2020-2021学年度人教版八年级数学上册 11.3.2 多边形的内角和课时练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度人教版八年级数学上册 11.3.2 多边形的内角和课时练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 415.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-07 19:57:03 | ||
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文档简介
2020-2021学年度人教版八年级数学上册11.3.2多边形的内角和课时练习
一、选择题
1．给出下列4个命题：①四边形的内角和等于外角和；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③若|x|＝2，则x＝2；④同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在平面上将变长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．如果一个正多边形的外角是30°，那么这个正多边形对角线共有（ ）．
A．12条 B．60条 C．54条 D．18条
4．计算多边形内角和时不小心多输入一个内角，得到和为1290，则这个多边形的边数是（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
5．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是false度，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．如图的七边形false中，false、false的延长线相交于false点．若图中false、false、false、false的外角的角度和为false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．一副三角板如图所示摆放，则false与false的数量关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（ ）
A．360° B．140° C．1080° D．720°
9．正十边形每个内角的度数是多少（ ）
A．180° B．144° C．150° D．120°
10．五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．600°
二、填空题
11．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为______．
12．如图，false的度数为______．
13．若一个多边形的内角和等于720度，则这个多边形的边数是_______
14．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．
15．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．
16．三角形的内角和是_______，多边形的外角和是______ ．
17．若一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数为_____．
18．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
19．若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正_____边形．
20．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．
三、解答题
21．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
⑵若点F是AC的中点，求证：∠CFD=false∠B．
22． 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）
23．如图，已知点false是四边形false的外角false和外角false的平分线的交点．若false，false，求false的度数．
24．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
25．已知：一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？
26．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.
求证：BE∥DF．
27．如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.
（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A=105?，∠D=125?，求∠F的度数；
（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由．
28．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A、∠B、∠C的大小．
29．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°．求：
（1）这个多边形的边数；（2）该多边形共有多少条对角线．
30．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180度，求这个多边形的边数.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据四边形内角和、直角三角形性质和绝对值性质判断即可；
【详解】
解：①四边形的内角和和外角和都是360°，
∴四边形的内角和等于外角和，是真命题；
②有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
③若|x|＝2，则x＝±2，本说法是假命题；
④两直线平行时，同旁内角的平分线互相垂直，本说法是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了四边形的内角和、直角三角形两锐角互余、绝对值的性质和平行线的知识点，准确分析是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1-∠2的度数即可．
【详解】
解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，
正方形的每个内角是：360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是：（5-2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
正六边形的每个内角是：（6-2）×180°÷6
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，
则∠3+∠1-∠2=（90°-60°）+（120°-108°）-（108°-90°）
=30°+12°-18°
=24°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n-2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
3．C
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和即可求出正多边形的边数，然后根据多边形对角线的条数与边数的关系从而求出结论．
【详解】
解：∵一个正多边形的外角是30°
∴这个正多边形的边数为360°÷30°=12
∴这个正多边形对角线共有12×（12－3）÷2=54条
故选C．
【点睛】
此题考查的是多边形的外角和、求多边形对角线的条数，掌握多边形的外角和和多边形对角线的条数与边数的关系是解题关键．
4．B
【解析】
【分析】
多边形内角和（n-2）╳180゜，多算一个角，这个角小于180゜，去掉180゜后1290゜-180゜，内角和比它大，加上多的角后1290゜，内角和比它小，列不等式1290゜-180゜<（n-2）╳180゜<1290゜,解之即可．
【详解】
由题意列不等式得1290゜-180゜<（n-2）╳180゜<1290゜，
false，
false，
false．
故选择：B．
【点睛】
本题考查利用多加一角求多边形边数问题，关键是运用不等关系列不等式．
5．D
【解析】
【分析】
设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据内角和与外角度数的和列出方程，由多边形的边数n为整数求解可得．
【详解】
设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意列方程得，
（n－2）?180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5false＜n?2＜6false，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【详解】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键.
