2020-2021学年度人教版八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定课时练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度人教版八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定课时练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 795.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-07 20:04:20 | ||
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文档简介
2020-2021学年度人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定课时练习
一、选择题
1．如图，ΔABC≌ΔABC，点B在AB边上，线段AB，AC交于点D．若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠ACB的度数为( )
A．100° B．120° C．135° D．140°
2．如图所示，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中全等三角形共有( )
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事方法是（ ?）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
4．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．下列命题：（1）无限小数是无理数（2）绝对值等于它本身的数是非负数（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，（5）面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，有一塘，要测池塘两端false，false间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘就可以直接到达点false，false的点false，连接false并延长至false，使false，连接false并延长至false，使false，连接false．若量出false米，则false，false间的距离为（ ）
A．false米 B．false米 C．false米 D．false米
8．如图，false，垂足分别为false、false、false相交于点false，则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ）．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
10．如图所示，false中，false平分角false，false垂直于false，false的面积为45，false的面积为20，则false的面积等于（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP= ______ ．
12．如图点C，D在AB同侧，AD=BC，添加一个条件____________就能使△ABD≌△BAC．
13．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，设 PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则 m＋n_____b＋c(填“＞”“＜”或“＝”)．
14．如图， false是false的角平分线，延长false至点false，使false，若false，false， 则false__________．
15．在false中，false是false边上的中线，若false，则false长的取值范围是_________．
16．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点false的坐标为false，另一个顶点false的坐标为false，则点false的坐标为_______．
17．如图，已知 false，请你添加一个条件，使得false，你添加的条件是______．
18．如图，在false中，false是false边上的高，false是false边上的高，且false，false交于点false，若false，BD=8，false，则线段false的长度为______．
19．如图，把false放置在平面直角坐标系中，已知false，false，false，false，点false在第四象限，则点false的坐标是______．
20．下面四个命题：①面积相等的两个直角三角形全等；②两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等；④两角及第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等．其中正确的命题为______．
三、解答题
21．如图，分别将“false”记为false，“false”记为false，“false”记为false。
（1）填空：“如图，如果false，false，那么false”是_______________命题；（填“真”或“假”）
（2）以false中的两个为条件，第三个为结论，写出一个真命题，并加以证明。
22．如图，已知false，点false是false边上的一点．
（1）在false的右侧作false（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线false与直线false的位置关系，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．
24．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD．
（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？
（2）求证：EG＝FG．
25．如图，在false和false中，false、false、false、false在同一直线上，下面有四个条件：
①false；②false；③false；④false.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.
解：我写的真命题是：
已知：____________________________________________；
求证：___________.（注：不能只填序号）
证明如下：
26．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P放在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．
27．如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．
28．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．
29．已知：如图，点false，false在线段false上，且false，false，false，求证：false．
30．已知：在false中，false，false，直线false经过点false，false直线false，false直线false，垂足分别为点false、false．
（1）证明：false；
（2）false，false，求false的长．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用全等三角形的性质即可解答.
【详解】
解：已知ΔABC≌ΔABC，
则∠AC B=∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
又因为CB=C B，且∠B=60°，
故三角形C BB是等边三角形，
∠BCB=60°，
故∠ACB=60°+80°=140°，
答案选D.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，熟悉掌握是解题关键.
