2020-2021学年度人教版八年级数学上册 11.2.1 三角形的内角课时练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度人教版八年级数学上册 11.2.1 三角形的内角课时练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 781.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-07 19:46:27 | ||
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文档简介
2020-2021学年度人教版八年级数学上册11.2.1三角形的内角课时练习
一、选择题
1．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．如图，已知false为false三边垂直平分线的交点，且false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．下列命题中：
①内错角相等；
②两点之间线段最短；
③直角三角形两锐角互余；
④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行．
属于真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在一个三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．如图，false，false，则false的度数是（ ）．
A．35° B．55° C．65° D．75°
6．在false中，false，点false在false边上，连接false，若false是直角三角形，则false的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
7．一副三角板如图摆放（直角顶点false重合），边false与false交于点false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知：如图，AB⊥CD于O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（ ）
A．互为对顶角 B．互补 C．互余 D．相等
9．如图，在Rt△ABC中，过顶点C作l∥AB，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（ ）
A．∠A+∠D﹣45° B．false（∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D） D．false∠A+false∠D
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，以此类推，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D，则∠BDC的度数是__．
12．如图，在false中，false度，false与false的平分线交于点false，则false______度；false与false的平分线交于点false，得false；…false与false的平分线交于点false，得false．则false______度．
13．在false中，false，若false，则false的度数是________．
14．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是_______．
15．已知在false中，false，false是false的高，false，则false_________．
16．△ABC 中，BD 是 AC 边上的高，∠A=30°，∠DBC=40°，则∠ABC=_____度．
17．在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C的度数是_____．
18．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2=40°，则∠1的度数是______．
19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝______．
20．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中false的度数是______．
三、解答题
21．如图，四边形false中，作点false，设false分别与false、false交于点false、false．若false平分false，且false，求证：false．
完成下面的证明过程：
证明：false （已知） ．
false（垂直的定义）．
false平分false （已知）
false （ ）
false （已知）
false （等量代换）
falsefalse （ ）
false false（两直线平行，内错角相等）
false（直角三角形的两个锐角互余）
同理由false，
可得false
false （ ）
又false （对顶角相等 ）
false（等量代换）
22．如图，false中，false，false，false是false边上的高，false平分false，false于点false，求false和false的度数．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
24．如图，EO⊥CO于点O，∠B=30°，∠E=40°，求∠OAD的度数．
25．如图所示，有一块直角三角板false（足够大），其中false，把直角三角板false放置在锐角false上，三角板false的两边false恰好分别经过false.
（1）若false，则false °，false °，
false °.
（2）若false则false °.
（3）请你猜想一下false与false所满足的数量关系 .
26．问题情景：如图1，在同一平面内，点false和点false分别位于一块直角三角板false的两条直角边false，false上，点false与点false在直线false的同侧，若点false在false内部，试问false，false与false的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若false，则false_________度，false________度，false_________度；
（2）类比探索：请猜想false与false的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点false的位置，使点false在false外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出false，false与false满足的数量关系式．
27．求出下列图形中的x的值：
28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
29．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．
30．如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD;
（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
如图，先根据三角板的各角的度数和平角可求出∠ACE，再根据三角形的内角和180°即可解答．
【详解】
∵∠ACB=60°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=180°-60°-45°=75°，
∵∠1=45°，
∴∠2=180°-45°-75°=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角板的角度计算、三角形的内角和定理，熟知三角板的各角度数，掌握三角形的内角和为180°是解答的关键．
2．B
【解析】
【分析】
延长AO交BC于D，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA，从而不难求得∠BOC的度数．
【详解】
延长AO交BC于D．
∵点O在AB的垂直平分线上．
∴AO=BO．
同理：AO=CO．
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA．
∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC）=2∠BAC．
∵∠A=50°．
∴∠BOC=100°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查：（1）线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质、直角三角形的性质判断即可．
【详解】
解：①两直线平行，内错角相等，本说法是假命题；
②两点之间线段最短，本说法是真命题；
③直角三角形两锐角互余，本说法是真命题；
④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行，本说法是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查证明与命题、平行线的性质及直角三角形的性质，关键是熟记概念进行判断．
4．A
【解析】
【分析】
在锐角三角形的外角中，有三个钝角；在直角三角形外角中，有两个钝角；在钝角三角形外角中，有两个钝角．综上可知，在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．
【详解】
解：根据三角形的内角和是180度可知：三角形的三个内角中最多可有3个锐角，
所以对应的在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
5．A
【解析】
【分析】
根据题意及三角形内角和可得∠D=∠A，故问题得解．
【详解】
解：false∠AOB=∠DOC，false，
falsefalse，
falsefalse，
falsefalse，
falsefalse；
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当false或false时，分别画出相应图形，结合三角形内角和180°解题即可.