7．B
【解析】
【分析】
先根据对顶角相等得出false，false，再根据四边形的内角和即可得出结论
【详解】
解： ∵false；
∴false；
∵false，false；
∴false
故选：B
【点睛】
本题考查了四边形的内角和定理，和对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
8．C
【解析】
【分析】
根据false边的外角和为false可得到这个多边形的边数false，然后根据false边形的内角和为false即可求得八边形的内角和．
【详解】
解：false多边形的每个外角都是false，
false这个多边形的边数false，
false这个多边形的内角和false．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和和外角和定理：false边形的内角和为false；false边的外角和为false．
9．B
【解析】
【分析】
先求出每一个外角的度数，然后根据每一个外角与内角互为邻补角列式求解．
【详解】
每一个外角度数为360°÷10=36°，
每个内角度数为180°-36°=144°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，主要涉及正多边形的内角与外角的求解，熟记公式是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和为（n﹣2）?180°即可解决问题
【详解】
解：由多边形的内角和公式当n=5时，五边形内角和为（n﹣2）?180°=（5﹣2）?180°=540°
故选C
11．4
【解析】
【分析】
设这个多边形为false边形，由内角和为false 外角和为false 从而列方程可得答案．
【详解】
解：设这个多边形为false边形，则
false
false
false
故答案为：false
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12．360°
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【详解】
解：如图，
∵∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠F，∠1+∠2+∠D+∠E=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质，以及多边形的内角和，掌握三角形外角的性质是解决问题的关键．
13．6
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式求出边数．
【详解】
解：设此多边形边数为n，由题意可得false，解得false．
故答案是：6．
【点睛】
本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
14．44
【解析】
【分析】
设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法false即可．
【详解】
设这个内角度数为x°，边数为n，
∴（n-2）×180-x=1510，
180n=1870+x=1800+（70+x），
n=10+false
∵n为正整数，
∴n=11，
∴false=44，
故答案为：44．
【点睛】
此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．
15．：270°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出∠1+∠2的度数．
【详解】
∵在直角三角形中，
∴∠5=90°，
∴∠3+∠4=180°?90°=90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°?90°=270°，
故答案是：270°．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为360°，是解题的关键．
16．180° 360°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和多边形的外角和性质求解
【详解】
三角形的内角和是180°，外角和是360°，
故答案为：180°，360°
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理和三角形的内角和定理，这是一个需要熟记的内容．
17．五
【解析】
【分析】
设该多边形的边数为n，则其内角和为（n﹣2）?180°，外角和为360°，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）?180°﹣360°＝180°，
解得n＝5，
故答案为：五．
【点睛】
本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式以及多边形的外角和是解题的关键．
18．120
【解析】
∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．
19．八
【解析】
360°÷（180°-135°）=8
20．360°
【解析】
【分析】
利用三角形外角性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，三式相加易得∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
【详解】
如图所示，
∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角、三角形的外角性质，解题关键在于掌握三角形的外角性质.
21．（1）50°；（2）见解析
【解析】
试题分析：⑴根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与四边形的内角和为360°，可求得所求角的度数.
⑵连接BF，根据三角形内角和定理与等腰三角形三线合一，可知false.
试题解析：⑴ ∵∠AFD=155°，∴∠DFC=25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，∴∠C=90°﹣25°=65°，
∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
⑵ 连接BF，∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，false，
∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴false．
22．（1）150° ；（2）∠1+∠2=90°+∠α，理由见解析；（3）∠2=90°+∠α+∠1或∠1-∠2=∠α-90°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，化简即可得出答案；
（3）根据题意画出图形可知，∠CFE是△DPF的外角，根据外角性质可知，∠CFE=∠DPE+∠PDB；另一方面，∠PEA是△CFE的外角，根据外角性质可知，∠PEA=∠C+∠CFE，根据以上两个等式即可得出∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
【详解】
（1）∵∠α=60°，∠C=90°，
∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，
又∵四边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，
∠C的邻补角为90°，
∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角，
∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，
∴∠1+∠2=90°+∠α
（3）如图3所示，
当PD位于PE上方时，
∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，
∵∠PEA=∠C+∠CFE，
∴∠2=90°+∠α+∠1．
当PD位于PE下方时，
∵∠1=∠α+∠PFD，
∠2=90°+∠CFE，
∠PFD=∠CFE，
∴∠1-∠2=∠α-90°．
【点睛】
考查四边形的外角和与三角形的外角性质，解题关键灵活、综合运用知识．
23．60°
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和公式即可求出false，然后根据平角的定义即可求出false，再根据角平分线的定义即可求出false，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】
解：因为false，false，false，
所以false．
因为false，false，
所以false．
因为点false是四边形false的外角false和外角false的平分线的交点，
所以false，false．
所以false，
所以false．
【点睛】
此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握四边形的内角和是360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键．
24．360°
【解析】
【分析】
首先连接AD，构造出我们熟悉的四边形ABGD去计算多角的和，本题为6个角相加，可以把其中的∠E和∠F通过等量代换转化成与四边形四边形的内角有关联的角，再通过四边形内角和可得到.