2．C
【解析】
【分析】
【详解】
∵AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CDB；
∴AD=CB，
∴△BAC≌△DCA（SSS）；
∴∠BAD=∠DCB，
∵AB=CD，∠BOA=∠DOC（对顶角相等），
∴△BOA≌△DOC；
∴有3对全等三角形．
故选C
3．C
【解析】
【分析】
本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
4．D
【解析】
试题分析：在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵BC=DC，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠ACD，∵∠1+∠ACD=90°，∴∠2+∠1=90°，∵∠1=40°，∴∠2=50°，故选B．
考点：全等三角形的判定与性质．
5．A
【解析】
【分析】
根据已知条件利用“边边边”证明△MOC≌△NOC，即可求解．
【详解】
解：∵在△ONC和△OMC中false，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意抽象出几何图形和条件是解题关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义对（1）进行判断；根据绝对值的意义对（2）进行判断；根据平行线的判定方法对（3）进行判断；根据全等三角形的判定方法对（4）（5））进行判断．
【详解】
解：无限不循环小数是无理数，所以（1）错误；
?绝对值等于它本身的数是非负数，所以（2）正确；
?在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以（3）错误；
?有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以（4）错误；
面积相等的两个三角形不一定全等，所以（5）错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
7．A
【解析】
【分析】
由题意可以得到△CAB≌△CDE，从而AB=ED=58 米．
【详解】
由题意知，在△CAB和△CDE中，false
∴△CAB≌△CDE，∴AB=ED=58 米，
故选A．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，根据三角形全等的判定定理构造全等三角形是解题关键．
8．C
【解析】
【分析】
共有五对．分别为△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，△ABO≌△ACO，△BOD≌△COE，△BCD≌△CBE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【详解】
∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DOB＝∠EOC，
∵BO＝CO，
∴△DOB≌△EOC；
∴OD＝OE，BD＝CE；
∵OA＝OA，OD＝OE，∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴△ADO≌△AEO；
∴AD＝AE，∠DAO＝∠EAO；
∵AB＝AC，∠DAO＝∠EAO，OA＝OA，
∴△ABO≌△ACO；
∵AD＝AE，AC＝AB，∠BAE＝∠CAD，
∴△ADC≌△ABE（SSS）．
∴CD=BE
∵∠BDC=∠CEB=90°，BC=CB
∴△BCD≌△CBE（HL）
所以共有五对全等三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．A
【解析】
【分析】
由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可以证得△OCD≌△O’C’D’ ．
【详解】
解：由作法可知，OD=O’D’，OC=O’C’，CD=C’D’，那么△OCD≌△O’C’D’，则∠A’O’B’=∠AOB，所以利用的条件是SSS．
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应角相等，解体的关键是根据作法找到已知条件．
10．C
【解析】
【分析】
延长AD交BC于E，由AAS证明△ABD≌△EBD，得出AD=ED，得出△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=20，即可得出结果．
【详解】
解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中，
false
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD=ED，
∴△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=20，
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积-△CDE的面积=45-20=25，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AD=ED是解决问题的关键．
11．6或12
【解析】
【分析】
本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12，P、C重合．
【详解】
解：①当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
false，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即false；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
false ,
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即false，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP=6或12．
故答案为6或12．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
12．BD=AC或∠BAD=∠ABC
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定，满足SAS，SSS即可.
【详解】
解：∵AD=BC，AB=AB，
∴只需添加BD=AC或∠BAD=∠ABC，
可以利用SSS或SAS证明△ABD≌△BAC；
故答案为BD=AC或∠BAD=∠ABC.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
13．>
【解析】
【分析】
在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n>b+c．
【详解】
在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACP和△AEP中,false
∴△ACP≌△AEP(SAS)，
∴PE=PC，
在△PBE中，PB+PE>AB+AE，
∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，
∴m+n>b+c.
故答案为false
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.
