2020-2021学年度人教版八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质课时练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度人教版八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质课时练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-07 20:07:14 | ||
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文档简介
2020-2021学年度人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质课时练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于falseEF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为( )
A．40° B．55° C．65° D．75°
2．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
4．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
5．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④BE=DE；⑤SBDE：S△ACD=BD：AC，其中正确的个数（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如图，射线false是false的角平分线，D是射线false上一点，false于点P，false，若点Q是射线false上一点，false，则false的面积是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
8．在三角形内，到三条边距离相等的点是这个三角形( )的交点
A．三条角平分线 B．三条高线 C．三条中线 D．三边垂直平分线
9．如图，false，false，则（ ）
A．false垂直平分false B．false垂直平分false
C．false平分false D．以上结论均不对
10．三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，false的三边false的长分别为false，点false是false三个内角平分线的交点，则false_____．
12．如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是_____．
13．如图，AP平分∠NAM，PC＝PB，AB＞AC，PD⊥AB于D，∠DPB＝50°，则∠ACP的度数是________．
14．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是________；
15．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则false︰false︰false等于____．
16．如图，在矩形false中，false，以false为圆心，任意长为半径画弧交false于false，再分别以false为圆心，大于false为半径画弧，两弧交于点false，连接false交边false于false则false的周长为_________．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于__．
18．如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点．△ABP的面积是3，那么三角形PCD的面积是________
19．如图，在△ABC中，false，AD平分false，DEfalseAB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③false；④AD平分false；其中正确的序号是______．
20．如图，在false中，false，false平分false，已知false，false，则false的面积是______．
三、解答题
21．如图，①ABfalseCD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC．
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
22．如图，在false中，false，false．
（1）作false的角平分线BE（点E在AC上；用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求false的度数．
23．如图，false中，false，false中，false，且false，当把两个三角形如图①放置时，有false．（不需证明）
（1）当把false绕点false旋转到图②③④的情况，其他条件不变，false和false还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；
（2）若图④中false和false交于点false，连接false，求证：false平分false．
24．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．(证明注明理由)
25．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β
（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
26．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，
(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证：BM=CN；
(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM、CN与AC之间的数量关系_______．
(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，∠MAN+MPN=180°，若AC：PC=2：1，PC=4，求四边形ANPM的面积．
27．如图，等边false中，D为false边中点，false是false的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）作false的平分线false；
（2）作false，且false交false于点E；
（3）在（1），（2）的条件下，可判断false与false的数量关系是__________；请说明理由．
28．如图，在△ABC中，false．
（1）尺规作图：作false的平分线交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知false，求false的度数．
29．已知如图1，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE．
（1）求证：EM∥FN；
（2）如图2，∠DFE的平分线交EM于G，求∠EGF的度数；
（3）在第（2）的条件下，如图3，∠BEG、∠DFG的平分线交于H点，试问：∠H与∠G的度数是否存在某种等量关系？证明你的结论，并根据你的结论回答：若∠BEH、∠DFH的平分线交于I点，写出∠I与∠G的度数关系（不需证明）．
30．已知，false中，false于点false，false．
（1）如图1，求证：false；
（2）如图2，点false为false外一点，false，若false平分false，求证：false；
（3）如图3，在（2）的条件下，若false，false，求false的面积．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，
∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，
故选C．
考点：作图—基本作图．
2．A
【解析】
【分析】
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，根据角平分线性质得出PQ=PR，即可得出答案．
【详解】
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，
∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，
∴PQ=PW，PW=PR，
∴PR=PQ，
∵点P到AC的距离为4，
∴PQ=PR=4，
则点P到AB的距离为4，
故选A．
【点睛】
本题考查了角平分线性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．B
【解析】
【分析】
作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】
解：作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG＝false×5×2＝5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质进行判断即可；
【详解】
解：如图，C点到OA、OB的距离相等，
所以OC平分∠AOB，
所以Q在∠AOB的平分线．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，准确判断是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.
