人教版数学九年级上册21.2.2公式法课件（2课时打包、共49张PPT）

公式法
第一课时
用配方法解一元二次方程的步骤是：
（1）化二次项系数为1——两边同除以二次项的系数；
（2）移项——将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）将原方程变成 的形式；
（5）判断右边代数式的符号，若 ，可以直接开方求解；若 ，原方程无解。
探究一：探索一元二次方程的求根公式
活动1
复习旧知
用配方法解下列方程：
解：
（3）方程无实数根（解）
解：（4）移项得到 6x2-7x=-1，
二次项系数化为1，得到：
配方得到
写成（x+m）2=n形式得到
直接开平方，得到
可得
探究一：探索一元二次方程的求根公式
为什么有的方程有两个不等的实数根？有的方程有两个相等的实数根，有的方程没有实数根呢？
当被开方数大于0 的时候有两个不等的实数根；
当被开方数等于0 的时候有两个相等的实数根；
当被开方数小于0 的时候没有实数根。
探究一：探索一元二次方程的求根公式
探究一：探索一元二次方程的求根公式
活动2
以旧引新
问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为（x+m）2=n 的形式吗？
∵a≠0，方程两边都除以a，得
移项，得
配方，得
即
问题2：当b2_4ac≥0，且a≠0时， 大于等于零吗？
当b2_ 4ac≥0时，因为a≠0，说以4a2＞0，从而得出 。
问题3：在问题2的条件下直接开平方，你得到了什么？
探究一：探索一元二次方程的求根公式
由问题1，问题2，问题3，你能得出什么结论？
探究二：证明一元二次方程的求根公式
活动1
大胆猜想，探究新知。
当b2-4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为 ，即 。
由以上研究结果得到了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式： ，这个公式就称为“求根公式”。
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。
重点、难点知识★▲
（1）求根公式 （b2-4ac≥0）是专指一元二次方程的求根公式，b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的重要条件。
（2）用公式法（求根公式）解一元二次方程，实际上就是给出a、b、c的数值（或表示式），然后对代数式 进行求值，由于这样的计算比较复杂，所以要特别注意a、b、c的符号。
注意：
探究二：证明一元二次方程的求根公式
重点、难点知识★▲
探究二：证明一元二次方程的求根公式
活动2
集思广益，探究一元二次方程解的情况。
重点、难点知识★▲
当b2-4ac≥0，方程有实数根，那么什么时候有两个相等实数根？什么时候有两个不等实数根？什么时候没有实数根呢？
，没有实数根。
，有两个不等实数根；
，有两个相等实数根；
一般的，式子 叫做一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母
表示它，即 。
例1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A.4x2﹣5x+2=0 B. x2﹣6x+9=0
C.5x2﹣4x﹣1=0 D.3x2﹣4x+1=0
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
活动1
用根的判别式判断方程解的个数
重点、难点知识★▲
解：
A ∵Δ=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根；
B ∵Δ=36﹣4×1×9=0，∴方程有两个相等的实数根；
C ∵Δ=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个不等的实数根；
D ∵Δ=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个不等的实数根。
A
解：
A.Δ=（-1）2﹣4×1×（-1）=5＞0，则方程有实数根。
B.Δ=1﹣4×1×1=﹣3＜0，则方程无实数根。
C.Δ=36﹣4×1×10=﹣4＜0，则方程无实数根。
D.Δ=2﹣4×1×1=﹣2＜0，则方程无实数根。
练习1.下列方程有实数根的是（　　）
A.x2﹣x﹣1=0 B.x2+x+1=0
C.x2﹣6x+10=0 D.x2﹣
x+1=0
A
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
例2.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）
A.有两个不相等的实数根 B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
解：∵a=1，b=﹣4，c=4，
∴Δ=16﹣16=0，
∴方程有两个相等的实数根。
C
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
练习2.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（　　）
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
解：∵Δ=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根。
B
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
例3.已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0，不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
解：由题意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m2≥0
解得
∴实数m的取值范围是
【思路点拨】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围。
活动2
用根的判别式根据方程解的个数判断系数
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
练习3.（1）若关于x的方程 x2+x﹣a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A.a≥2 B.a≤2
C.a＞2 D.a＜2
解：根据题意得Δ=12﹣4（﹣a+ ）＞0，
解得 a＞2。
C
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
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练习3.（2）若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围为（　　）
A.k≥0 B.k＞0 C. D.
∴Δ=b2﹣4ac=（﹣3
）2+4=9k+4≥0，
解得：
又∵方程中含有
∴ k≥0。
解：∵原方程有实数根，
【思路点拨】若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围。还要根据二次根式的意义可知 k≥0，然后确定最后k的取值范围。
A
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
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例4.一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A.k＞2 B.k＜2且k≠1
C.k＜2 D.k＞2且k≠1
解：由题可知 Δ=b2﹣4ac=22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，
∵（1﹣k）是二次项系数，不能为0，
∴k≠1且k＜2。
B
【思路点拔】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有不相等的实数根时必须满足Δ=b2﹣4ac＞0。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
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练习4.已知关于x的方程kx2﹣3x+2=0有两个实数根，则k的取值范围为（　　）
A.