14．102°
【解析】
【分析】
在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】
解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，
∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，
又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDC＝∠FDC，
∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠DFC=102°；
故答案为：102°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
15．false
【解析】
【分析】
利用中线的性质，作辅助线AD=DE，构造全等三角形false，再有全等三角形对应边相等的性质，解得false，最后由三角形三边关系解题即可．
【详解】
如图，AD为BC边上的中线,延长AD至点E，使得AD=DE
在△ADB和△EDC中
false
false
false
false
false
false
故答案为：false．
【点睛】
本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．
16．false
【解析】
【分析】
如图：分别过B和A作y轴的垂线，垂足分别为D、E;根据余角的性质，可得∠DBC=∠ECA，然后运用AAS判定△BCD≌△CAE，可得CE=BD=6，AE=CD=OD-OC=4即可解答．
【详解】
解：分别过B和A作y轴的垂线，垂足分别为D、E
∴∠BDC=∠AEC=90°
∵AC=BC，∠BCA=90°，∠BCD+ ∠ECA=90°
又∵∠CBD+ ∠BCD=90°
∴∠CBD= ∠ECA
在△BCD和△CAE中
∠BDC=∠AEC=90°，∠CBD= ∠ECA，AC=BC
∴△BCD≌△CAE（AAS）
∴CE=BD=6，AE=CD=OD-OC=4
∴OE=CE-0C=6-2=4
∴B点坐标为（4，-4）．
故答案为（4，-4）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答本题的关键．
17．AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADC＝∠AEB等
【解析】
【分析】
根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．
【详解】
∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠B＝∠C，此时满足AAS，
故答案为：AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠B＝∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
18．5
【解析】
【分析】
首先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD＝CD，AD＝BD，根据BD＝8，false，即可算出AF的长．
【详解】
解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠FDB＝90°，∠AEB=90°
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△ADC和△BDF中
false
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴FD＝CD，AD＝BD，
∵CD＝3，BD＝8，
∴FD＝3，AD＝8，
∴AF＝AD-DF=8?3＝5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法：AAS、SSS、ASA、SAS．
19．false
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标．
【详解】
解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°，
∴∠OAB=∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
false，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD=AO，DC=OB．
∵A（3，0），B（0，-1），
∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4，
∴点C的坐标为（1，-4）．
故答案为：（1，-4）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键．
20．②④
【解析】
【分析】
由全等三角形的性质和判定逐项判断即可.
【详解】
①两个全等三角形面积相等，但是面积相等的两个直角三角形不一定全等，故①错误；
②两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等，②正确，理由如下：
在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD=A'D'，AB=A'B'，BC=B'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'
证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BC=2BD， B'C'= 2B'D'，
∵BC=B'C'，
∴BD=B'D'，
∵AB=A'B'，AD=A'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）
③斜边上的中线分别相等的两个直角三角只能得到斜边对应相等，全等的条件只有斜边和直角，不能证明全等，故③错误；
④两角及第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等，正确，理由如下：
已知：∠ABC=∠A′B′C′，∠A=∠A′，CD、C′D′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，且CD=C′D′，先根据题目要求画出图形，利用三角形内角和定理求证∠ACB=∠A′C′B′，然后再利用（AAS）可证△DCB≌△D′C′B′，可得BC=B′C′，再利用（AAS）或（SAS）均可证明△ABC≌△A′B′C′．
综上所述②④正确；
故答案为：②④
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解答此题的关键是先根据题目要求列出已知条件，画出图形，然后熟练应用全等三角形的判定定理．
21．（1）假；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理进行分析即可；（2）构造AAS型可得结论.
【详解】
（1）因为如果false，false，运用SSA没办法证false，不能证false，
所以是假命题.
（2）如图，如果false，那么false
（或如图，如果false，false，那么false．）
证明：如图，∵false，
∴false．
在false与false中，
false，
∴false，
∴false．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
22．（1）见解析；（2）false，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）首先以相同的半径分别过O、P两点画弧EF、MN；然后以线段EF为半径，以M点为圆心画弧，与弧MN交于点N，最后根据不重合的两点确定一条直线的性质，过点P、N做射线PC，∠APC即为所要求作的角；
（2）由（1）知所作的新角与∠AOB大小相等，且为同位角，所以直线false与直线false的位置关系一定是平行．
【详解】
解：（1）如图，false就是所要求作的角
（2）直线false与直线false的位置关系为：false
理由如下：
由（1）作图可得：false,
∴false．
【点睛】
本题主要考查了尺轨作图，具体为作一个角等于已知角，及用同位角相等判定两直线平行的知识．
23．（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
(1)由CF∥AB，可得false ，false，又由E是边AC的中点，可得△ADE≌△CFE；
（2）由（1）CF=AD=7，AE=CE=5，由∠B=∠ACB，可得AB=AC=2CE=10，可得DB的长.