【详解】
分两种情况讨论：
（1）如图1，当false时，
false
false；
（2）如图2，当false时，
false
false
false
综上所述，false的度数为60°或15°
故选：D
【点睛】
本题考查三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
7．A
【解析】
【分析】
由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含false角的直角三角形，故false，false，由平行线的性质可知false，由三角形内角和定理可求出false的度数．
【详解】
由题意知false，false，
∵false，
∴false，
在false中，
falsefalse，
故选A．
【点睛】
本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含false角的直角三角形．
8．C
【解析】
【分析】
根据垂线的定义得出∠BOD=90°；然后由平角的定义来求∠1与∠2的关系．
【详解】
解：∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°．
又∵EF为过点O的一条直线，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BOD＝90°，
即：∠1与∠2互余，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂线的定义、平角的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义和平角的定义是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
由三角形是直角三角形，得∠2+∠A=90?，而l∥AB ,可求∠A，再计算可求．
【详解】
∵l∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝25°，
∴∠A＝25°，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
故选择：D．
【点睛】
本题考查求角度问题，关键抓住直角三角形两锐角互余，两直线平行，内错角相等．
10．D
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和, ∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根据角平分线的定义可得false 再根据三角形的内角和定理可得false 然后整理即可得解；
【详解】
∵四边形的内角和=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，
∴false
∴
false
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）
false
false
故选D．
【点睛】
考查四边形的内角和，三角形的内角和以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
11．40°．
【解析】
【分析】
根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（false）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
【详解】
∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1＝false∠ABC，∠ACD1＝false∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2＝false∠ABD1＝false∠ABC，∠ACD2＝false∠ACD1＝false∠ACB，
同理可得∠ABD＝false∠ABC，∠ACD＝false∠ACB，
∴∠ABD+∠ACD＝160°×false＝20°，
∴∠BCD+∠CBD＝140°
∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝40°
故答案为40°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
12．falseβ， falseβ
【解析】
【分析】
已知∠A，求∠A1，利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，把∠ACD利用角平分线转成2∠A1CD，∠ABC转成2∠A1BC，消去∠A1BC，∠A1CD即可，再用类似的办法求∠A2，以此类推即可
【详解】
∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠A1CD，
∴∠AB A1=∠A1BC=false∠ABC，∠AC A1=∠A1CD=false∠ACD，
由三角形的外角得
∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC①
∴2∠A1CD=∠A+2∠A1BC②
把①代入②得∠A1=false∠A=falseβ
CA2平分∠A2CD，
∠A2C A1=∠A2CD=false∠A1CD，
由三角形的外角得
∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∴∠A2CD=∠A2+∠A2BC③
∴2∠A2CD=∠A1+2∠A2BC④
解得∠A2=false∠A1，
∠A2=false∠A1false∠A=falseβ=falseβ
同理
∠A3=false∠A2=false∠A=falseβ=falseβ
…
∠A2019= falseβ
故答案为：①falseβ，②falseβ
【点睛】
本题考查（第二内角的）外角平分线与（第一）内角平分线所夹的角问题，找到两平分线的夹角与第三个角的关系是解决问题关键
13．25°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和即可求解．
【详解】
∵在false中，false， false，
∴∠A=180°-∠C-∠B=25°
故答案为：25°．
【点睛】
此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．
14．false
【解析】
【分析】
由false、false是false的角平分线，∠BAC=80°，根据三角形内角和定理，可求得false，根据角平分线的定义，可得false，进而解答即可．
【详解】
解：false
false
false、false是false的角平分线，
false，false，
false
false．
故答案为：false．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想和整体思想的应用．
15．80或100
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，当△ABC为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件即可得出∠ABC的度数．
