函数的应用
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甘肃省清水县一中2011——2012学年第一学期高一数学
单元检测
第三章 函数的应用
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1．若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，
则下列说法正确的是（ ）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
2．方程根的个数为（ ）
A．无穷多 B． C． D．
3. 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )．
A．{a|a＞1} B．{a|a≥2}
C．{a|0＜a＜1} D．{a|1＜a＜2}
4．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则下列命题正确的是( )．
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
5. 函数f(x)＝的零点个数为( ).
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ).
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
7．当x∈(2，4)时，下列关系正确的是( )．
A．x2＜2x B．log2 x＜x2 C．log2 x＜ D．2x＜log2 x
8．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到( )．
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元．
A．2元 B．2.5元 C．1元 D．1.5元
10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．
A．250 B．400 C．300 D．350
二、填空题（共8空，每空3分）
11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是 ．
12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长
米，宽 米.
13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x(0＜x≤40)(克)的函数，其表达式为 ．
14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
15．已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围 ．
16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动点，过点M的直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影面积为y，y表示成x的函数表达式为 ．
三、解答题（共4小题，每小题9分）
17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．
(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？
(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logb t；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．
20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．A
解：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a1)有两个零点， 就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.
4．D
解：因为f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能．例如，
所以函数f(x)必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D．
5. C
解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0解得x＝－3；
当x＞0时，令－2＋ln x＝0，得x＝100，所以已知函数有两个零点，选C．
还可以作出f(x)的图象，依图判断．
6. B
解：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝，据此否定A，D，在取x＝0， 由图象知y＝f(0)＝0，据此否C，故正确选项是B.
或者勾画选项B的函数图象亦可判断．
7．B
解：当x∈(2，4)时，x2∈(4，16)，2x∈(4，16)，log2 x∈(1，2)，∈，显然C、D不正确，但对于选项A，若x＝3时，x2＝9＞23＝8，故A也不正确，只有选项B正确．
8．A
解析：由题意知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100 log2(7＋1)＝100×3＝300．
9．D
解：设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)．
经济效益：y＝(4－0.1x)(1 000＋100x)
＝－10x2＋300x＋4 000
＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000
＝－10(x－15)2＋6 250．
x＝15时，ymax＝6 250．
每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
10．B
解：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润．
设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］．
∵ 函数y在［250，400］上单调递增，∴ x＝400时，ymax＝825(元)．
即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．
二、填空题
11． (－∞，－1)．
解：函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求实数a的取值范围是(－∞，－1)．
12．：长宽分别为25米．
解：设矩形长x米，则宽为(100－2x)＝(50－x)米，所以矩形面积y＝x(50－x)＝－x2＋50 x＝－(x－25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．
13．：f(x)＝
解：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．
14．：(1) y＝； (2)0.6．
解：(1)据图象0≤t≤0.1时，正比例函数y＝kt图象过点(0.1，1)，所以，k＝10，
即y＝10t；当t＞0.1时，y与t的函数y＝(a为常数)的图像过点(0.1，1)，即得
1＝，所以a＝0.1，即y＝．
(2)依题意得≤0.25，再由y＝lg x是增函数，得(t－0.1)lg≤lg，∵ lg＜0，即得t－0.1≥0.5，所以，t≥0.6．
15．－1＜m＜．
解：由f(x)＝(x＋1)｜x－1｜＝
得函数y＝f(x)的图象(如图)．
按题意，直线y＝x＋m与曲线y＝(x＋1)|x－1|有三个不同的公共点，求直线y＝x＋m在y轴上的截距m的取值范围．
由 得x2＋x＋m－1＝0．
Δ＝1－4(m－1)＝5－4m，由Δ＝0，得m＝，易得实数m的取值范围是－1＜m＜．
16． y＝
解：当直线l平移过程中，分过AB中点前、后两段建立y与x的函数表达式．
(1)当0＜x≤a时，y＝x·x＝ x2；
(2)当a＜x≤2a时，y＝·2a·a－(2a－x)·(2a－x)＝－x2＋2ax－a2．
所以，y＝
三、解答题
17． 解析：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，
由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30．
设客房租金总收入y元，y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2 ＋8 000(0＜x＜30)，
当x＝10时，ymax＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.
18．设从B市调运x(0≤x≤6)台到C市，则总运费
y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800［8－(6－x)］＝200x＋8 600(0≤x≤6)．
(1)若200x＋8 600≤9 000，则x≤2．
所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案．
(2)由y＝200x＋8 600(0≤x≤6)可知，当x＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．
19．：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logb t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
把表格提供的三对数据代入该解析式得到：
解得a＝，b＝－，c＝．
所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝t2－t＋．
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本Q最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/100 kg)．
20．解析：设画面高为x cm，宽为λx cm，λx2＝4 840，设纸张面积为S，有
S＝(x＋16)( λx＋10)＝λx2＋(16 λ＋10)x＋160，
将λ＝代入上式可得，S＝10(x＋)＋5 000＝10(－)2＋6 760，
所以，＝，即x＝88 cm时，宽为λx＝55 cm，所用纸张面积最小．
(第14题)
(第4题)
(第15题)
x2－1，x≥1
1－x2，x＜1
y＝1－x2，
y＝x＋m
单元检测
第三章 函数的应用
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1．若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，
则下列说法正确的是（ ）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
2．方程根的个数为（ ）
A．无穷多 B． C． D．
3. 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )．
A．{a|a＞1} B．{a|a≥2}
C．{a|0＜a＜1} D．{a|1＜a＜2}
4．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则下列命题正确的是( )．
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
5. 函数f(x)＝的零点个数为( ).