【详解】
解：
（1）证明：∵E是边AC的中点,
∴AE=CE .
又∵CF∥AB,
∴false ，false.
在△ADE与△CFE中,false
∴△ADE≌△CFE .
（2）解：∵△ADE≌△CFE ，CF=7,
∴CF=AD=7.
又∵∠B=∠ACB,
∴AB=AC.
∵E是边AC的中点，CE=5,
∴AC=2CE=10.
∴AB=10.
∴DB=ABfalseAD=10false7=3.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键
24．（1）△ABF与△CDE全等，理由见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AE＝CF可得AF＝CE，再用HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE即可；
（2）先用AAS证明△DEG≌△BFG，再根据全等三角形的性质即得结论.
【详解】
（1）解：△ABF与△CDE全等，理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，false，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴BF＝DE，
在△DEG和△BFG中，false，
∴△DEG≌△BFG（AAS），
∴EG＝FG．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，重点考查了用HL证明两个直角三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
25．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AB∥DE.证明见解析.或已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．证明见解析.
【解析】
【分析】
由BE=CF?BC=EF，所以，由①②④，可用SSS?△ABC≌△DEF?∠ABC=∠DEF? AB∥DE；由①③④，可用SAS?△ABC≌△DEF?AC=DF；由于不存在ASS的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．
【详解】
解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．
求证：AB∥DE．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵BE=CF，
∴BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF．
∴ AB∥DE.
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
求证：AC=DF．
证明：∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC和△DEF中
∵BE=CF，∴BC=EF.
又∵AB=DE，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
26．PC=PD，证明见解析
【解析】
【分析】
作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F，易证△ PEO≌△PFO，得出∠CPE=∠DPF，再证△PEC≌△PFD即可.
【详解】
解：PC=PD
证明：作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F．
则有 ∠PEC=∠PFD=90°
即 ∠PEO=∠PFD=90°
∵OM平分∠AOB
∴∠POE=∠POF
于是 在△PEO和△PFO中
∵false
∴ △ PEO≌△PFO(AAS)
∴ PE=PF(全等三角形的对应边相等)
∵ ∠CPD= 90 ° 即 ∠CPE+∠EPD=90°
易知∠ EPF= 90 ° 即∠ DPF+∠EPD=90°
∴ ∠CPE=∠DPF
于是 在△PEC和△PFD中
∵false
∴ △PEC≌△PFD(AAS)
∴ PC=PD(全等三角形的对应边相等)
27．见解析．
【解析】
【分析】
先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．
【详解】
∵CE=FB，
∴CE+EF=FB+EF，
即CF=BE，
在△ABE和△DCF中，false
∴△ABE≌△DCF（SSS），
∴∠B=∠C，
在△ABF和△DCE中false
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．
28．（1）见解析；（2）30°
【解析】
【分析】
（1）根据false，可以得到false，然后根据题目中的条件，利用全等三角形的判定即可证明结论成立；
（2）根据邻补角互补和全等三角形的性质可以得到false的度数．
【详解】
解：（1）证明：false，
false，
false，
在false和false中，
false，
false；
（2）false，false，
false，
由（1）知，false，
false，
false．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
29．见解析
【解析】
【分析】
由false可得∠B=∠DEF，由false可得BC=EF，进而可根据AAS证明△ABC≌△DEF，于是可得∠ACB=∠F，再根据平行线的判定即得结论．
【详解】
证明：∵false，
∴∠B=∠DEF，
∵false，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∵false，∠B=∠DEF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴∠ACB=∠F，
∴false．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握以上基本知识是解题的关键．
30．（1）见解析；（2）false．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义可得false，根据余角的性质可得false，然后根据AAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和线段的和差解答即可．
【详解】
（1）证明：∵false，false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
在false和false中，
false，
∴false；
（2）∵false，
∴false，false，
∴false．
【点睛】
本题重点考查全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
一、选择题
1．如图，ΔABC≌ΔABC，点B在AB边上，线段AB，AC交于点D．若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠ACB的度数为( )
