人教版数学九年级上册：22.1.2二次函数y=ax?的图象和性质课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
人教版义务教育教科书·九年级上册
导入课题
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.
（1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
学习目标
二次函数y
=
ax2的图象的画法
知识点1
1.列表
在y
=
x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
先画二次函数y
=
x2的图象
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y
=
x2
···
9
4
1
0
1
4
9
···
2.描点
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点.
3.连线
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y
=
x2的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
3
6
9
y
O
-3
3
x
观察：二次函数y
=
x2的图象像什么？
事实上，二次函数的图象都是抛物线，
它们的开口或者向上或者向下．
一般地，二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c（a≠0）的图象叫做抛物线y
=
ax2
+
bx
+
c.
抛物线y
=
x2
知识点2
二次函数y
=
ax2的图象和性质
3
6
9
y
O
-3
3
x
函数y
=
x2的图象开口______.
向上
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
顶点坐标是________.
顶点是图象的最____点.
（0，0）
低
在抛物线y
=
x2上
任取一点（m，m2），
因为它关于y轴的对称
点（-m，m2）也在抛
物线y
=
x2上，所以抛
物线y
=
x2关于y轴对称。
特征
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点．
3
6
9
y
O
-3
3
x
当x<0
(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0
(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
单调性
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x
···
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
···
x
···
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y
=
2x2
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
···
y=2x2
例1
在同一直角坐标系中，画出函数
，y
=2x2的图象.
a值越大，抛物线的开口越小．
增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
思考
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；
开口都向上；
对称轴都是y轴；
函数
的图象与函数y=x2
的图象相比，有什么共同点和不同点？
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
归纳
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
探究
画出函数y=-x2,
,
y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y
=
-x2
···
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
···
···
-2
0
-2
···
y
=
-2x2
···
-18
-8
-2
0
-2
-8
-18
···
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
开口都向下；
对称轴都是y轴；
a值越小，抛物线的开口越小．
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
增减性相同：
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
共同点和不同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
1.二次函数的图象都是抛物线.
2.抛物线y=ax2的图象性质:
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点;
|a|越大，抛物线的开口越小.
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
y=-2x2
y=-x2
2
6
8
y
4
y=2x2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
小
结
1.函数y
=
2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________
.
向上
y轴
（0，0）
a
=
2>0
基础巩固
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）.
2.
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
x2；③y=15x2；④y
=-4x2；⑤y
=
4x2.
②
①
①
③
⑤
④
a>0
a<0，
|a|越大，开口越小.
开口向下
a<0
3.
分别写出抛物线y=4x2与
的开口方向、对称轴及顶点坐标.
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线
的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.
y
O
x
y
O
x
二次函数与一次函数性质的综合应用
7.如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求抛物线的函数解析式；
拓展延伸
解：（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4.
（2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上，
∴代入可得
，
∴抛物线的函数解析式为
.
（2，2）
（4，0）
二次函数y
=
ax2
的性质
根据图形填表：
抛物线
y
=
ax2（a>0）
y
=
ax2（a＜0）
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x
=
0时，最小值为0.
当x
=
0时，最大值为0.
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
课堂小结
课后作业
1.课后练习题；
2.完成练习册本课时的习题。