【详解】
如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选B.
【点睛】
本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.
6．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，可得CD＝ED，易证得△ADC≌△ADE，可得AC＋BE＝AB；由等角的余角相等，可证得∠BDE＝∠BAC；然后由∠B的度数不确定，可得BE不一定等于DE；又由CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
【详解】
解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE＝∠BAC；
④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤错误，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．C
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥OB，由角平分线性质，得到DE=DP=5，然后得到△ODQ的面积.
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥OB，
∵false，DE⊥OB，射线false是false的角平分线，
∴DE=DP=5，
∴△ODQ的面积=false；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【详解】
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
该题考查的是角平分线的性质和判定，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为Ｄ．
9．B
【解析】
【分析】
根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断AB垂直平分CD．
【详解】
解：∵AC＝AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如下图所示，P1、P2、P3分别是三条公路围成的三角形外角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P1到三条公路的距离相等；P2到三条公路的距离相等；P3到三条公路的距离相等；P4是三条公路围成的三角形内角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P4到三条公路的距离相等．
∴可供选择的地址有4个
故选D．
【点睛】
此题考查的是角平分线性质的应用，掌握角平分线的性质是解题关键．
11．false
【解析】
【分析】
过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线性质求出PD=PE=PF，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：如图，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵P为△ABC三条角平分线的交点，
∴PD=PE=PF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，
∴falsefalse
=AB：BC：AC
=30：40：15
=6：8：3．
故答案为：6：8：3．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．7
【解析】
【分析】
过点C作CF⊥AB于F，由角平分线的性质得CD=CF，CE=CF，于是可证△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴CD=CF，CE=CF，
∵AC=AC，BC=BC，
∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，
∴AF=AD=5，BF=BE=2，
∴AB=AF+BF=7．
故答案是：7．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13．140°
【解析】
【分析】
如图，作PT⊥AN于T．由Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），推出∠PCT=∠PBD，只要求出∠PBD即可解决问题；
【详解】
解：如图，作PT⊥AN于T．
∵PA平分∠MAN，PT⊥AN，PD⊥AM，
∴PT=PD，∠PTC=∠PDB=90°，
∵PC=PB，
∴Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），
∴∠PCT=∠PBD，
∵∠PBD=90°-50°=40°，
∴∠PCT=40°，
∴∠ACP=180°-40°=140°，
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．11
【解析】
【分析】
作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，再根据S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9，得出OM+ON的值，从而求出△MON 的周长.
【详解】
解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=false·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
∴S△OPM=falseOM·PG=falseOMfalse2=OM；S△OPN=falseON·PE=falseONfalse2=ON，
∵S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9
∴OM+ON=9，
∴△MON 的周长=OM+ON+MN =9+2 =11.
故答案为11.
【点睛】
此题考查了角平分线的性质和三角形的面积，观察出S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN ，运用等积法是解题的关键.
15．6：8：3
【解析】
【分析】
由角平分线性质可知，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA边上的高相等，利用面积公式即可求解.
【详解】
解：过点P作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F
∵P是三条角平分线的交点
∴PD=PE=PF
∵AB=30，BC=40，CA=15
∴false︰false︰false=30∶40∶15=6∶8∶3
故答案为6∶8∶3.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等.
难度不大，作辅助线是关键.
