人教版 九年级数学上册 24.1.4 圆周角 同步练习题 （Word版 含解析）

第24章
圆
人教版九年级数学上册24.1.4圆周角同步练习题
姓名：__________
班级：__________考号：__________
一、单选题（共15题；共45分）
1.如图，四边形
内接于
．若
，则
的大小为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.如图，四边形
为
的内接四边形，已知
为
，则
的度数为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.如图，
中，
，则
的度数为（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝110°，则∠BOD的度数为（
???）
A.?140°??????????????????????????????????????B.?70°??????????????????????????????????????C.?80°??????????????????????????????????????D.?60°
5.如图，已知圆心角∠BOC=100°，
则圆周角∠BAC为
（??
）.
A.?25°?????????????????????????????????????B.?50°?????????????????????????????????????C.?100°?????????????????????????????????????D.?200°
6.如图，在⊙O，点A，B，C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C(??
)
A.?54°???????????????????????????????????????B.?27°???????????????????????????????????????C.?36°???????????????????????????????????????D.?46°
7.如图，点
A.B.P是⊙O上的三点，若
＝50°，则
的度数为（???
）
A.?100°??????????????????????????????????????B.?50°??????????????????????????????????????C.?40°??????????????????????????????????????D.?25°
8.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（　　）
A.?51°???????????????????????????????????????B.?53°???????????????????????????????????????C.?57°???????????????????????????????????????D.?60°
9.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（??
）
A.?80°?????????????????????????????????????B.?100°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?160°
10.如图，点
、
、
在
上，若
，则
的度数是（???
）
A.?18°??????????????????????????????????????B.?36°??????????????????????????????????????C.?54°??????????????????????????????????????D.?72°?
11.如图，点A,B,C,D在⊙O上，
，点B是弧AC的中点，则
的度数是（??
）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
12.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（??
）
A.?40°??????????????????????????????????????B.?50°??????????????????????????????????????C.?80°??????????????????????????????????????D.?100°
13.如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB=130°，则∠α的度数为(
???)
A.?100°????????????????????????????????????B.?110°????????????????????????????????????C.?120°????????????????????????????????????D.?130°
14.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则(???
)
A.?3α+β=180°???????????????????????B.?2α+β=180°???????????????????????C.?3α-β=90°???????????????????????D.?2α-β=90°
15.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（??
）
A.?45°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?90°
二、填空题（共15题；共45分）
16.如图，
是
的外接圆
的直径，若
，则
________°．
17.如图，点
在⊙
上，点
在优弧
上，若
，则
的度数为________.
18.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为________；
19.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是________°．
20.如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC=________度．
21.如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在
上，点D在
上，若∠ACB=70°，则∠ADB=________°．
22.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA=60°，则∠ABO=________°．
23.如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=?________.
24.如图，AB是
的直径，点C，D，E都在
上，∠1=55°，则∠2=________°
25.已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是________.
26.如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为________.
27.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB为50°，则∠E＋∠C＝________
28.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为________
.
29.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
?
30.如图,AB是半圆O的直径,弦AC=4,∠CAB=60°,点D是弧BC上的一个动点,作CG⊥AD,连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是________.
三、综合题（共1题；共10分）
31.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
?
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数
（3）（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】因为，四边形
内接于
，
所以，
=180°-
故答案为：C
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得
的度数．
2.【答案】
C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°?∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
3.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴
，
∴∠APC=
∠BOC，
∵∠APC=28°，
∴∠BOC=56°，
故答案为：D.
【分析】由垂径定理都出
，然后根据圆周角定理即可得出答案.
4.【答案】
A
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故答案为：A
．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，根据圆周角定理得到答案．
5.【答案】
B
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，可得：∠A＝
∠BOC＝50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半”可求解.
6.【答案】
C
【解析】【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠ACB＝
∠AOB＝36°.
故答案为C.
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.
7.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵
＝50°
∴
=
=25°
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理即可求解.
8.【答案】
B
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°.
故答案为：B.
【分析】连接BD，AB为直径可得出∠ADB＝90°，由圆周角定理可得出∠ABD＝37°，再在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出∠BAD的度数.
9.【答案】
D
【解析】【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，.
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°.
故答案为：D.
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可.
10.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAC=∠BOC=×72°=36°
故答案为：B.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠BAC的度数。
11.【答案】
A
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点B是
?
的中点，
∴∠AOB＝
∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝
∠AOB＝30°，
故答案为：A.
【分析】连接OB，利用在同圆和等圆中相等的弧所对的圆心角相等，可求出∠AOB的度数；再利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠D的度数。
12.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵∠A和∠BOC所对的弧都是弧BC，
∴∠BOC=2∠A=100°.
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于其所对圆周角的2倍，列式求解即可.
13.【答案】
A
【解析】【解答】解：在优弧AB上取点E，连接AE，BE，
∵弧AB=弧AB，
∴∠E=∠α.