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ).
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
7．当x∈(2，4)时，下列关系正确的是( )．
A．x2＜2x B．log2 x＜x2 C．log2 x＜ D．2x＜log2 x
8．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到( )．
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元．
A．2元 B．2.5元 C．1元 D．1.5元
10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．
A．250 B．400 C．300 D．350
二、填空题（共8空，每空3分）
11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是 ．
12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长
米，宽 米.
13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x(0＜x≤40)(克)的函数，其表达式为 ．
14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
15．已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围 ．
16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动点，过点M的直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影面积为y，y表示成x的函数表达式为 ．
三、解答题（共4小题，每小题9分）
17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．
(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？
(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logb t；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．
20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．A
解：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a1)有两个零点， 就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.
4．D
解：因为f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能．例如，
所以函数f(x)必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D．
5. C
解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0解得x＝－3；
当x＞0时，令－2＋ln x＝0，得x＝100，所以已知函数有两个零点，选C．
还可以作出f(x)的图象，依图判断．
6. B
解：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝，据此否定A，D，在取x＝0， 由图象知y＝f(0)＝0，据此否C，故正确选项是B.
或者勾画选项B的函数图象亦可判断．
7．B
解：当x∈(2，4)时，x2∈(4，16)，2x∈(4，16)，log2 x∈(1，2)，∈，显然C、D不正确，但对于选项A，若x＝3时，x2＝9＞23＝8，故A也不正确，只有选项B正确．
8．A
解析：由题意知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100 log2(7＋1)＝100×3＝300．
9．D
解：设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)．
经济效益：y＝(4－0.1x)(1 000＋100x)
＝－10x2＋300x＋4 000
＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000
＝－10(x－15)2＋6 250．
x＝15时，ymax＝6 250．
每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
10．B
解：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润．
设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］．
∵ 函数y在［250，400］上单调递增，∴ x＝400时，ymax＝825(元)．
即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．
二、填空题
11． (－∞，－1)．
解：函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求实数a的取值范围是(－∞，－1)．
12．：长宽分别为25米．
解：设矩形长x米，则宽为(100－2x)＝(50－x)米，所以矩形面积y＝x(50－x)＝－x2＋50 x＝－(x－25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．
13．：f(x)＝
解：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．
14．：(1) y＝； (2)0.6．
解：(1)据图象0≤t≤0.1时，正比例函数y＝kt图象过点(0.1，1)，所以，k＝10，
即y＝10t；当t＞0.1时，y与t的函数y＝(a为常数)的图像过点(0.1，1)，即得
1＝，所以a＝0.1，即y＝．
(2)依题意得≤0.25，再由y＝lg x是增函数，得(t－0.1)lg≤lg，∵ lg＜0，即得t－0.1≥0.5，所以，t≥0.6．
15．－1＜m＜．
解：由f(x)＝(x＋1)｜x－1｜＝
得函数y＝f(x)的图象(如图)．
按题意，直线y＝x＋m与曲线y＝(x＋1)|x－1|有三个不同的公共点，求直线y＝x＋m在y轴上的截距m的取值范围．
由 得x2＋x＋m－1＝0．
Δ＝1－4(m－1)＝5－4m，由Δ＝0，得m＝，易得实数m的取值范围是－1＜m＜．
16． y＝
解：当直线l平移过程中，分过AB中点前、后两段建立y与x的函数表达式．
(1)当0＜x≤a时，y＝x·x＝ x2；
(2)当a＜x≤2a时，y＝·2a·a－(2a－x)·(2a－x)＝－x2＋2ax－a2．
所以，y＝
三、解答题
17． 解析：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，
由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30．
设客房租金总收入y元，y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2 ＋8 000(0＜x＜30)，
当x＝10时，ymax＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.
18．设从B市调运x(0≤x≤6)台到C市，则总运费
y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800［8－(6－x)］＝200x＋8 600(0≤x≤6)．
(1)若200x＋8 600≤9 000，则x≤2．
所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案．
(2)由y＝200x＋8 600(0≤x≤6)可知，当x＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．
19．：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logb t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
把表格提供的三对数据代入该解析式得到：
解得a＝，b＝－，c＝．
所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝t2－t＋．
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本Q最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/100 kg)．
20．解析：设画面高为x cm，宽为λx cm，λx2＝4 840，设纸张面积为S，有
S＝(x＋16)( λx＋10)＝λx2＋(16 λ＋10)x＋160，
将λ＝代入上式可得，S＝10(x＋)＋5 000＝10(－)2＋6 760，
所以，＝，即x＝88 cm时，宽为λx＝55 cm，所用纸张面积最小．
(第14题)
(第4题)
(第15题)
x2－1，x≥1
1－x2，x＜1
y＝1－x2，
y＝x＋m