false　　false
A．36种 B．30种 C．24种 D．20种
7．知四边形false是边长为2的正方形，false为平面false内一点，则false的最小值为false　　false
A．false B．false C．false D．false
8．已知直线false与直线false相交于点false，点false是圆false上的动点，则false的最大值为false　　false
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：false如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是false　　false
A．女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大
C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小
10．已知函数false的图象关于直线false对称，则false　　false
A．函数false为奇函数
B．函数false在false，false上单调递増
C．若false，则false的最小值为false
D．函数false的图象向右平移false个单位长度得到函数false的图象
11．已知等比数列false的公比false，等差数列false的首项false，若false且false，则以下结论正确的有false　　false
A．false B．false C．false D．false
12．当false时，false恒成立，则整数false的取值可以是false　　false
A．false B．false C．0 D．1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．已知false锐角，且false，则false______．
14．曲线false在点false处的切线方程为________．
15．在三角形false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，false，false，false，点false是平面false内的一个动点，若false，则false面积的最大值是__________．
16．数列false的前false项和为false，false，false，false，则数列false的前false项和false_____．
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知△ABC中，为钝角，而且，，AB边上的高为．
（1）求的大小；
（2）求的值．
18．(本小题满分12分)
为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数（x）
10
20
30
40
50
60
70
80
愿意整体搬迁人数（y）
8
17
25
31
39
47
55
66
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程false（false保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数；
（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：false，false，false，false．
19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥false中，false为直角梯形，false，false，平面false平面false．false是以false为斜边的等腰直角三角形，false，false为false上一点，且false．
（1）证明：直线false平面false；
（2）求二面角false的余弦值．
20．(本小题满分12分)
记false是正项数列false的前false项和，false是false和false的等比中项.
（1）求数列false的通项公式；
（2）记false，求数列false的前false项和false.
21．(本小题满分12分)
已知false，false分别为椭圆false的左、右焦点，false为false上的动点，其中false到false的最短距离为1，且当△false的面积最大时，△false恰好为等边三角形．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆false的外切圆为false．
false求圆false的方程；
false在平面内是否存在定点false，使得以false为直径的圆与false相切，若存在求出定点false的坐标；若不存在，请说明理由
22．(本小题满分12分)
已知函数false，false，曲线false在点false，false（1）false处的切线在false轴上的截距为false．
（1）求false；
（2）讨论函数false和false的单调性；
（3）设false，false，求证：false．
江苏省南京市2021届期中考试考前训练
数学参考答案
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. D. 解析：false
2. A 解析∵false3. false解析：双曲线false的离心率为false，
可得：false，即false，
可得false，
则双曲线false的渐近线方程为：false．
故选：false．
4. false解析函数false是增函数并且是连续函数，
可得false，false（1）false．
false（1）false，
所以函数的零点在false，false．
故选：false．
5. false 解析函数false的定义域为false，
false，
false为偶函数，排除选项false；
当false时，false，当false时，false，排除选项false和false．
故选：false．
6false．.解析根据题意，依次分析四人的结账方式：
对于甲，只会用现金结账，有1种方式，
对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，
对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，
对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式，
则他们结账方式的组合有false种，
故选：false．
7. false解析：以false为原点，false、false所在的直线分别为false、false轴建立如图所示的平面直角坐标系，则false，false，false，false．
设false，则false，false，false，false，
falsefalse，false，falsefalse
false，当false，false时，false取得最小值，为false．
故选：false．
8. false解析：因为线false恒过定点false，直线false恒过定点false且false，故两直线的交点false在以false为直径的圆上，且圆的方程false，
要求false的最大值，转化为在false上找一点false，在false上找一点false，使false最大，
根据题意可得两圆的圆心距false，则false．
故选：false．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. false解析：false、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差false，故本选项符合题意；
false、男生身高的数据在false之间，女生身高数据在false之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；
false、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；
false、抽取的学生中，男生身高的数据在false之间，女生身高数据在false之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意．
故选：false．
10. false解析:false函数false的图象关于直线false对称，false，false；
false，false；false；
对于false，函数false，根据正弦函数的奇偶性，所以false因此函数false是奇函数，故false正确．
对于false，由于false，false，false，false，函数false在false，false上不单调，故false错误；
对于false，因为false，false又因为false，false的周期为false，所以则false的最小值为false，false正确；
对于false，函数false的图象向右平移false个单位长度得到函数false，故false错误．
故选：false．
11. false解析：数列false是公比false为false的等比数列，false是首项为12，公差设为false的等差数列，
则false，false，
false，故false正确；
false正负不确定，故false错误；
false正负不确定，false由false，不能求得false的符号，故false错误；
由false且false，则false，false，
可得等差数列false一定是递减数列，即false，
即有false，故false正确．
故选：false．
12. false 解析：由false，可得false，
令false，则false，
可令false，false，所以false在false递增，
因为false（1）false，所以false在false有且只有一个实根false，
于是false在false递减，在false，false递增，
所以false
因为false（3）false，false（4）false，
所以false，且false，
将false代入false可得false，false，
因为false在false递增，所以false，false，
即false，false，
因为false为整数，所以false， 故选：false．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13.false 解析：由false，得false，false是锐角，false，则false，故答案为false．
14. false 解析：∵曲线false，∴false，
将false带入曲线中可得false，带入导函数中可得false，
∴曲线false在点false处的切线方程为false，即false．