16．15+3false
【解析】
【分析】
作false，根据角平分线的性质得到BE=EP，利用勾股定理求解即可；
【详解】
作false，根据题意可知AE是false的角平分线，
∴BE=EP，
在△ABE和△APE中，
false，
∴false，
∴AB=AP，
设BE=x，则PE=x，
∵false，
∴false，
∴false，false，
在Rt△PEC中，
false，
∴false，
解得false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false．
故答案是false．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析是解题的关键．
17．2
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出DE=CD即可．
【详解】
过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．
18．3
【解析】
【分析】
过点P作false于点E，false于点F，利用角平分线的性质证明这两个三角形的高相等，又因为底相等，所以面积相等．
【详解】
解：过点P作false于点E，false于点F，
∵OP平分false，
∴false，
∵false，false，false，
∴false．
故答案是：3．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
19．①②③④
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，∠ADC=∠ADE，然后逐一分析判断即可得解．
【详解】
解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
false ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，
∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键．
20．5
【解析】
【分析】
作DEfalseAB交AB于点E，由角平分线的性质可得CD=DE，根据三角形面积公式求出falseABD的面积即可．
【详解】
如图，作DEfalseAB交AB于点E，
falsefalse，
falseCDfalseAC，
falseAD平分falseBAC，
falseCD=DE=2，
falsefalse=false．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查角平分的性质以及三角形的面积公式，熟记角平分线的性质以及三角形面积公式是解题关键．
21．（1）条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④（答案四选一即可）；（2）真命题，理由见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．
（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题．
【详解】
（1）由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴ABfalseCD
当选取条件①③④，结论：②时
∵ABfalseCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵ABfalseCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵ABfalseCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，灵活运用内错角互补等量代换出角的和差关系是解决本题的关键．
22．（1）见解析；（2）95°
【解析】
【分析】
（1）依据角平分线的作法，即可得到△ABC的角平分线BE；
（2）依据三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠BEC的度数．
【详解】
（1）如图（满足“三弧一线”可得）
线段BE即为所求
（2）由（1）得，BE平分false
∵false
∴false
∵false
∴false
∵false
∴false
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及基本作图，解决问题的关键是掌握角平分线的作法．
23．（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证出△DCA≌△ECB，即可证出结论；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS证出△DCA≌△ECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论．
【详解】
解：（1）相等，证明图②如下
∵false
∴false
∴false
在△DCA和△ECB中
false
∴△DCA≌△ECB
∴false；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N
∵false
∴false
∴false
在△DCA和△ECB中
false
∴△DCA≌△ECB
∴CM=CN
∵CM⊥AD，CN⊥BE
∴false平分false
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键．
24．见解析
【解析】
【分析】
要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证．
【详解】
解：证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵AC∥DE，
∴∠1=∠3；
∵DC∥EF，
∴∠3=∠4；
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠5；
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；
（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，
∵α+β＝150°，
∴∠MBC+∠NDC＝150°，
（2）β﹣α＝90°
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG＝false∠MBC，∠CDG＝false∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG＝false∠MBC+false∠NDC＝false（∠MBC+∠NDC）＝false（α+β），
在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠BGD＝45°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°，
∴false（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，
∴β﹣α＝90°，
（3）平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE＝false∠MBC，∠CDH＝false∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH＝false∠MBC+false∠NDC＝false（∠MBC+∠NDC）＝false（α+β），
∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝false（α+β），
∵α＝β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝false（β+β）＝β，
∴∠CBE＝∠DHB，
∴BE∥DF．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．
26．（1）详见解析；（2）false；（3）32．
【解析】
【分析】
（1）证明false，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明false，得到false，结合图形证明即可；
（3）证明false，得到四边形false的面积false四边形false的面积，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明：false点false为false平分线上一点，false于false，false于false，
false，
在false和false中，
false，
false，
false；
（2）false，
理由如下：在false和false中，
false，
false，
false，
false，
故答案为：false；
（3）false，false，
false，
false，false，
false，
false，又false，
false，
在false和false中，
false，
false，
false四边形false的面积false四边形false的面积false．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）false，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（3）连接false，首先根据等边三角形的性质计算出false，false，进而得到false，然后证明false可得false，再由false，可得false是等边三角形，进而得到false．
【详解】
（1）尺规作图，如下图；
（2）尺规作图，如下图；
（3）false
理由如下：
如图，连接false
∵等边false中，D为false边中点，
∴false，false，
∵false，
∴false，
∵false，false为false的平分线，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
在false和false中，
∵false，false，false，
∴false，
∴false，
又∵false，
∴false是等边三角形，
∴false.