A．100° B．120° C．135° D．140°
2．如图所示，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中全等三角形共有( )
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事方法是（ ?）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
4．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．下列命题：（1）无限小数是无理数（2）绝对值等于它本身的数是非负数（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，（5）面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，有一塘，要测池塘两端false，false间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘就可以直接到达点false，false的点false，连接false并延长至false，使false，连接false并延长至false，使false，连接false．若量出false米，则false，false间的距离为（ ）
A．false米 B．false米 C．false米 D．false米
8．如图，false，垂足分别为false、false、false相交于点false，则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ）．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
10．如图所示，false中，false平分角false，false垂直于false，false的面积为45，false的面积为20，则false的面积等于（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP= ______ ．
12．如图点C，D在AB同侧，AD=BC，添加一个条件____________就能使△ABD≌△BAC．
13．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，设 PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则 m＋n_____b＋c(填“＞”“＜”或“＝”)．
14．如图， false是false的角平分线，延长false至点false，使false，若false，false， 则false__________．
15．在false中，false是false边上的中线，若false，则false长的取值范围是_________．
16．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点false的坐标为false，另一个顶点false的坐标为false，则点false的坐标为_______．
17．如图，已知 false，请你添加一个条件，使得false，你添加的条件是______．
18．如图，在false中，false是false边上的高，false是false边上的高，且false，false交于点false，若false，BD=8，false，则线段false的长度为______．
19．如图，把false放置在平面直角坐标系中，已知false，false，false，false，点false在第四象限，则点false的坐标是______．
20．下面四个命题：①面积相等的两个直角三角形全等；②两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线分别相等的两个直角三角形全等；④两角及第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等．其中正确的命题为______．
三、解答题
21．如图，分别将“false”记为false，“false”记为false，“false”记为false。
（1）填空：“如图，如果false，false，那么false”是_______________命题；（填“真”或“假”）
（2）以false中的两个为条件，第三个为结论，写出一个真命题，并加以证明。
22．如图，已知false，点false是false边上的一点．
（1）在false的右侧作false（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线false与直线false的位置关系，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．
24．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD．
（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？
（2）求证：EG＝FG．
25．如图，在false和false中，false、false、false、false在同一直线上，下面有四个条件：
①false；②false；③false；④false.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.
解：我写的真命题是：
已知：____________________________________________；
求证：___________.（注：不能只填序号）
证明如下：
26．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P放在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．
27．如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．
28．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．
29．已知：如图，点false，false在线段false上，且false，false，false，求证：false．
30．已知：在false中，false，false，直线false经过点false，false直线false，false直线false，垂足分别为点false、false．
（1）证明：false；
（2）false，false，求false的长．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用全等三角形的性质即可解答.
【详解】
解：已知ΔABC≌ΔABC，
则∠AC B=∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
又因为CB=C B，且∠B=60°，
故三角形C BB是等边三角形，
∠BCB=60°，
故∠ACB=60°+80°=140°，
答案选D.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，熟悉掌握是解题关键.