【详解】
解：连结AD，如图，
在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，
在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，
∵∠EGF=∠AGD，
∴∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F，
=∠BAF+∠B+ ∠C +∠CDE+ ∠ 1+ ∠ 2，
=∠BAD+ ∠B+ ∠C +∠CDA，
=360°.
【点睛】
本题解题关键，当出现多个角求和时，可以通过等量代换找到我们熟悉的三角形，四边形的内角和进行计算.
25．这个多边形是六边形
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和为360°，列出方程求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n?2）?180°＝2×360°，
解得：n＝6，
答：这个多边形是六边形．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式和外角和为360°是解题关键．
26．证明见解析
【解析】
【分析】
根据四边形内角和为360°可得∠ABC+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义可得∠EBC+∠FDC＝90°，根据同角的余角相等可得∠EBF＝∠DFC，即可证明BE//DF.
【详解】
∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠B，DF平分∠D，
∴∠ABE=∠EBC，∠ADF=∠FDC，
∴∠EBC+∠FDC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF．
【点睛】
本题考查利用了角平分线定义，四边形的内角和为360°，同角的余角相等．熟练掌握相关知识是解题关键.
27．（1）50°；（2）25°；（3）∠F=false（∠A+∠D-180）°.
【解析】
【分析】
（1）由∠ABC=80°，可知∠ABE=100°，根据BF平分∠ABE，BF∥CD可得∠BCD=50°.
（2）由三角形外角性质可知∠F=∠FBE-∠FCE，而BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，故∠F=false（∠ABE-∠FCE），由补角性质和四边形内角和可得∠ABE=360°-∠A-∠B-∠BCD，将已知代入即可求解；
（3）同（2）可得∠F=false(∠A+∠D-180°)
【详解】
解：（1）∵∠ABC=80°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF=false∠ABE=50°，
∵BF∥CD
∴∠BCD=∠EBF=50°；
（2）∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF=false∠ABE=，∠ECF=false∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F=false（180°-∠ABC）-false∠BCD=false[180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F=false[180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F=false（∠A+∠D-180°），
∵∠A=105?，∠D=125?，
∴∠F=false（105? +125? -180°）=25°，
（3）结论：∠F=false（∠A+∠D-180°）
理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF=false∠ABE=，∠ECF=false∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F=false（180°-∠ABC）-false∠BCD=false[180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F=false[180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F=false（∠A+∠D-180°），
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（3）中得出∠F=false（180°-∠ABC）-false∠BCD是解题的关键．
28．∠A=70°；∠B=90°；∠C=140°．
【解析】
试题分析：要求的∠B、∠C都与∠A有关系，所以可设∠A=x°，然后用x的代数式表示∠B和∠C，根据四边形的内角和为360°，得到关于x的等式，解方程即可．
试题解析：设∠A=x,∠B=x+20,∠C=2x，
根据四边形的内角和为360°，得x+x+20+2x+60=360，
解得：x=70，
∴∠A=70°,∠B=90°,∠C=140°．
答：∠A的度数为70°,∠B的度数为90°,∠C的度数为140°．
考点：四边形的内角和．
29．(1)该多边形为七边形； (2)该多边形共有14条对角线.
【解析】
【分析】
（1）任意多边形的外角和均为360°，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可；
（2）多边形的对角线公式为：false．
【详解】
(1)设这个多边形的边数为n,
根据题意得:180°×(n-2)=360°×3-180°,
解得:n=7.
故该多边形为七边形.
(2)false=false=14.
故该多边形共有14条对角线.