【点睛】
此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确掌握全等三角形的判定方法．
28．（1）见解析；（2）∠B=30°
【解析】
【分析】
（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于H、F，再分别以H、F为圆心，大于falseHF长为半径画弧，两弧交于点M，再画射线AM交CB于D；
（2）先根据角平分线定义、三角形内角和、三角形外角的性质得：∠B=∠ADC-∠BAD=30°．
【详解】
解：（1）如图所示：AD即为所求；
（2）∵false，false
∴false
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵false，
∴∠B=∠ADC-∠BAD=30°．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的基本作图，以及角平分线定义和三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的基本作图是关键．
29．（1）见解析；（2）90°；（3）∠I＝false∠G
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得出∠FEM＝∠EFN，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠BEF+∠DFE＝180°，由角平分线的性质得出∠GFE＝false∠DFE，∠GEF＝false∠BEF，则∠GFE+∠GEF＝false（∠BEF+∠DFE）＝90°，由三角形内角和定理即可得出结果；
（3）过点H作HN∥AB，则HN∥CD，得出∠EHN＝∠BEH，∠FHN＝∠DFH，推出∠H＝∠BEH+∠DFH，由（2）得∠G＝∠GFE+∠GEF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线的性质得出∠BEH＝false∠BEG，∠DFH＝false∠DFG，则∠H＝∠BEH+∠DFH＝false（∠BEG+∠DFG）＝false∠G，同理，∠I＝false∠H＝false∠G．
【详解】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE，
∵EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，
∴∠FEM＝∠EFN，
∴EM∥FN；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EM、FG分别平分∠BEF、∠DFE，
∴∠GFE＝false∠DFE，∠GEF＝false∠BEF，
∴∠GFE+∠GEF＝false（∠BEF+∠DFE）＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣（∠GFE+∠GEF）＝180°﹣90°＝90°；
（3）∠H＝false∠G；理由如下：
过点H作HN∥AB，如图3所示：
则HN∥CD，
∴∠EHN＝∠BEH，∠FHN＝∠DFH，
∴∠H＝∠BEH+∠DFH，
由（2）得：∠G＝∠GFE+∠GEF＝∠BEG+∠DFG，
∵EH、FH分别平分∠BEG、∠DFG，
∴∠BEH＝false∠BEG，∠DFH＝false∠DFG，
∴∠H＝∠BEH+∠DFH＝false（∠BEG+∠DFG）＝false∠G，
同理，∠I＝false∠H＝false×false∠G＝false∠G．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）9．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定“ASA”证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得∠ACB=∠DBC，根据平行线的性质可证得AC∥BD，再根据平行线的性质得∠DAC=∠ADB=90°，即可证得结论；
（3）过点A作AP⊥CD于P，由（1）中全等三角形的性质可得AB=AC，再由已知可得∠ADC=∠ABD，进而有∠ACP=∠BAD，然后根据全等三角形的判定证得△CPA≌△ADB，则有AP=BD=3，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）证明：∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
又∵∠HAB=∠HAC，AH=AH，
∴△ABH≌△ACH（ASA)；
（2）证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵△ABH≌△ACH，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC，
∴∠ACB=∠DBC，
∴AC∥BD，
∴∠DAC=∠ADB=90°，
∴AD⊥AC；
（3）如图，过点A作AP⊥DC于P，，则∠ADB=∠APC=90°，
∵△ABH≌△ACH，
∴AB=AC，
由（2）中知∠ABC=∠DBC，∠DAC=∠ADB=90°，
∵∠ADC=2∠ABC，
∴∠ADC=∠ABD，
∴∠ACP=∠BAD，
∴△CPA≌△ADB（AAS）,
∴AP=BD=3，
∴false．
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质、垂直定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质、等角的余角相等、三角形的面积，熟练掌握三角形的判定与性质是解答的关键．
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于falseEF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为( )
A．40° B．55° C．65° D．75°
2．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
4．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
5．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④BE=DE；⑤SBDE：S△ACD=BD：AC，其中正确的个数（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如图，射线false是false的角平分线，D是射线false上一点，false于点P，false，若点Q是射线false上一点，false，则false的面积是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
8．在三角形内，到三条边距离相等的点是这个三角形( )的交点
A．三条角平分线 B．三条高线 C．三条中线 D．三边垂直平分线
9．如图，false，false，则（ ）
A．false垂直平分false B．false垂直平分false
C．false平分false D．以上结论均不对
10．三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，false的三边false的长分别为false，点false是false三个内角平分线的交点，则false_____．