2．C
【解析】
【分析】
【详解】
∵AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CDB；
∴AD=CB，
∴△BAC≌△DCA（SSS）；
∴∠BAD=∠DCB，
∵AB=CD，∠BOA=∠DOC（对顶角相等），
∴△BOA≌△DOC；
∴有3对全等三角形．
故选C
3．C
【解析】
【分析】
本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
4．D
【解析】
试题分析：在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵BC=DC，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠ACD，∵∠1+∠ACD=90°，∴∠2+∠1=90°，∵∠1=40°，∴∠2=50°，故选B．
考点：全等三角形的判定与性质．
5．A
【解析】
【分析】
根据已知条件利用“边边边”证明△MOC≌△NOC，即可求解．
【详解】
解：∵在△ONC和△OMC中false，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意抽象出几何图形和条件是解题关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义对（1）进行判断；根据绝对值的意义对（2）进行判断；根据平行线的判定方法对（3）进行判断；根据全等三角形的判定方法对（4）（5））进行判断．
【详解】
解：无限不循环小数是无理数，所以（1）错误；
?绝对值等于它本身的数是非负数，所以（2）正确；
?在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以（3）错误；
?有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以（4）错误；
面积相等的两个三角形不一定全等，所以（5）错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
7．A
【解析】
【分析】
由题意可以得到△CAB≌△CDE，从而AB=ED=58 米．
【详解】
由题意知，在△CAB和△CDE中，false
∴△CAB≌△CDE，∴AB=ED=58 米，
故选A．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，根据三角形全等的判定定理构造全等三角形是解题关键．
8．C
【解析】
【分析】
共有五对．分别为△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，△ABO≌△ACO，△BOD≌△COE，△BCD≌△CBE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【详解】
∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DOB＝∠EOC，
∵BO＝CO，
∴△DOB≌△EOC；
∴OD＝OE，BD＝CE；
∵OA＝OA，OD＝OE，∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴△ADO≌△AEO；
∴AD＝AE，∠DAO＝∠EAO；
∵AB＝AC，∠DAO＝∠EAO，OA＝OA，
∴△ABO≌△ACO；
∵AD＝AE，AC＝AB，∠BAE＝∠CAD，
∴△ADC≌△ABE（SSS）．
∴CD=BE
∵∠BDC=∠CEB=90°，BC=CB
∴△BCD≌△CBE（HL）
所以共有五对全等三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．A
【解析】
【分析】
由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可以证得△OCD≌△O’C’D’ ．
【详解】
解：由作法可知，OD=O’D’，OC=O’C’，CD=C’D’，那么△OCD≌△O’C’D’，则∠A’O’B’=∠AOB，所以利用的条件是SSS．
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应角相等，解体的关键是根据作法找到已知条件．
10．C
【解析】
【分析】
延长AD交BC于E，由AAS证明△ABD≌△EBD，得出AD=ED，得出△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=20，即可得出结果．
【详解】
解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中，
false
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD=ED，
∴△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=20，
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积-△CDE的面积=45-20=25，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AD=ED是解决问题的关键．
11．6或12
【解析】
【分析】
本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12，P、C重合．
【详解】
解：①当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
false，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即false；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
false ,
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即false，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP=6或12．
故答案为6或12．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
12．BD=AC或∠BAD=∠ABC
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定，满足SAS，SSS即可.
【详解】
解：∵AD=BC，AB=AB，
∴只需添加BD=AC或∠BAD=∠ABC，
可以利用SSS或SAS证明△ABD≌△BAC；
故答案为BD=AC或∠BAD=∠ABC.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
13．>
【解析】
【分析】
在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n>b+c．
【详解】
在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACP和△AEP中,false
∴△ACP≌△AEP(SAS)，
∴PE=PC，
在△PBE中，PB+PE>AB+AE，
∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，
∴m+n>b+c.
故答案为false
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.