【详解】
（1）如图，当△ABC为锐角三角形时，
∠ACB=∠BCD=80°；
（2）如图，当△ABC为钝角三角形时，
∠ACB=180°-∠BCD=100°．
故答案为：80°或100．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，关键在于根据题意画出图形，分别进行讨论解答．
16．100或20
【解析】
【分析】
根据BD的不同位置，分两种情况进行讨论：BD在△ABC内部，BD在△ABC外部，分别进行画图计算即可．
【详解】
如图，当BD在△ABC内部时，
∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°-∠A +∠DBC=60°+40°=100°；
如图，当BD在△ABC外部时，
∠ABC=∠ABD-∠DBC=90°-∠A -∠DBC =60°-40°=20°；
故答案为：100或20．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形的内角和等于180°，解题时注意分类思想的运用．
17．80°
【解析】
【分析】
三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由三角形内角和定理得：
∠C=180°-∠A-∠B=80°，
故答案为80°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
18．50°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出∠EDF=∠2=40°，根据垂直求出∠FED=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠2=40°，
∴∠EDF=∠2=40°，
∵FE⊥DB，
∴∠FED=90°，
∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°，
故答案为50°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，平行线的性质等知识点，能根据平行线的性质求出∠EDF的度数是解此题的关键．
19．230°
【解析】
【分析】
依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．
【详解】
解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和及角之间的等量关系是解题的关键．
20．false
【解析】
【分析】
根据直角三角板false，false，false，再根据角的和差关系可得false的度数，再利用三角形内角和为false计算出false的度数．
【详解】
解：根据直角三角板false，false，false，
false，
false，
false，
故答案为false．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为false，正确计算出false的度数．
21．角平分线定义；false；内错角相等，两直线平行；false；等角的余角相等
【解析】
【分析】
根据垂直的定义可得false，然后根据角平分线定义可得false，根据等量代换可得false∠3，再根据内错角相等，两直线平行可证false，从而得出∠ACB false，再根据等角的余角相等可得false，最后根据对顶角相等和等量代换即可证出结论．
【详解】
证明：false （已知） ．
false（垂直的定义）．
false平分false （已知）
false（角平分线定义）
false （已知）
false∠3（等量代换）
falsefalse（内错角相等，两直线平行）
false ∠ACB false（两直线平行，内错角相等）
false（直角三角形的两个锐角互余）
同理由false，
可得false
false（等角的余角相等）
又false （对顶角相等 ）
false（等量代换）
故答案为: 角平分线定义；false；内错角相等，两直线平行；false；等角的余角相等．
【点睛】
此题考查的是垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质，掌握垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质是解题关键．
22．∠ECD=17°，∠CDF=73°．
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCE即可，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，进而求出∠ECD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CDF即可．
【详解】
解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=74°，
∴∠ACB=66°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCEfalse∠ACBfalse66°=33°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD=90°﹣74°=16°，
∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=17°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°﹣∠ECD=73°，
即∠ECD=17°，∠CDF=73°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直定义，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．
23．（1）false；（2）false；（3）可以，见解析
【解析】
【分析】
（1）false平分false，可知∠BAE=∠CAE，由三角形内角和可求∠BAC即可，
（2）由AD⊥BC，可求false，由角和差知∠DAE=∠BAE-∠BAD即可，
（3）先求出∠BAC=180゜-∠B-∠C，再求其一半∠BAE，由△ABD，∠BAD=90゜-∠B，作差∠BAE-∠BAD计算即可．
【详解】
解：（1）∵false，
∴false，
∵false平分false
∴false，
（2）∵false于点false，
∴false
∴false，
∴false，
（3）可以．理由如下：
∵false平分false
∴false，
∵false于点false
∴false
∴false，
∴false，
∵false，
∴false．
【点睛】
本题考查角度的规律求法问题，掌握三角形的内角和，角平分线，直角三角形两锐角互余知识是解题关键．
24．20°
【解析】
试题分析：利用三角形外角性质可以得到∠ODB的度数，再利用三角形内角和定理得到∠OAD的度数.