12．如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是_____．
13．如图，AP平分∠NAM，PC＝PB，AB＞AC，PD⊥AB于D，∠DPB＝50°，则∠ACP的度数是________．
14．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是________；
15．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则false︰false︰false等于____．
16．如图，在矩形false中，false，以false为圆心，任意长为半径画弧交false于false，再分别以false为圆心，大于false为半径画弧，两弧交于点false，连接false交边false于false则false的周长为_________．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于__．
18．如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点．△ABP的面积是3，那么三角形PCD的面积是________
19．如图，在△ABC中，false，AD平分false，DEfalseAB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③false；④AD平分false；其中正确的序号是______．
20．如图，在false中，false，false平分false，已知false，false，则false的面积是______．
三、解答题
21．如图，①ABfalseCD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC．
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
22．如图，在false中，false，false．
（1）作false的角平分线BE（点E在AC上；用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求false的度数．
23．如图，false中，false，false中，false，且false，当把两个三角形如图①放置时，有false．（不需证明）
（1）当把false绕点false旋转到图②③④的情况，其他条件不变，false和false还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；
（2）若图④中false和false交于点false，连接false，求证：false平分false．
24．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．(证明注明理由)
25．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β
（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
26．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，
(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证：BM=CN；
(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM、CN与AC之间的数量关系_______．
(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，∠MAN+MPN=180°，若AC：PC=2：1，PC=4，求四边形ANPM的面积．
27．如图，等边false中，D为false边中点，false是false的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）作false的平分线false；
（2）作false，且false交false于点E；
（3）在（1），（2）的条件下，可判断false与false的数量关系是__________；请说明理由．
28．如图，在△ABC中，false．
（1）尺规作图：作false的平分线交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知false，求false的度数．
29．已知如图1，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE．
（1）求证：EM∥FN；
（2）如图2，∠DFE的平分线交EM于G，求∠EGF的度数；
（3）在第（2）的条件下，如图3，∠BEG、∠DFG的平分线交于H点，试问：∠H与∠G的度数是否存在某种等量关系？证明你的结论，并根据你的结论回答：若∠BEH、∠DFH的平分线交于I点，写出∠I与∠G的度数关系（不需证明）．
30．已知，false中，false于点false，false．
（1）如图1，求证：false；
（2）如图2，点false为false外一点，false，若false平分false，求证：false；
（3）如图3，在（2）的条件下，若false，false，求false的面积．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，
∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，
故选C．
考点：作图—基本作图．
2．A
【解析】
【分析】
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，根据角平分线性质得出PQ=PR，即可得出答案．
【详解】
过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，
∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，
∴PQ=PW，PW=PR，
∴PR=PQ，
∵点P到AC的距离为4，
∴PQ=PR=4，
则点P到AB的距离为4，
故选A．
【点睛】
本题考查了角平分线性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．B
【解析】
【分析】
作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】
解：作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG＝false×5×2＝5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质进行判断即可；
【详解】
解：如图，C点到OA、OB的距离相等，
所以OC平分∠AOB，
所以Q在∠AOB的平分线．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，准确判断是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.
【详解】
如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选B.
【点睛】
本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.