14．102°
【解析】
【分析】
在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】
解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，
∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，
又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDC＝∠FDC，
∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠DFC=102°；
故答案为：102°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
15．false
【解析】
【分析】
利用中线的性质，作辅助线AD=DE，构造全等三角形false，再有全等三角形对应边相等的性质，解得false，最后由三角形三边关系解题即可．
【详解】
如图，AD为BC边上的中线,延长AD至点E，使得AD=DE
在△ADB和△EDC中
false
false
false
false
false
false
故答案为：false．
【点睛】
本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．
16．false
【解析】
【分析】
如图：分别过B和A作y轴的垂线，垂足分别为D、E;根据余角的性质，可得∠DBC=∠ECA，然后运用AAS判定△BCD≌△CAE，可得CE=BD=6，AE=CD=OD-OC=4即可解答．
【详解】
解：分别过B和A作y轴的垂线，垂足分别为D、E
∴∠BDC=∠AEC=90°
∵AC=BC，∠BCA=90°，∠BCD+ ∠ECA=90°
又∵∠CBD+ ∠BCD=90°
∴∠CBD= ∠ECA
在△BCD和△CAE中
∠BDC=∠AEC=90°，∠CBD= ∠ECA，AC=BC
∴△BCD≌△CAE（AAS）
∴CE=BD=6，AE=CD=OD-OC=4
∴OE=CE-0C=6-2=4
∴B点坐标为（4，-4）．
故答案为（4，-4）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答本题的关键．
17．AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADC＝∠AEB等
【解析】
【分析】
根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．
【详解】
∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；
添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；
添加条件∠B＝∠C，此时满足AAS，
故答案为：AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠B＝∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
18．5
【解析】
【分析】
首先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD＝CD，AD＝BD，根据BD＝8，false，即可算出AF的长．
【详解】
解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠FDB＝90°，∠AEB=90°
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△ADC和△BDF中
false
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴FD＝CD，AD＝BD，
∵CD＝3，BD＝8，
∴FD＝3，AD＝8，
∴AF＝AD-DF=8?3＝5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法：AAS、SSS、ASA、SAS．
19．false
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标．
【详解】
解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°，
∴∠OAB=∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
false，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD=AO，DC=OB．
∵A（3，0），B（0，-1），
∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4，
∴点C的坐标为（1，-4）．
故答案为：（1，-4）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键．
20．②④
【解析】
【分析】
由全等三角形的性质和判定逐项判断即可.
【详解】
①两个全等三角形面积相等，但是面积相等的两个直角三角形不一定全等，故①错误；
②两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等，②正确，理由如下：
在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD=A'D'，AB=A'B'，BC=B'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'
证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BC=2BD， B'C'= 2B'D'，
∵BC=B'C'，
∴BD=B'D'，
∵AB=A'B'，AD=A'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）
③斜边上的中线分别相等的两个直角三角只能得到斜边对应相等，全等的条件只有斜边和直角，不能证明全等，故③错误；
④两角及第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等，正确，理由如下：
已知：∠ABC=∠A′B′C′，∠A=∠A′，CD、C′D′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，且CD=C′D′，先根据题目要求画出图形，利用三角形内角和定理求证∠ACB=∠A′C′B′，然后再利用（AAS）可证△DCB≌△D′C′B′，可得BC=B′C′，再利用（AAS）或（SAS）均可证明△ABC≌△A′B′C′．
综上所述②④正确；
故答案为：②④
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解答此题的关键是先根据题目要求列出已知条件，画出图形，然后熟练应用全等三角形的判定定理．
21．（1）假；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理进行分析即可；（2）构造AAS型可得结论.
【详解】
（1）因为如果false，false，运用SSA没办法证false，不能证false，
所以是假命题.
（2）如图，如果false，那么false
（或如图，如果false，false，那么false．）
证明：如图，∵false，
∴false．
在false与false中，
false，
∴false，
∴false．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
22．（1）见解析；（2）false，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）首先以相同的半径分别过O、P两点画弧EF、MN；然后以线段EF为半径，以M点为圆心画弧，与弧MN交于点N，最后根据不重合的两点确定一条直线的性质，过点P、N做射线PC，∠APC即为所要求作的角；
（2）由（1）知所作的新角与∠AOB大小相等，且为同位角，所以直线false与直线false的位置关系一定是平行．
【详解】
解：（1）如图，false就是所要求作的角
（2）直线false与直线false的位置关系为：false
理由如下：
由（1）作图可得：false,
∴false．
【点睛】
本题主要考查了尺轨作图，具体为作一个角等于已知角，及用同位角相等判定两直线平行的知识．
23．（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
(1)由CF∥AB，可得false ，false，又由E是边AC的中点，可得△ADE≌△CFE；
（2）由（1）CF=AD=7，AE=CE=5，由∠B=∠ACB，可得AB=AC=2CE=10，可得DB的长.