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握相关知识是解题的关键．
30．这个多边形的边数是7．
【解析】
试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°与外角和定理列出方程，求解即可．
试题解析：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°=2×360°+180°，
解得n=7．
故这个多边形的边数是7．
一、选择题
1．给出下列4个命题：①四边形的内角和等于外角和；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③若|x|＝2，则x＝2；④同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在平面上将变长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．如果一个正多边形的外角是30°，那么这个正多边形对角线共有（ ）．
A．12条 B．60条 C．54条 D．18条
4．计算多边形内角和时不小心多输入一个内角，得到和为1290，则这个多边形的边数是（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
5．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是false度，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．如图的七边形false中，false、false的延长线相交于false点．若图中false、false、false、false的外角的角度和为false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．一副三角板如图所示摆放，则false与false的数量关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（ ）
A．360° B．140° C．1080° D．720°
9．正十边形每个内角的度数是多少（ ）
A．180° B．144° C．150° D．120°
10．五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．600°
二、填空题
11．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为______．
12．如图，false的度数为______．
13．若一个多边形的内角和等于720度，则这个多边形的边数是_______
14．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．
15．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．
16．三角形的内角和是_______，多边形的外角和是______ ．
17．若一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数为_____．
18．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
19．若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正_____边形．
20．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．
三、解答题
21．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
⑵若点F是AC的中点，求证：∠CFD=false∠B．
22． 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）
23．如图，已知点false是四边形false的外角false和外角false的平分线的交点．若false，false，求false的度数．
24．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
25．已知：一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？
26．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.
求证：BE∥DF．
27．如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.
（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A=105?，∠D=125?，求∠F的度数；
（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由．
28．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A、∠B、∠C的大小．
29．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°．求：
（1）这个多边形的边数；（2）该多边形共有多少条对角线．
30．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180度，求这个多边形的边数.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据四边形内角和、直角三角形性质和绝对值性质判断即可；
【详解】
解：①四边形的内角和和外角和都是360°，
∴四边形的内角和等于外角和，是真命题；
②有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
③若|x|＝2，则x＝±2，本说法是假命题；
④两直线平行时，同旁内角的平分线互相垂直，本说法是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了四边形的内角和、直角三角形两锐角互余、绝对值的性质和平行线的知识点，准确分析是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1-∠2的度数即可．
【详解】
解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，
正方形的每个内角是：360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是：（5-2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
正六边形的每个内角是：（6-2）×180°÷6
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，
则∠3+∠1-∠2=（90°-60°）+（120°-108°）-（108°-90°）
=30°+12°-18°
=24°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n-2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
3．C
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和即可求出正多边形的边数，然后根据多边形对角线的条数与边数的关系从而求出结论．
【详解】
解：∵一个正多边形的外角是30°
∴这个正多边形的边数为360°÷30°=12
∴这个正多边形对角线共有12×（12－3）÷2=54条
故选C．
【点睛】
此题考查的是多边形的外角和、求多边形对角线的条数，掌握多边形的外角和和多边形对角线的条数与边数的关系是解题关键．
4．B
【解析】
【分析】
多边形内角和（n-2）╳180゜，多算一个角，这个角小于180゜，去掉180゜后1290゜-180゜，内角和比它大，加上多的角后1290゜，内角和比它小，列不等式1290゜-180゜<（n-2）╳180゜<1290゜,解之即可．
【详解】
由题意列不等式得1290゜-180゜<（n-2）╳180゜<1290゜，
false，
false，
false．
故选择：B．
【点睛】
本题考查利用多加一角求多边形边数问题，关键是运用不等关系列不等式．
5．D
【解析】
【分析】
设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据内角和与外角度数的和列出方程，由多边形的边数n为整数求解可得．
【详解】
设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意列方程得，
（n－2）?180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5false＜n?2＜6false，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【详解】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键.