6．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，可得CD＝ED，易证得△ADC≌△ADE，可得AC＋BE＝AB；由等角的余角相等，可证得∠BDE＝∠BAC；然后由∠B的度数不确定，可得BE不一定等于DE；又由CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
【详解】
解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE＝∠BAC；
④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤错误，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．C
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥OB，由角平分线性质，得到DE=DP=5，然后得到△ODQ的面积.
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥OB，
∵false，DE⊥OB，射线false是false的角平分线，
∴DE=DP=5，
∴△ODQ的面积=false；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【详解】
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
该题考查的是角平分线的性质和判定，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为Ｄ．
9．B
【解析】
【分析】
根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断AB垂直平分CD．
【详解】
解：∵AC＝AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如下图所示，P1、P2、P3分别是三条公路围成的三角形外角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P1到三条公路的距离相等；P2到三条公路的距离相等；P3到三条公路的距离相等；P4是三条公路围成的三角形内角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P4到三条公路的距离相等．
∴可供选择的地址有4个
故选D．
【点睛】
此题考查的是角平分线性质的应用，掌握角平分线的性质是解题关键．
11．false
【解析】
【分析】
过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线性质求出PD=PE=PF，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：如图，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵P为△ABC三条角平分线的交点，
∴PD=PE=PF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，
∴falsefalse
=AB：BC：AC
=30：40：15
=6：8：3．
故答案为：6：8：3．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．7
【解析】
【分析】
过点C作CF⊥AB于F，由角平分线的性质得CD=CF，CE=CF，于是可证△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴CD=CF，CE=CF，
∵AC=AC，BC=BC，
∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，
∴AF=AD=5，BF=BE=2，
∴AB=AF+BF=7．
故答案是：7．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13．140°
【解析】
【分析】
如图，作PT⊥AN于T．由Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），推出∠PCT=∠PBD，只要求出∠PBD即可解决问题；
【详解】
解：如图，作PT⊥AN于T．
∵PA平分∠MAN，PT⊥AN，PD⊥AM，
∴PT=PD，∠PTC=∠PDB=90°，
∵PC=PB，
∴Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），
∴∠PCT=∠PBD，
∵∠PBD=90°-50°=40°，
∴∠PCT=40°，
∴∠ACP=180°-40°=140°，
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．11
【解析】
【分析】
作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，再根据S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9，得出OM+ON的值，从而求出△MON 的周长.
【详解】
解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=false·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
∴S△OPM=falseOM·PG=falseOMfalse2=OM；S△OPN=falseON·PE=falseONfalse2=ON，
∵S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN =2+7=9
∴OM+ON=9，
∴△MON 的周长=OM+ON+MN =9+2 =11.
故答案为11.
【点睛】
此题考查了角平分线的性质和三角形的面积，观察出S△OPM +S△OPN =S△PMN +S△OMN ，运用等积法是解题的关键.
15．6：8：3
【解析】
【分析】
由角平分线性质可知，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA边上的高相等，利用面积公式即可求解.
【详解】
解：过点P作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F
∵P是三条角平分线的交点
∴PD=PE=PF
∵AB=30，BC=40，CA=15
∴false︰false︰false=30∶40∶15=6∶8∶3
故答案为6∶8∶3.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等.
难度不大，作辅助线是关键.
