北京市第五十七中学2020-2021高二年级期中考试数学试题答案
一、选择题答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
A
C
D
B
A
D
C
B
二、填空题答案：
11、
12、
13、
①②③
14、
15、
36
16、解：（Ⅰ）
.
因为最小正周期为，所以.
所以.
由，，得.
所以函数的单调递增区间为[]，.
（Ⅱ）因为，所以，
所以.
所以函数在上的取值范围是[].
17、解：（1）在△
ABC中，由正弦定理,得
又因为，解得,
因为△
ABC为锐角三角形，所以
（2）在△
ABC中，由余弦定理
得
,即
解得c=1或c=2
当c=1时，因为,此时角B为钝角，不合题意，舍去
当c=2时，因为，且
所以△
ABC为锐角三角形，符合题意。
所以△
ABC的面积
18、证明：(I)
因为是正三角形，是中点，
所以,即………………1分
又因为，平面，………………2分
又，所以平面………………3分
又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，………………5分
在中，因为为中点，，所以
，所以，所以………………6分
在等腰直角三角形中，，，
所以，，所以………………8分
又平面，平面，所以平面………………9分
（Ⅲ）因为，
所以，分别以为轴,
轴,
轴建立如图的空间直角坐标系，
所以
由（Ⅱ）可知，
为平面的法向量………………10分
，
设平面的一个法向量为,
则，即，
令则平面的一个法向量为………………12分
设二面角的大小为，
则
所以二面角余弦值为………………14分
19、（1）证明：（Ⅰ）由已知，
因为为中点，所以．
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面．
又因为平面，所以．
………….5分
（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．
由已知易得．
由（Ⅰ）可知，平面，
所以，.
以为原点，所在直线分别为轴
建立空间直角坐标系（如图）．
因为，，
所以．
设平面的一个法向量为，
因为，
所以
即
取，得．
而.
所以直线与平面所成角的正弦值
……….10分
（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.
设，且，则，．
因为，所以，
所以，
所以，．
若平面，则.即.
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，
即，解得，
所以当时，平面．
……15分
20、设圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=R^2
(R>0)
令x=0,得y=b±√(R^2-a^2),由①得
[b+√(R^2-a^2)]-[b-√(R^2-a^2)]=2
所以R^2-a^2=1
..............(1)
令y=0,得x=a±√(R^2-b^2),在x轴截得的弦长为2√(R^2-b^2),
由②得在x轴所截得的弦对应的圆心角为90度
则2R^2=[2√(R^2-b^2)]^2
得R^2=2b^2,...............(2)
由③得|a-2b|/√5=√5/5
即|a-2b|=1.............(3)
解方程组得
a=1,b=1或a=-1,b=-1,R^2=2
所以圆的方程(x+1)^2+(y+1)^2=2或(x-1)^2+(y-1)^2=2
21、解:（Ⅰ）由已知
,故,所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心
.
…………………………3分
(Ⅱ)
当直线与轴垂直时,易知符合题意;
………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,
所以由,解得.
故直线的方程为或.
………………8分
(Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则
,故.
即.
………………10分
当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得
.则
,即,
.又由得,
则.
.
综上,的值为定值,且.
…………15分
另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于,
故△∽△.于是有.
由得
故
………………………15分
另解二:连结并延长交直线于点,连结由(Ⅰ)知又,
所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得
.
……………15分
5
/
5北京五十七中2020--2021第一学期高二数学期中考试
一．选择（本题10道小题，每题4分，共40分）
1、已知点，则线段的垂直平分线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
2、方程表示的圆的圆心和半径分别为
(
)
A．，2
B．，4
C．，2
D．，4
3、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（
）
A．至少与，中的一条相交
B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交
D．与，都不相交
4、已知向量，则其中共面的三个向量是（
）
A.
B.
C.
D.
5、由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
(
)
A.
B.
C.
D.
6、已知,
,
是三个不同的平面，且，，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7、若圆上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范围是(
)
A、（4，6）
B、[4，6）
C、（4，6]
D、[4，6]
8.
如图，角，均以为始边，
终边与单位圆分别交于点，，则=
A．
B．
C．
D．
9、以下命题中不正确的个数为（
）.
①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤.
A．2
B．3
C．4
D．5
10、如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点的位置是
（A）线段的三等分点，且靠近点
（B）线段的中点
（C）线段的三等分点，且靠近点
（D）线段的四等分点，且靠近点
二．填空题(共5道小题，每题5分，共25分)
11、已知直线与直线垂直，则的值为_____．
12、已知直线和直线互相平行，则的值为_____．
13、．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．
①在平面PAB内不存在直线与DC平行；
②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；
③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；
上述命题中正确命题的序号为 ．
14、直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为
15、如图，，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，则
.
三．解答题（共6个小题，85分）
16、（本题13分）已知函数（）的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.
17、（本题14分）在锐角△ABC
中，角
A，B
，C
所对的边分别为a，b
，c
，已知a
＝
，b
＝3，．
（Ⅰ）
求角A
的大小；
（Ⅱ）
求△ABC
的面积．
18．(本题14分)在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面;
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
19、（本题15分）如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面?
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20、(本题14分)
设圆满足下列三个条件：
①截y轴所得弦长为2；
②被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1；
③圆心到直线l:x－2y=0的距离为
求圆的方程．
21．（本小题满分15分）
如图,已知定圆，定直线，过的一条动直线
与直线相交于,与圆相交于两点，是中点.
（Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）设,试问是否为定值,
若为定值，请求出的值；若不为定值，
请说明理由.
草稿纸
第
6页
/共
6页