15. false 解析：∵false，false，false，∴由正弦定理false，可得false．又false，∴在三角形false中，令false，令false，
由余弦定理可得false，
∴false，（当且仅当false时等号成立）
∴false，∴false．故答案为false．
16. false 解析：false，false，false，
两式作差，得false，
化简得false，
检验：当false时，false，false，false，所以数列false是以2为首项，2为公比的等比数列；false，false，
令false，
false，
故填false．
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（1）由三角形面积可知false， ……………2分
false，又因为false是锐角，所以false． ………………5分
（2）由（1）可知
false，
所以false．………………………………7分
又因为false，……………9分
因此false．………………12分


18. 解：（1）由已知有false，false，false，
false，…………………………………………………………………4分
故变量y关于变量x的线性回归方程为y=0.80x，……………………………………5分
所以当x=2500时，y=2500×0.80=2000． ………………………………………… 6分
（2）由题意可知X的可能取值有1，2，3，4．……………………………………7分
false，false，
false，false． …………………………………11分
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P
false
false
false
false

E(X)=false． ……………………………………………12分
19. （1）证明：连接false交false于点false，连接false．
因为false，所以false与false相似．
所以false．
又false，所以false．
因为false平面false，false平面false，所以直线false平面false．
（2）解：平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
false，所以false平面false．
以false为坐标原点，false所在的方向分别为false轴、false轴的正方向，
与false均垂直的方向作为false轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系false．
则false，0，false，false，1，false，false，2，false，false，
false，2，false，false，1，false，false．
设平面false的一个法向量为false，false，false，
则false，令false，得false，false，false，
设平面false的一个法向量为false，false，false，
则false，令false，得false，false，false．
设二面角false的平面角的大小为false，
则false．
所以二面角false的余弦值为false．
20. （1）因为false是false和false的等比中项，
所以false①，当false时，false②，
由①false②得：false，
化简得false，即false或者false（舍去），
故false，数列false为等差数列，
因为false，解得false，
所以数列false是首项为false、公差为false的等差数列，false.
（2）因为false，
所以false.

21. 解：（1）由题意可得：false，面积最大时false为短轴的顶点，再由△false恰好为等边三角形，可得false，false，
解得：false，false，
所以椭圆的标准方程为：false；
（2）false由（1）得圆false的圆心坐标为false，半径为false，
所以圆false的方程为：false；
false解法一：假设存在满足条件的定点false，
由题意可知定点false必在false轴上，设false，false，false，则false，
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，
false，即false，false，false，
因为圆false与圆false相切，则false，
所以false，其中false，
两边平方并整理得：false，化简得false，
上式对任意false，false恒成立，
故false，解得false，
所以，当定点false恰好为椭圆的焦点时，符合题意．
解法二：存在满足条件的定点false，
由题意可知，当false为长轴的端点时，false即为切点，因此，定点false必在false轴上，设false，false，false，则false，
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，则false，
即false，false，false，
因为圆false与圆false相切，则false，
所以false，
整理得false，
设false，则false，
又因为false在椭圆false上，设false，false分别为椭圆的左右焦点，
false，
故false，false分别与false，false重合，
所以当定点false恰好为椭圆的false的焦点时，符合题意．
解法三：假设存在满足条件的定点false，由题意可知定点false必在false轴上，
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，则false，
因为圆false与圆false相切，则false，即false，
所以false，
设false为false关于原点对称点，则false恰好为△false的中位线，
所以false，
所以false，下同解法二；
解法四：假设存在满足条件的定点false，设false，false，false，则false
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，则false，即false，false，false，
因为圆false与圆false相切，则false，
所以false，
整理得false，
设false，因此false，下同解法一．

22. （1）对false求导，得false．
因此false．又因为false（1）false，
所以曲线false在点false，false（1）处的切线方程为false，
即false．
由题意，false．
显然false，适合上式．
令false，
求导得false，
因此false（a）为增函数：故false是唯一解．
（2）由（1）可知，false，false，
因为false，
所以false为减函数．
因为false，
所以false为增函数．
（3）证明：由false，false，易得false
由（2）可知，false在false上为减函数．
因此，当false时，false，即false．
令false，得false，即false．
因此，当false时，false．
所以false成立．
下面证明：false．
方法一：由（2）可知，false在false上为增函数．
因此，当false时，false，
即false．
因此false，
即false．
令false，得false，
即false．
当false时，false．
因为false，
所以false，所以false．
所以，当false时，false．
所以，当false时，false成立．
综上所述，当false时，false成立．
方法二：false时，因为false，
所以false．
下面用数学归纳法证明：false时，false．
①当false时，false．
而false，
因为false，所以false．可见false，不等式成立．
②假设当false时不等式成立，即false．
当false时，false．
因为false，false是增函数，
所以false．
要证false，只需证明false．
而false，
因为false，所以false．所以false．
可见，false时不等式成立．
由①②可知，当false时，false成立．