16．15+3false
【解析】
【分析】
作false，根据角平分线的性质得到BE=EP，利用勾股定理求解即可；
【详解】
作false，根据题意可知AE是false的角平分线，
∴BE=EP，
在△ABE和△APE中，
false，
∴false，
∴AB=AP，
设BE=x，则PE=x，
∵false，
∴false，
∴false，false，
在Rt△PEC中，
false，
∴false，
解得false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false．
故答案是false．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析是解题的关键．
17．2
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出DE=CD即可．
【详解】
过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．
18．3
【解析】
【分析】
过点P作false于点E，false于点F，利用角平分线的性质证明这两个三角形的高相等，又因为底相等，所以面积相等．
【详解】
解：过点P作false于点E，false于点F，
∵OP平分false，
∴false，
∵false，false，false，
∴false．
故答案是：3．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
19．①②③④
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，∠ADC=∠ADE，然后逐一分析判断即可得解．
【详解】
解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
false ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，
∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键．
20．5
【解析】
【分析】
作DEfalseAB交AB于点E，由角平分线的性质可得CD=DE，根据三角形面积公式求出falseABD的面积即可．
【详解】
如图，作DEfalseAB交AB于点E，
falsefalse，
falseCDfalseAC，
falseAD平分falseBAC，
falseCD=DE=2，
falsefalse=false．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查角平分的性质以及三角形的面积公式，熟记角平分线的性质以及三角形面积公式是解题关键．
21．（1）条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④（答案四选一即可）；（2）真命题，理由见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．
（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题．
【详解】
（1）由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴ABfalseCD
当选取条件①③④，结论：②时
∵ABfalseCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵ABfalseCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵ABfalseCD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，灵活运用内错角互补等量代换出角的和差关系是解决本题的关键．
22．（1）见解析；（2）95°
【解析】
【分析】
（1）依据角平分线的作法，即可得到△ABC的角平分线BE；
（2）依据三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠BEC的度数．
【详解】
（1）如图（满足“三弧一线”可得）
线段BE即为所求
（2）由（1）得，BE平分false
∵false
∴false
∵false
∴false
∵false
∴false
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及基本作图，解决问题的关键是掌握角平分线的作法．
23．（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证出△DCA≌△ECB，即可证出结论；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS证出△DCA≌△ECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论．
【详解】
解：（1）相等，证明图②如下
∵false
∴false
∴false
在△DCA和△ECB中
false
∴△DCA≌△ECB
∴false；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N
∵false
∴false
∴false
在△DCA和△ECB中
false
∴△DCA≌△ECB
∴CM=CN
∵CM⊥AD，CN⊥BE
∴false平分false
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键．
24．见解析
【解析】
【分析】
要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证．
【详解】
解：证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵AC∥DE，
∴∠1=∠3；
∵DC∥EF，
∴∠3=∠4；
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠5；
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；
（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，
∵α+β＝150°，
∴∠MBC+∠NDC＝150°，
（2）β﹣α＝90°
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG＝false∠MBC，∠CDG＝false∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG＝false∠MBC+false∠NDC＝false（∠MBC+∠NDC）＝false（α+β），
在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠BGD＝45°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°，
∴false（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，
∴β﹣α＝90°，
（3）平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE＝false∠MBC，∠CDH＝false∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH＝false∠MBC+false∠NDC＝false（∠MBC+∠NDC）＝false（α+β），
∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝false（α+β），
∵α＝β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝false（β+β）＝β，
∴∠CBE＝∠DHB，
∴BE∥DF．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．
26．（1）详见解析；（2）false；（3）32．
【解析】
【分析】
（1）证明false，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明false，得到false，结合图形证明即可；
（3）证明false，得到四边形false的面积false四边形false的面积，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明：false点false为false平分线上一点，false于false，false于false，
false，
在false和false中，
false，
false，
false；
（2）false，
理由如下：在false和false中，
false，
false，
false，
false，
故答案为：false；
（3）false，false，
false，
false，false，
false，
false，又false，
false，
在false和false中，
false，
false，
false四边形false的面积false四边形false的面积false．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）false，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（3）连接false，首先根据等边三角形的性质计算出false，false，进而得到false，然后证明false可得false，再由false，可得false是等边三角形，进而得到false．
【详解】
（1）尺规作图，如下图；
（2）尺规作图，如下图；
（3）false
理由如下：
如图，连接false
∵等边false中，D为false边中点，
∴false，false，
∵false，
∴false，
∵false，false为false的平分线，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
在false和false中，
∵false，false，false，
∴false，
∴false，
又∵false，
∴false是等边三角形，
∴false.
