3.4基本不等式?：
一、教学目标
1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；
4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．
二、教学重点和难点
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式
的证明过程；
难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．
三、教学过程：
1．动手操作，几何引入
诺贝尔奖，是以瑞典著名的化学家诺贝尔的部分遗产作为基金在1900年创立的。诺贝尔奖分设物理、，化学
、生理或医学、文学、和平五个奖项，但没有数学，数学的最高奖是菲尔茨奖，每四年一次的国际数学大会颁发，如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．
?
?
?
?
?探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？
在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，
那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，
正方形的面积．由图可知，即．
那么它们有相等的情况吗？何时相等？
当，
从而对任意实数，都有，此不等式叫重要不等式
证法：
，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）
?探究二：如果，用去代替中，能得出什么结论？
通过学生动手操作，探索发现：
若，则．此不等式叫基本不等式
证法（分析法）：由于，于是
要证明?
，只要证明?
，
即证?
，
即?
，该式显然成立，所以，当时取等号．
得出结论，展示课题内容
基本不等式:
若，则（当且仅当时，等号成立）
若，则（当且仅当时，等号成立）
3．几何证明，相见益彰
探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．
根据射影定理可得：
由于Rt中直角边斜边，
于是有
当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．
故而再次证明：
当时，（当且仅当时，等号成立）
称为的几何平均数；称为的算术平均数
基本不等式又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）
4．应用举例，巩固提高
例1.（1）当时，的最小值为____________,此时
（2）当时，的最小值为____________,此时
例2（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）
对于，
（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；
（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．
（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）
例3.
（1）当时，求的最大值
（2）当时，求的最小值
（3）当时，求的最小值
并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．
6．归纳小结，反思提高
基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）
若，则（当且仅当时，等号成立）
（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；
（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．
6．布置作业，课后延拓
（1）基本作业：课本P100习题组1、2题
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．
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1(共23张PPT)
课程名称：3.4
基本不等式
学科：高二数学
人教版必修5
1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景；
2.基本不等式的简单应用.
诺贝尔奖
菲尔茨奖
国际数学家大会
2002年第24届
中国
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三
角形，它们的面积总和是S’=———
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB= 则正方形的面积为S= 。
问题3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？
易得，s
>
s’,即
A
D
C
B
G
F
E
H
问题4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
一
、探究
一、探究
图1
当且仅当a=b时，等号成立
问题5：当a,b为任意实数时，
还成立吗？如果成立，你能给出证明吗
？
形
数
一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
结论：
（当且仅当a=b时，等号成立）
二、新课讲解
1.思考:如果当
用
去替换
中的
,能得到什么结论?
几何平均数
算术平均数
此不等式称为基本不等式
均值不等式
证明基本不等式：
要证：
只要证：
要证②，只要证
要证③，只要证
①
②
③
④
④式显然成立.当且仅当a=b时，
④中的等号成立.
分析法：执果索因
a
b
o
A
B
D
C
对基本不等式的几何意义作进一步探究:
如图,AB是圆o的直径，C是AB上任一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦CD，连AD,BD,
则CD=____,半径AO=_____
几何意义：圆内半弦长小于等于圆的半径长
三合作探究
问题解决
填写表格．
名称
重要不等式
基本不等式
公式
等号成立条件
的取值范围
常见变形
例1
（1）当
时，
的最小值为
，此时
______.
四
基本不等式在求最值中的应用
（2）当
时，
的最小值为
，此时
______.
例2
(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
结论1
两个正数积为定值，则和有最小值.
例2
(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
结论2
两个正数和为定值，则积有最大值.
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”，
二“定”，
三“相等”.
最值定理
结论1
两个正数积为定值，则和有最小值.
结论2
两个正数和为定值，则积有最大值.
变式练习
（1）当
时，求
的最大值
（2）当
时，求
的最小值
（3）当
时，求
的最小值
3.
数形结合，类比,换元的数学思想方法。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值
把握
“七字方针”
即
“一正，二定，三相等”.
1.主要内容
五
收获知多少?
课外作业
教科书100的练习题
探究拓展：
1.基本不等式可否推广到
非负数”的情形。有兴趣的同学可作进一步的研究，也可查阅有关资料。
2.是否还有其他证明基本不等式的方法和几何解释？