7．B
【解析】
【分析】
先根据对顶角相等得出false，false，再根据四边形的内角和即可得出结论
【详解】
解： ∵false；
∴false；
∵false，false；
∴false
故选：B
【点睛】
本题考查了四边形的内角和定理，和对顶角的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
8．C
【解析】
【分析】
根据false边的外角和为false可得到这个多边形的边数false，然后根据false边形的内角和为false即可求得八边形的内角和．
【详解】
解：false多边形的每个外角都是false，
false这个多边形的边数false，
false这个多边形的内角和false．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和和外角和定理：false边形的内角和为false；false边的外角和为false．
9．B
【解析】
【分析】
先求出每一个外角的度数，然后根据每一个外角与内角互为邻补角列式求解．
【详解】
每一个外角度数为360°÷10=36°，
每个内角度数为180°-36°=144°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，主要涉及正多边形的内角与外角的求解，熟记公式是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和为（n﹣2）?180°即可解决问题
【详解】
解：由多边形的内角和公式当n=5时，五边形内角和为（n﹣2）?180°=（5﹣2）?180°=540°
故选C
11．4
【解析】
【分析】
设这个多边形为false边形，由内角和为false 外角和为false 从而列方程可得答案．
【详解】
解：设这个多边形为false边形，则
false
false
false
故答案为：false
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12．360°
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【详解】
解：如图，
∵∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠F，∠1+∠2+∠D+∠E=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质，以及多边形的内角和，掌握三角形外角的性质是解决问题的关键．
13．6
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式求出边数．
【详解】
解：设此多边形边数为n，由题意可得false，解得false．
故答案是：6．
【点睛】
本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
14．44
【解析】
【分析】
设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法false即可．
【详解】
设这个内角度数为x°，边数为n，
∴（n-2）×180-x=1510，
180n=1870+x=1800+（70+x），
n=10+false
∵n为正整数，
∴n=11，
∴false=44，
故答案为：44．
【点睛】
此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．
15．：270°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出∠1+∠2的度数．
【详解】
∵在直角三角形中，
∴∠5=90°，
∴∠3+∠4=180°?90°=90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°?90°=270°，
故答案是：270°．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为360°，是解题的关键．
16．180° 360°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和多边形的外角和性质求解
【详解】
三角形的内角和是180°，外角和是360°，
故答案为：180°，360°
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理和三角形的内角和定理，这是一个需要熟记的内容．
17．五
【解析】
【分析】
设该多边形的边数为n，则其内角和为（n﹣2）?180°，外角和为360°，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）?180°﹣360°＝180°，
解得n＝5，
故答案为：五．
【点睛】
本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式以及多边形的外角和是解题的关键．
18．120
【解析】
∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．
19．八
【解析】
360°÷（180°-135°）=8
20．360°
【解析】
【分析】
利用三角形外角性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，三式相加易得∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
【详解】
如图所示，
∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角、三角形的外角性质，解题关键在于掌握三角形的外角性质.
21．（1）50°；（2）见解析
【解析】
试题分析：⑴根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与四边形的内角和为360°，可求得所求角的度数.
⑵连接BF，根据三角形内角和定理与等腰三角形三线合一，可知false.
试题解析：⑴ ∵∠AFD=155°，∴∠DFC=25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，∴∠C=90°﹣25°=65°，
∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
⑵ 连接BF，∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，false，
∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴false．
22．（1）150° ；（2）∠1+∠2=90°+∠α，理由见解析；（3）∠2=90°+∠α+∠1或∠1-∠2=∠α-90°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，化简即可得出答案；
（3）根据题意画出图形可知，∠CFE是△DPF的外角，根据外角性质可知，∠CFE=∠DPE+∠PDB；另一方面，∠PEA是△CFE的外角，根据外角性质可知，∠PEA=∠C+∠CFE，根据以上两个等式即可得出∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
【详解】
（1）∵∠α=60°，∠C=90°，
∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，
又∵四边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，
∠C的邻补角为90°，
∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角，
∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，
∴∠1+∠2=90°+∠α
（3）如图3所示，
当PD位于PE上方时，
∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，
∵∠PEA=∠C+∠CFE，
∴∠2=90°+∠α+∠1．
当PD位于PE下方时，
∵∠1=∠α+∠PFD，
∠2=90°+∠CFE，
∠PFD=∠CFE，
∴∠1-∠2=∠α-90°．
【点睛】
考查四边形的外角和与三角形的外角性质，解题关键灵活、综合运用知识．
23．60°
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和公式即可求出false，然后根据平角的定义即可求出false，再根据角平分线的定义即可求出false，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】
解：因为false，false，false，
所以false．
因为false，false，
所以false．
因为点false是四边形false的外角false和外角false的平分线的交点，
所以false，false．
所以false，
所以false．
【点睛】
此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握四边形的内角和是360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键．
24．360°
【解析】
【分析】
首先连接AD，构造出我们熟悉的四边形ABGD去计算多角的和，本题为6个角相加，可以把其中的∠E和∠F通过等量代换转化成与四边形四边形的内角有关联的角，再通过四边形内角和可得到.