∵四边形ACBE是圆O的内接四边形，
∴∠ACB+∠E=180°，
∴130°+∠α=180°，
∴∠α=100°
故答案为：A.
【分析】在优弧AB上取点E，连接AE，BE，利用圆周角定理可证得∠E=∠α，再利用圆内接四边形的对角互补，可建立关于∠α的方程，解方程可求解。
14.【答案】
D
【解析】【解答】解：如图，连接AB
则∠DBA=
∠DOA=
∠β????
且∠DEA=∠DBA+∠OAB=α
∵OA=OB，∠BOA=90°，即∠OAB=45°
∴α=
β+45°
化简后得2α-β=90°
即D选项为正确选项
故答案为：D
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠DBA=
∠β，利用三角形的外角的性质，可证得∠DBA+∠OAB=α，再证明∠OAB=45°，继而可得到α和β之间的关系式。
15.【答案】
D
【解析】【解答】解：连接
，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。
二、填空题
16.【答案】
50
【解析】【解答】∵
是
的外接圆
的直径，
∴点
，
，
，
在
上，
∵
，
∴
，
故答案为：50．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
17.【答案】
40°
【解析】【解答】解:∵
，
∴
，
∴
，
∴
。
故答案为：40°。
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和算出∠AOB的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可算出∠C的度数。
18.【答案】
100°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝100°。
故答案为：100°。
【分析】根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可得出答案。
19.【答案】
120
【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°．
故答案为：120．
【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即∠A+∠C=180°，求出每一份x，进而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.
20.【答案】
80
【解析】【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为：80．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
21.【答案】
110
【解析】【解答】解：∵点C在
上，点D在
上，若∠ACB=70°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=110°，
故答案为：110．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
22.【答案】
30
【解析】【解答】解：∵∠BCA=60°，
∴∠AOB=2∠BCA=120°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=
=30°．
故答案为：30．
【分析】由∠BCA=60°，根据圆周角定理即可求得∠AOB的度数，又由等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
23.【答案】
40°
【解析】【解答】∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
故答案为40°
．
【分析】直接根据圆周角定理求解．
24.【答案】
35
【解析】【解答】解：如图，连接AD.
∵AB是直径，??
。
∴∠ADB=90°，
∵∠1=∠ADE，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=55°，
∴∠2=35°，
故答案为35.
【分析】连接AD，根据直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠1=∠ADE，然后根据已知条件求出∠2的度数
25.【答案】
30°
【解析】【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数为15°，
∴它所对的圆心角的度数为：30°.
故答案为：30°.
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由此即可得出答案.
26.【答案】
52°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°,
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.
27.【答案】
155
【解析】【解答】∵∠E所对的弧为弧DCB，∠C所对的弧为弧AED，又∵弧DCB、弧DEA和弧AB三者相加正好为整个圆周，
∠E和∠C为圆周角，则
∠E＋∠C
=
?.
【分析】因∠E和∠C为圆周角，自然想到用它们所对的弧的关系来解决，∵弧DCB、弧DEA和弧AB三者相加正好为整个圆周，则∠E和∠C所对的弧之和就是整个圆周减去弧AB。
28.【答案】
25°
【解析】【解答】解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，
∵∠ACB与∠AOB都对，
∴∠ACB=∠AOB=25°，
故答案为：25°.
【分析】连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB的度数．
29.【答案】
【解析】【解答】解：取AB中点O，AC中点F，连结OC、OP、OM、OF、EF，如图：
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB=AC=2
，
∴OC=OP=AB=
，
∵M为PC中点，
∴OM⊥PC，
∴∠OMC=90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
当点P在点A时，点M在点E；当点P在点B时，点M在点F；
易得四边形CEOF为正方形，
∴EF=OC=
，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴M点运动的路径为：×2××=.
故答案为：.????
【分析】取AB中点O，AC中点F，连结OC、OP、OM、OF、EF，由等腰直角三角形的性质可得AB=2
，
OC=OP=；由等腰三角形得性质∠OMC=90°，由圆周角定理可得点M在以OC为直径的圆上；当点P在点A时，点M在点E；当点P在点B时，点M在点F；易得四边形CEOF为正方形，从而得EF=OC=
，
所以M点的路径在以EF为直径的半圆上，根据周长公式即可得出答案.
30.【答案】
-2
【解析】【解答】以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，如下图所示，
∵CG⊥AD，
∴∠AGC=90°，
∴在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=4,∠CAB=60°
∴
，
在Rt△BCO'中，CO'=G
O'=
AC=2，
∴
∵BG+GO'≥BO'
∴当O'、G、B三点共线时BG的值最小，
最小值BG=
BO'-G
O'=
.
故答案为
.
【分析】以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，当O'、G、B三点共线时BG的值最小，利用勾股定理求出BO'，由BG=
BO'-G
O'可得结果.
三、综合题
31.【答案】
（1）（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°﹣42°=48°；
（3）（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°﹣?．
?
【解析】【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
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