【详解】
解：
（1）证明：∵E是边AC的中点,
∴AE=CE .
又∵CF∥AB,
∴false ，false.
在△ADE与△CFE中,false
∴△ADE≌△CFE .
（2）解：∵△ADE≌△CFE ，CF=7,
∴CF=AD=7.
又∵∠B=∠ACB,
∴AB=AC.
∵E是边AC的中点，CE=5,
∴AC=2CE=10.
∴AB=10.
∴DB=ABfalseAD=10false7=3.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键
24．（1）△ABF与△CDE全等，理由见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AE＝CF可得AF＝CE，再用HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE即可；
（2）先用AAS证明△DEG≌△BFG，再根据全等三角形的性质即得结论.
【详解】
（1）解：△ABF与△CDE全等，理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，false，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴BF＝DE，
在△DEG和△BFG中，false，
∴△DEG≌△BFG（AAS），
∴EG＝FG．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，重点考查了用HL证明两个直角三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
25．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AB∥DE.证明见解析.或已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．证明见解析.
【解析】
【分析】
由BE=CF?BC=EF，所以，由①②④，可用SSS?△ABC≌△DEF?∠ABC=∠DEF? AB∥DE；由①③④，可用SAS?△ABC≌△DEF?AC=DF；由于不存在ASS的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．
【详解】
解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．
求证：AB∥DE．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵BE=CF，
∴BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF．
∴ AB∥DE.
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
求证：AC=DF．
证明：∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC和△DEF中
∵BE=CF，∴BC=EF.
又∵AB=DE，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
26．PC=PD，证明见解析
【解析】
【分析】
作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F，易证△ PEO≌△PFO，得出∠CPE=∠DPF，再证△PEC≌△PFD即可.
【详解】
解：PC=PD
证明：作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F．
则有 ∠PEC=∠PFD=90°
即 ∠PEO=∠PFD=90°
∵OM平分∠AOB
∴∠POE=∠POF
于是 在△PEO和△PFO中
∵false
∴ △ PEO≌△PFO(AAS)
∴ PE=PF(全等三角形的对应边相等)
∵ ∠CPD= 90 ° 即 ∠CPE+∠EPD=90°
易知∠ EPF= 90 ° 即∠ DPF+∠EPD=90°
∴ ∠CPE=∠DPF
于是 在△PEC和△PFD中
∵false
∴ △PEC≌△PFD(AAS)
∴ PC=PD(全等三角形的对应边相等)
27．见解析．
【解析】
【分析】
先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．
【详解】
∵CE=FB，
∴CE+EF=FB+EF，
即CF=BE，
在△ABE和△DCF中，false
∴△ABE≌△DCF（SSS），
∴∠B=∠C，
在△ABF和△DCE中false
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．
28．（1）见解析；（2）30°
【解析】
【分析】
（1）根据false，可以得到false，然后根据题目中的条件，利用全等三角形的判定即可证明结论成立；
（2）根据邻补角互补和全等三角形的性质可以得到false的度数．
【详解】
解：（1）证明：false，
false，
false，
在false和false中，
false，
false；
（2）false，false，
false，
由（1）知，false，
false，
false．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
29．见解析
【解析】
【分析】
由false可得∠B=∠DEF，由false可得BC=EF，进而可根据AAS证明△ABC≌△DEF，于是可得∠ACB=∠F，再根据平行线的判定即得结论．
【详解】
证明：∵false，
∴∠B=∠DEF，
∵false，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∵false，∠B=∠DEF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴∠ACB=∠F，
∴false．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握以上基本知识是解题的关键．
30．（1）见解析；（2）false．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义可得false，根据余角的性质可得false，然后根据AAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和线段的和差解答即可．
【详解】
（1）证明：∵false，false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
在false和false中，
false，
∴false；
（2）∵false，
∴false，false，
∴false．
【点睛】
本题重点考查全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．