试题解析：
∵∠B=30°，∠E=40°，
∴∠ADO=∠B +∠E =30°+40°=70°，
∵EO⊥CO于点O，
∴∠O=90°，
∴∠OAD=180°-∠O-∠ADO
=180°-90°-70°
=20°.
25．（1）140，90，50；（2）35；（3）false
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
【详解】
解：（1）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；
故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A=55°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=125°-90°=35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．
∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
26．（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】
（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【点睛】
此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.
27．40；50
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求解.
【详解】
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠B=40°, ∠C=70°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°,
∴x=40;
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠A=80°,
∴80°+x°+x° =180°，
∴x=50.
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，应用内角和定理求角的大小是解答此题的重要途径.
28．83°
【解析】
【分析】
根据对顶角相等，三角形内角和定理解答．
【详解】
解：∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°?∠A＝90°?35°＝55°，
∴∠CED＝∠AEF＝55°，
∴∠ACD＝180°?∠CED?∠D＝180°?55°?42°＝83°．
【点睛】
本题考查对顶角的性质，三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
29．40°；80°
【解析】
分析：先根据AD是△ABC的高得出∠ADB=90°，再由三角形内角和定理及三角形外角的性质可知∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，故∠DBE=180°-∠ADB-∠BED=20°．根据BE平分∠ABC得出∠ABC=2∠DBE=40°．?根据∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°即可得出结论．
详解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，∠BED=70°，
∴∠DBE=180°-∠ADB-∠BED=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°．?
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°．
点睛：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
30．（1）见解析
（2）135°
【解析】
【分析】
(1)根据直角三角形两锐角互余和角平分线的定义，可以得到角相等，进而得到两边相等；
（2）由三角形的外角性质和内角和定理即可求解．
【详解】
（1）证明：false
又因为BD平分∠ABC，所以false
(2)解：false
一、选择题
1．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．如图，已知false为false三边垂直平分线的交点，且false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．下列命题中：
①内错角相等；
②两点之间线段最短；
③直角三角形两锐角互余；
④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行．
属于真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在一个三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．如图，false，false，则false的度数是（ ）．
A．35° B．55° C．65° D．75°
6．在false中，false，点false在false边上，连接false，若false是直角三角形，则false的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
7．一副三角板如图摆放（直角顶点false重合），边false与false交于点false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知：如图，AB⊥CD于O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（ ）
A．互为对顶角 B．互补 C．互余 D．相等
9．如图，在Rt△ABC中，过顶点C作l∥AB，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（ ）
A．∠A+∠D﹣45° B．false（∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D） D．false∠A+false∠D
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，以此类推，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D，则∠BDC的度数是__．
12．如图，在false中，false度，false与false的平分线交于点false，则false______度；false与false的平分线交于点false，得false；…false与false的平分线交于点false，得false．则false______度．
13．在false中，false，若false，则false的度数是________．
14．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是_______．
15．已知在false中，false，false是false的高，false，则false_________．
16．△ABC 中，BD 是 AC 边上的高，∠A=30°，∠DBC=40°，则∠ABC=_____度．
17．在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C的度数是_____．
18．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2=40°，则∠1的度数是______．
19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝______．
20．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中false的度数是______．
三、解答题
21．如图，四边形false中，作点false，设false分别与false、false交于点false、false．若false平分false，且false，求证：false．
完成下面的证明过程：
证明：false （已知） ．
false（垂直的定义）．
false平分false （已知）
false （ ）
false （已知）
false （等量代换）
falsefalse （ ）
false false（两直线平行，内错角相等）
false（直角三角形的两个锐角互余）
同理由false，
可得false
false （ ）
又false （对顶角相等 ）
false（等量代换）
22．如图，false中，false，false，false是false边上的高，false平分false，false于点false，求false和false的度数．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
24．如图，EO⊥CO于点O，∠B=30°，∠E=40°，求∠OAD的度数．
25．如图所示，有一块直角三角板false（足够大），其中false，把直角三角板false放置在锐角false上，三角板false的两边false恰好分别经过false.
