人教版八年级上册数学教案：11.3.2多边形的内角和
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学教案：11.3.2多边形的内角和 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 104.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-07 17:46:56 | ||
图片预览
文档简介
课题
11．3．2
多边形的内角和
课时
1
教学目标
【知识与技能】了解多边形的内角、外角等概念．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
【过程与方法】通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题
【情感、态度与价值观】通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质
教学重点
（1）多边形的内角和公式．
（2）多边形的外角和公式．
教学难点
多边形的内角和定理的推导．
切入关键
引导学生将多边形如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和
教学方法
学、议、展、评、点、练、结、思．
教具准备
备用课件(ppt)
教学过程
学生学习
师生活动
创设情境
参与、思考：
活动1问题1：你还记得三角形内角和是多少吗？总结.三角形的内角和是180°.
问题2：任意一个四边形的内角和是多少？
引导学生画一任意凸四边形，借助量角器测量四边形的各个内角，并求四边形的内角和。以及一些特殊的四边形的内角和。
活动2问题：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？你是怎么得到的？
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？关注分割方法的多样性。
自学交流
阅读、寻找：
1．自学内容：课本第21～23页内容。
2．自学要求：1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于______．多边形外角和等于________.
学生自学本,找出各知识要点,看完后与同桌交流,在书上标记出疑惑问题,并熟记各知识要点,，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去
探究讨论
讨论、体会：
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．
分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．
展评明理6~8分钟
展评、提高：
知识点一：多边形的内角和定理
探究1：任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量、算一算．你能得出什么结论？
能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？结论：
。
探究2：从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：
（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．
（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．
探究3：一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）
知识点二：多边形的外角和
探究4：如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
问题：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？
多边形的外交和等于3600
点讲导学8~10分钟
倾听、顿悟：例题
例1
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．
解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，
∴∠B＋∠D=
360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
巩固提高9~10分钟
自信、成功：（注意学生语言表述和用词准确性指导与点拨）
（一）、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（
）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（
）
3．三角形的外角和与其他多边形的外角和相等．（
）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（
）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（
）
（二）、填空题．
1．内角和为1440°的多边形是
．
2．
内角和等于外角和的多边形是
边形．
3．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为
边形．
（三）．
课本第24页练习1、2、3。第24页习题7.3
2、3
(四)拓展探究
1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680°
，你能否求得正确结果呢？
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（
）
A、不变
B、增加
180°
C、减少
180°
D、无法确定
(五)课堂测试:选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（
）
A．互为余角
B．互为邻补角
C．两个角相等
D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（
）
A．九边形
B．十边形
C．十一边形
D．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（
）
A．6条
B．7条
C．8条
D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（
）
A．增加
B．减小
C．不变
D．不定
5．若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．7
6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（
）
A．五边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（
）
A．四边形
B，五边形
C．六边形
D．七边形
8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的内角和为（
）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1080°
填空题:
七边形的外角和是____；十二边形的外角和是__；三角形的外角和是____。
一个多边形的每一个外角都等于36°则这个多边形是_______边形。
在每个内角都相等的多边形中，若一个外角是它相邻内角的，则这个多边形是______边形。
一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数是__________；一个多边形的每一个内角都等于140°，则它的边数是___________。
如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，那么这三个内角的度数分别为________。
若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是___________。
当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加_________度。
正十边形的一个外角为______．
_______边形的内角和与外角和相等．
已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是__边形．
11.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。
归纳小结
1～2分钟
总结、反思：
n边形的内角和是多少度？
n边形的外角和是多少度？
通过本节课的学习，你在知识上有什么收获？你是通过什么方法学习了这些知识？
布置作业
学习、进步：
课本P25第4、5、6题．
板书设计
11.3.2
多边形及内角和
课后点评与反思
11．3．2
多边形的内角和
课时
1
教学目标
【知识与技能】了解多边形的内角、外角等概念．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
【过程与方法】通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题
【情感、态度与价值观】通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质
教学重点
（1）多边形的内角和公式．
（2）多边形的外角和公式．
教学难点
多边形的内角和定理的推导．
切入关键
引导学生将多边形如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和
教学方法
学、议、展、评、点、练、结、思．
教具准备
备用课件(ppt)
教学过程
学生学习
师生活动
创设情境
参与、思考：
活动1问题1：你还记得三角形内角和是多少吗？总结.三角形的内角和是180°.
问题2：任意一个四边形的内角和是多少？
引导学生画一任意凸四边形，借助量角器测量四边形的各个内角，并求四边形的内角和。以及一些特殊的四边形的内角和。
活动2问题：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？你是怎么得到的？
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？关注分割方法的多样性。
自学交流
阅读、寻找：
1．自学内容：课本第21～23页内容。
2．自学要求：1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于______．多边形外角和等于________.
学生自学本,找出各知识要点,看完后与同桌交流,在书上标记出疑惑问题,并熟记各知识要点,，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去
探究讨论
讨论、体会：
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．
分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．
展评明理6~8分钟
展评、提高：
知识点一：多边形的内角和定理
探究1：任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量、算一算．你能得出什么结论？
能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？结论：
。
探究2：从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：
（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．
（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．
探究3：一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）
知识点二：多边形的外角和
探究4：如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
问题：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？
多边形的外交和等于3600
点讲导学8~10分钟
倾听、顿悟：例题
例1
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．
解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，
∴∠B＋∠D=
360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
巩固提高9~10分钟
自信、成功：（注意学生语言表述和用词准确性指导与点拨）
（一）、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（
）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（
）
3．三角形的外角和与其他多边形的外角和相等．（
）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（
）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（
）
（二）、填空题．
1．内角和为1440°的多边形是
．
2．
内角和等于外角和的多边形是
边形．
3．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为
边形．
（三）．
课本第24页练习1、2、3。第24页习题7.3
2、3
(四)拓展探究
1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680°
，你能否求得正确结果呢？
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（
）
A、不变
B、增加
180°
C、减少
180°
D、无法确定
(五)课堂测试:选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（
）
A．互为余角
B．互为邻补角
C．两个角相等
D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（
）
A．九边形
B．十边形
C．十一边形
D．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（
）
A．6条
B．7条
C．8条
D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（
）
A．增加
B．减小
C．不变
D．不定
5．若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．7
6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（
）
A．五边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（
）
A．四边形
B，五边形
C．六边形
D．七边形
8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的内角和为（
）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1080°
填空题:
七边形的外角和是____；十二边形的外角和是__；三角形的外角和是____。
一个多边形的每一个外角都等于36°则这个多边形是_______边形。
在每个内角都相等的多边形中，若一个外角是它相邻内角的，则这个多边形是______边形。
一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数是__________；一个多边形的每一个内角都等于140°，则它的边数是___________。
如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，那么这三个内角的度数分别为________。
若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是___________。
当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加_________度。
正十边形的一个外角为______．
_______边形的内角和与外角和相等．
已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是__边形．
11.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。
归纳小结
1～2分钟
总结、反思：
n边形的内角和是多少度？
n边形的外角和是多少度？
通过本节课的学习，你在知识上有什么收获？你是通过什么方法学习了这些知识？
布置作业
学习、进步：
课本P25第4、5、6题．
板书设计
11.3.2
多边形及内角和
课后点评与反思