B.k＜
C.k＜ 且 k≠0
D. 且k≠0
【思路点拔】让Δ=b2﹣4ac≥0，且二次项的系数不为0保证此方程为一元二次方程。
解：由题意得：9﹣4k×2≥0；k≠0，
∴ 且k≠0
D
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
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活动3
根的判别式的综合运用
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
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例5.已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根。
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由。
解：（1）∵Δ=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8，
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣8k+8＞0，
解得k＜1，
即实数k的取值范围是 k＜1；
解： （2）假设0是方程的一个根，
则代入原方程得02+2（k﹣1）?0+k2﹣1=0，
解得k=﹣1或k=1（舍去），即当k=﹣1时，0就为原方程的一个根，
此时原方程变为x2﹣4x=0，
解得x1=0，x2=4，
所以它的另一个根是4。
【思路点拨】
（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足Δ=b2﹣4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；
（2）利用假设的方法，求出它的另一个根。
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
练习5.阅读材料并回答问题。
求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）。
解：ax2+bx+c=0，
∵a≠0，
第一步
移项得：
第二步
，得
两边同时加上
第三步
整理得：
，直接开平方得
第四步
第五步
上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
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解：有错误，在第四步。
错误的原因是在开方时对b2﹣4ac的值是否是非负数没有进行讨论。
正确步骤为：
①当b2﹣4ac≥0时，
②当b2﹣4ac＜0时，原方程无解。
【思路点拔】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b2﹣4ac的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b2﹣4ac≥0和b2﹣4ac＜0时，原方程根的情况。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
例6.设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2
﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根。
解：解方程 x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，得
∵原方程有两个不相等的整数根，
∴2m+1为完全平方数，
又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数，
∴2m+1=25或49，解得m=12或24。
∴当m=12时，
当m=24时，
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
练习6.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2。
（1）求实数m的取值范围； （2）当x12﹣x22=0时，求m的值。
∴实数m的取值范围是 。
解：（1）由题意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得
（2）由两根关系，得 x1+x2=﹣（2m﹣1），x1?x2=m2，
由 x12﹣x22=0 得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，
若 x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得
若 x1﹣x2=0，即 x1=x2 ， ∴Δ=0，解得
故当x12﹣x22=0时， 。
（舍去）
（成立）
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况
重点、难点知识★▲
知识梳理
1.本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根， 推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程。
2.求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式。
重难点归纳
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。
2.求出b2-4ac的值。
3.代入求根公式 ：
（a≠0， b2-4ac≥0）
4.写出方程的解： x1=？， x2=？
（2）公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0
重难点归纳
（3）
，没有实数根；
，有两个不等实数根；
，有两个相等实数根。
公式法
第二课时
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。
2.求出b2-4ac的值。
3.代入求根公式 ：
（a≠0， b2-4ac≥0）
4.写出方程的解： ，
（2）
一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母
表示，即 。
探究：利用公式法解一元二次方程
活动1
用求根公式解简单的一元二次方程
即：
重点、难点知识★▲
例1.用公式法解下列方程 2x2+x-6=0
解：因为 a=2，b=1，c=-6
b2-4ac=12-4×2×（-6）=1+48=49
所以
练习1.5x2-4x-12=0。
即：
解：因为 a=5，b=-4，c=-12
b2-4ac=256
所以
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例2.用公式法解一元二次方程 x2+4x=2
解： 将方程化为一般形式，得 x2+4x-2=0
因为 b2-4ac=24
即：
所以
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习2.用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
解：整理，得 4x2+12x+9=0
因为b2-4ac=0
即：
所以
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
解：
Δ=b2-4ac=25-8=17
探究：利用公式法解一元二次方程
活动2
用求根公式解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例3.用公式法解方程：
解：
Δ=b2-4ac=20-8=12
练习3.用公式法解方程：
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例4.解关于x的一元二次方程 x2+kx-3=0。
【思路点拨】先由根的判别式 Δ=b2-4ac≥0 判断是否有解，再用求根公式求出方程的解。
解：由题意得：
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习4.解关于x的一元二次方程 3x2+6x+k=0。
解：由题意得：
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
探究：利用公式法解一元二次方程
活动3
公式法解一元二次方程的综合运用
重点、难点知识★▲
例5.如果a、b都是正实数，且 ，
那么 （ ）
A. B. C. D.
去分母后整理得：a2+ab-b2=0，
∵a、b都是正实数
解：
C
例5.如果a、b都是正实数，且 ，
那么 （ ）
A. B. C. D.
C
【思路点拔】整理原式后得到a2+ab-b2=0，把b当作已知数，先求出a的值，再代入求出即可。
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习5.已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值。
（2）求 的值。
解：（1）x2-x-1=0，
b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
解： （2）x2-x-1=0， x2=x+1，
x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2，
x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3，
2x2=2（x+1）=2x+2，
练习5.已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值。
（2）求 的值。
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例6.已知a是一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根中较小的根。
①求a2-4a+2012的值；
②化简求值 。
【思路点拨】
①根据一元二次方程解的定义，将x=a代入原方程，即可求得a2-4a的值；然后将a2-4a整体代入所求的代数式并求值即可；
②先利用公式法求得原方程的解，根据已知条件可知a值；然后将其代入化简后的代数式求值即可。
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
解：①∵ a是一元二次方程x2-4x+1=0的根，
∴ a2-4a+1=0，
∴ a2-4a=-1；
∴ a2-4a+2012=-1+2012=2011；
②原方程的解是：
∵a一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中的较小根，
∴原式=
=a-1
即
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习6.已知a，b，c均为实数，且 ，
求关于x的方程ax2+bx+c=0的根。
∴ a-2=0，b+1=0，c+3=0，
∴ a=2，b=-1，c=-3。
方程 ax2+bx+c=0 即为 2x2-x-3=0，
解得 。
解：∵
【思路点拨】先根据算术平方根、绝对值、偶次方都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题。
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
知识梳理
求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式。
重难点归纳
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。
2.求出b2-4ac的值。
3.代入求根公式 ：
（a≠0， b2-4ac≥0）
4.写出方程的解： x1=？， x2=？
（2）公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0
重难点归纳
（3）
，没有实数根。
，有两个不等实数根；
，有两个相等实数根；
谢 谢