（1）若false，则false °，false °，
false °.
（2）若false则false °.
（3）请你猜想一下false与false所满足的数量关系 .
26．问题情景：如图1，在同一平面内，点false和点false分别位于一块直角三角板false的两条直角边false，false上，点false与点false在直线false的同侧，若点false在false内部，试问false，false与false的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若false，则false_________度，false________度，false_________度；
（2）类比探索：请猜想false与false的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点false的位置，使点false在false外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出false，false与false满足的数量关系式．
27．求出下列图形中的x的值：
28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
29．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．
30．如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD;
（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
如图，先根据三角板的各角的度数和平角可求出∠ACE，再根据三角形的内角和180°即可解答．
【详解】
∵∠ACB=60°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=180°-60°-45°=75°，
∵∠1=45°，
∴∠2=180°-45°-75°=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角板的角度计算、三角形的内角和定理，熟知三角板的各角度数，掌握三角形的内角和为180°是解答的关键．
2．B
【解析】
【分析】
延长AO交BC于D，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA，从而不难求得∠BOC的度数．
【详解】
延长AO交BC于D．
∵点O在AB的垂直平分线上．
∴AO=BO．
同理：AO=CO．
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA．
∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC）=2∠BAC．
∵∠A=50°．
∴∠BOC=100°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查：（1）线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质、直角三角形的性质判断即可．
【详解】
解：①两直线平行，内错角相等，本说法是假命题；
②两点之间线段最短，本说法是真命题；
③直角三角形两锐角互余，本说法是真命题；
④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行，本说法是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查证明与命题、平行线的性质及直角三角形的性质，关键是熟记概念进行判断．
4．A
【解析】
【分析】
在锐角三角形的外角中，有三个钝角；在直角三角形外角中，有两个钝角；在钝角三角形外角中，有两个钝角．综上可知，在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．
【详解】
解：根据三角形的内角和是180度可知：三角形的三个内角中最多可有3个锐角，
所以对应的在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
5．A
【解析】
【分析】
根据题意及三角形内角和可得∠D=∠A，故问题得解．
【详解】
解：false∠AOB=∠DOC，false，
falsefalse，
falsefalse，
falsefalse，
falsefalse；
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当false或false时，分别画出相应图形，结合三角形内角和180°解题即可.
【详解】
分两种情况讨论：
（1）如图1，当false时，
false
false；
（2）如图2，当false时，
false
false
false
综上所述，false的度数为60°或15°
故选：D
【点睛】
本题考查三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
7．A
【解析】
【分析】
由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含false角的直角三角形，故false，false，由平行线的性质可知false，由三角形内角和定理可求出false的度数．
【详解】
由题意知false，false，
∵false，
∴false，
在false中，
falsefalse，
故选A．
【点睛】
本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含false角的直角三角形．
8．C
【解析】
【分析】
根据垂线的定义得出∠BOD=90°；然后由平角的定义来求∠1与∠2的关系．
【详解】
解：∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°．
又∵EF为过点O的一条直线，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BOD＝90°，
即：∠1与∠2互余，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂线的定义、平角的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义和平角的定义是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
由三角形是直角三角形，得∠2+∠A=90?，而l∥AB ,可求∠A，再计算可求．
【详解】
∵l∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝25°，
∴∠A＝25°，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
故选择：D．
【点睛】
本题考查求角度问题，关键抓住直角三角形两锐角互余，两直线平行，内错角相等．
10．D
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和, ∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根据角平分线的定义可得false 再根据三角形的内角和定理可得false 然后整理即可得解；
【详解】
∵四边形的内角和=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，
∴false
∴
false
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）
false
false
故选D．
【点睛】