【点睛】
此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确掌握全等三角形的判定方法．
28．（1）见解析；（2）∠B=30°
【解析】
【分析】
（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于H、F，再分别以H、F为圆心，大于falseHF长为半径画弧，两弧交于点M，再画射线AM交CB于D；
（2）先根据角平分线定义、三角形内角和、三角形外角的性质得：∠B=∠ADC-∠BAD=30°．
【详解】
解：（1）如图所示：AD即为所求；
（2）∵false，false
∴false
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵false，
∴∠B=∠ADC-∠BAD=30°．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的基本作图，以及角平分线定义和三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的基本作图是关键．
29．（1）见解析；（2）90°；（3）∠I＝false∠G
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得出∠FEM＝∠EFN，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠BEF+∠DFE＝180°，由角平分线的性质得出∠GFE＝false∠DFE，∠GEF＝false∠BEF，则∠GFE+∠GEF＝false（∠BEF+∠DFE）＝90°，由三角形内角和定理即可得出结果；
（3）过点H作HN∥AB，则HN∥CD，得出∠EHN＝∠BEH，∠FHN＝∠DFH，推出∠H＝∠BEH+∠DFH，由（2）得∠G＝∠GFE+∠GEF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线的性质得出∠BEH＝false∠BEG，∠DFH＝false∠DFG，则∠H＝∠BEH+∠DFH＝false（∠BEG+∠DFG）＝false∠G，同理，∠I＝false∠H＝false∠G．
【详解】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE，
∵EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，
∴∠FEM＝∠EFN，
∴EM∥FN；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EM、FG分别平分∠BEF、∠DFE，
∴∠GFE＝false∠DFE，∠GEF＝false∠BEF，
∴∠GFE+∠GEF＝false（∠BEF+∠DFE）＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣（∠GFE+∠GEF）＝180°﹣90°＝90°；
（3）∠H＝false∠G；理由如下：
过点H作HN∥AB，如图3所示：
则HN∥CD，
∴∠EHN＝∠BEH，∠FHN＝∠DFH，
∴∠H＝∠BEH+∠DFH，
由（2）得：∠G＝∠GFE+∠GEF＝∠BEG+∠DFG，
∵EH、FH分别平分∠BEG、∠DFG，
∴∠BEH＝false∠BEG，∠DFH＝false∠DFG，
∴∠H＝∠BEH+∠DFH＝false（∠BEG+∠DFG）＝false∠G，
同理，∠I＝false∠H＝false×false∠G＝false∠G．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）9．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定“ASA”证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得∠ACB=∠DBC，根据平行线的性质可证得AC∥BD，再根据平行线的性质得∠DAC=∠ADB=90°，即可证得结论；
（3）过点A作AP⊥CD于P，由（1）中全等三角形的性质可得AB=AC，再由已知可得∠ADC=∠ABD，进而有∠ACP=∠BAD，然后根据全等三角形的判定证得△CPA≌△ADB，则有AP=BD=3，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）证明：∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
又∵∠HAB=∠HAC，AH=AH，
∴△ABH≌△ACH（ASA)；
（2）证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵△ABH≌△ACH，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC，
∴∠ACB=∠DBC，
∴AC∥BD，
∴∠DAC=∠ADB=90°，
∴AD⊥AC；
（3）如图，过点A作AP⊥DC于P，，则∠ADB=∠APC=90°，
∵△ABH≌△ACH，
∴AB=AC，
由（2）中知∠ABC=∠DBC，∠DAC=∠ADB=90°，
∵∠ADC=2∠ABC，
∴∠ADC=∠ABD，
∴∠ACP=∠BAD，
∴△CPA≌△ADB（AAS）,
∴AP=BD=3，
∴false．
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质、垂直定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质、等角的余角相等、三角形的面积，熟练掌握三角形的判定与性质是解答的关键．