【详解】
解：连结AD，如图，
在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，
在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，
∵∠EGF=∠AGD，
∴∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F，
=∠BAF+∠B+ ∠C +∠CDE+ ∠ 1+ ∠ 2，
=∠BAD+ ∠B+ ∠C +∠CDA，
=360°.
【点睛】
本题解题关键，当出现多个角求和时，可以通过等量代换找到我们熟悉的三角形，四边形的内角和进行计算.
25．这个多边形是六边形
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和为360°，列出方程求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n?2）?180°＝2×360°，
解得：n＝6，
答：这个多边形是六边形．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式和外角和为360°是解题关键．
26．证明见解析
【解析】
【分析】
根据四边形内角和为360°可得∠ABC+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义可得∠EBC+∠FDC＝90°，根据同角的余角相等可得∠EBF＝∠DFC，即可证明BE//DF.
【详解】
∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠B，DF平分∠D，
∴∠ABE=∠EBC，∠ADF=∠FDC，
∴∠EBC+∠FDC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF．
【点睛】
本题考查利用了角平分线定义，四边形的内角和为360°，同角的余角相等．熟练掌握相关知识是解题关键.
27．（1）50°；（2）25°；（3）∠F=false（∠A+∠D-180）°.
【解析】
【分析】
（1）由∠ABC=80°，可知∠ABE=100°，根据BF平分∠ABE，BF∥CD可得∠BCD=50°.
（2）由三角形外角性质可知∠F=∠FBE-∠FCE，而BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，故∠F=false（∠ABE-∠FCE），由补角性质和四边形内角和可得∠ABE=360°-∠A-∠B-∠BCD，将已知代入即可求解；
（3）同（2）可得∠F=false(∠A+∠D-180°)
【详解】
解：（1）∵∠ABC=80°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF=false∠ABE=50°，
∵BF∥CD
∴∠BCD=∠EBF=50°；
（2）∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF=false∠ABE=，∠ECF=false∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F=false（180°-∠ABC）-false∠BCD=false[180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F=false[180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F=false（∠A+∠D-180°），
∵∠A=105?，∠D=125?，
∴∠F=false（105? +125? -180°）=25°，
（3）结论：∠F=false（∠A+∠D-180°）
理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF=false∠ABE=，∠ECF=false∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F=false（180°-∠ABC）-false∠BCD=false[180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F=false[180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F=false（∠A+∠D-180°），
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（3）中得出∠F=false（180°-∠ABC）-false∠BCD是解题的关键．
28．∠A=70°；∠B=90°；∠C=140°．
【解析】
试题分析：要求的∠B、∠C都与∠A有关系，所以可设∠A=x°，然后用x的代数式表示∠B和∠C，根据四边形的内角和为360°，得到关于x的等式，解方程即可．
试题解析：设∠A=x,∠B=x+20,∠C=2x，
根据四边形的内角和为360°，得x+x+20+2x+60=360，
解得：x=70，
∴∠A=70°,∠B=90°,∠C=140°．
答：∠A的度数为70°,∠B的度数为90°,∠C的度数为140°．
考点：四边形的内角和．
29．(1)该多边形为七边形； (2)该多边形共有14条对角线.
【解析】
【分析】
（1）任意多边形的外角和均为360°，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可；
（2）多边形的对角线公式为：false．
【详解】
(1)设这个多边形的边数为n,
根据题意得:180°×(n-2)=360°×3-180°,
解得:n=7.
故该多边形为七边形.
(2)false=false=14.
故该多边形共有14条对角线.
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握相关知识是解题的关键．
30．这个多边形的边数是7．
【解析】
试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°与外角和定理列出方程，求解即可．
试题解析：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°=2×360°+180°，
解得n=7．
故这个多边形的边数是7．