考查四边形的内角和，三角形的内角和以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
11．40°．
【解析】
【分析】
根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（false）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
【详解】
∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1＝false∠ABC，∠ACD1＝false∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2＝false∠ABD1＝false∠ABC，∠ACD2＝false∠ACD1＝false∠ACB，
同理可得∠ABD＝false∠ABC，∠ACD＝false∠ACB，
∴∠ABD+∠ACD＝160°×false＝20°，
∴∠BCD+∠CBD＝140°
∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝40°
故答案为40°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
12．falseβ， falseβ
【解析】
【分析】
已知∠A，求∠A1，利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，把∠ACD利用角平分线转成2∠A1CD，∠ABC转成2∠A1BC，消去∠A1BC，∠A1CD即可，再用类似的办法求∠A2，以此类推即可
【详解】
∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠A1CD，
∴∠AB A1=∠A1BC=false∠ABC，∠AC A1=∠A1CD=false∠ACD，
由三角形的外角得
∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC①
∴2∠A1CD=∠A+2∠A1BC②
把①代入②得∠A1=false∠A=falseβ
CA2平分∠A2CD，
∠A2C A1=∠A2CD=false∠A1CD，
由三角形的外角得
∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∴∠A2CD=∠A2+∠A2BC③
∴2∠A2CD=∠A1+2∠A2BC④
解得∠A2=false∠A1，
∠A2=false∠A1false∠A=falseβ=falseβ
同理
∠A3=false∠A2=false∠A=falseβ=falseβ
…
∠A2019= falseβ
故答案为：①falseβ，②falseβ
【点睛】
本题考查（第二内角的）外角平分线与（第一）内角平分线所夹的角问题，找到两平分线的夹角与第三个角的关系是解决问题关键
13．25°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和即可求解．
【详解】
∵在false中，false， false，
∴∠A=180°-∠C-∠B=25°
故答案为：25°．
【点睛】
此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．
14．false
【解析】
【分析】
由false、false是false的角平分线，∠BAC=80°，根据三角形内角和定理，可求得false，根据角平分线的定义，可得false，进而解答即可．
【详解】
解：false
false
false、false是false的角平分线，
false，false，
false
false．
故答案为：false．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想和整体思想的应用．
15．80或100
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，当△ABC为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件即可得出∠ABC的度数．
【详解】
（1）如图，当△ABC为锐角三角形时，
∠ACB=∠BCD=80°；
（2）如图，当△ABC为钝角三角形时，
∠ACB=180°-∠BCD=100°．
故答案为：80°或100．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，关键在于根据题意画出图形，分别进行讨论解答．
16．100或20
【解析】
【分析】
根据BD的不同位置，分两种情况进行讨论：BD在△ABC内部，BD在△ABC外部，分别进行画图计算即可．
【详解】
如图，当BD在△ABC内部时，
∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°-∠A +∠DBC=60°+40°=100°；
如图，当BD在△ABC外部时，
∠ABC=∠ABD-∠DBC=90°-∠A -∠DBC =60°-40°=20°；
故答案为：100或20．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形的内角和等于180°，解题时注意分类思想的运用．
17．80°
【解析】
【分析】
三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由三角形内角和定理得：
∠C=180°-∠A-∠B=80°，
故答案为80°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
18．50°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出∠EDF=∠2=40°，根据垂直求出∠FED=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠2=40°，
∴∠EDF=∠2=40°，
∵FE⊥DB，
∴∠FED=90°，
∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°，
故答案为50°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，平行线的性质等知识点，能根据平行线的性质求出∠EDF的度数是解此题的关键．
19．230°
【解析】
【分析】
依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．
【详解】
解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和及角之间的等量关系是解题的关键．
20．false
【解析】
【分析】
根据直角三角板false，false，false，再根据角的和差关系可得false的度数，再利用三角形内角和为false计算出false的度数．
【详解】
解：根据直角三角板false，false，false，
false，
false，
false，
故答案为false．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为false，正确计算出false的度数．
21．角平分线定义；false；内错角相等，两直线平行；false；等角的余角相等
【解析】
【分析】
根据垂直的定义可得false，然后根据角平分线定义可得false，根据等量代换可得false∠3，再根据内错角相等，两直线平行可证false，从而得出∠ACB false，再根据等角的余角相等可得false，最后根据对顶角相等和等量代换即可证出结论．
【详解】
证明：false （已知） ．
false（垂直的定义）．
false平分false （已知）
false（角平分线定义）
false （已知）
false∠3（等量代换）
falsefalse（内错角相等，两直线平行）
false ∠ACB false（两直线平行，内错角相等）
false（直角三角形的两个锐角互余）
同理由false，
可得false
false（等角的余角相等）
又false （对顶角相等 ）
false（等量代换）
故答案为: 角平分线定义；false；内错角相等，两直线平行；false；等角的余角相等．
【点睛】
此题考查的是垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质，掌握垂直定义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质是解题关键．
22．∠ECD=17°，∠CDF=73°．
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCE即可，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，进而求出∠ECD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CDF即可．
【详解】
解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=74°，
∴∠ACB=66°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCEfalse∠ACBfalse66°=33°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD=90°﹣74°=16°，
∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=17°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°﹣∠ECD=73°，
即∠ECD=17°，∠CDF=73°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直定义，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．
23．（1）false；（2）false；（3）可以，见解析
【解析】
【分析】
（1）false平分false，可知∠BAE=∠CAE，由三角形内角和可求∠BAC即可，
（2）由AD⊥BC，可求false，由角和差知∠DAE=∠BAE-∠BAD即可，
（3）先求出∠BAC=180゜-∠B-∠C，再求其一半∠BAE，由△ABD，∠BAD=90゜-∠B，作差∠BAE-∠BAD计算即可．
【详解】
解：（1）∵false，
∴false，
∵false平分false
∴false，
（2）∵false于点false，
∴false
∴false，
∴false，
（3）可以．理由如下：
∵false平分false
∴false，
∵false于点false
∴false
∴false，
∴false，
∵false，
∴false．
【点睛】
本题考查角度的规律求法问题，掌握三角形的内角和，角平分线，直角三角形两锐角互余知识是解题关键．
24．20°
【解析】
试题分析：利用三角形外角性质可以得到∠ODB的度数，再利用三角形内角和定理得到∠OAD的度数.
试题解析：
∵∠B=30°，∠E=40°，
∴∠ADO=∠B +∠E =30°+40°=70°，
∵EO⊥CO于点O，
∴∠O=90°，
∴∠OAD=180°-∠O-∠ADO
=180°-90°-70°
=20°.
25．（1）140，90，50；（2）35；（3）false
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
【详解】
解：（1）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；
故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A=55°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=125°-90°=35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．
∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
26．（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】
（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【点睛】
此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.
27．40；50
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求解.
【详解】
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠B=40°, ∠C=70°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°,
∴x=40;
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠A=80°,
∴80°+x°+x° =180°，
∴x=50.
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，应用内角和定理求角的大小是解答此题的重要途径.
28．83°
【解析】
【分析】
根据对顶角相等，三角形内角和定理解答．
【详解】
解：∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°?∠A＝90°?35°＝55°，
∴∠CED＝∠AEF＝55°，
∴∠ACD＝180°?∠CED?∠D＝180°?55°?42°＝83°．
【点睛】
本题考查对顶角的性质，三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
29．40°；80°
【解析】
分析：先根据AD是△ABC的高得出∠ADB=90°，再由三角形内角和定理及三角形外角的性质可知∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，故∠DBE=180°-∠ADB-∠BED=20°．根据BE平分∠ABC得出∠ABC=2∠DBE=40°．?根据∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°即可得出结论．
详解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，∠BED=70°，
∴∠DBE=180°-∠ADB-∠BED=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°．?
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°．
点睛：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
30．（1）见解析
（2）135°
【解析】
【分析】
(1)根据直角三角形两锐角互余和角平分线的定义，可以得到角相等，进而得到两边相等；
（2）由三角形的外角性质和内角和定理即可求解．
【详解】
（1）证明：false
又因为BD平分∠ABC，所以false
(2)解：false