人教版数学九年级上册：22.2二次函数与一元二次方程课件（共19张PPT）

22.2 二次函数与一元二次方程

问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h = 20t－5t 2
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方
程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h
的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：（1）解方程
15＝20t－5t 2
t 2－4t＋3=0
t1=1，t2=3
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t－5t 2
t1=1s
t2=3s
15m
15m
（2）解方程
20＝20t－5t 2
t 2－4t＋4=0
t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s
20m
（3）解方程
20.5＝20t－5t 2
t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．
球的飞行高度达不到20.5m．
20m
（4）解方程
0＝20t－5t2
t2－4t=0
t1=0,t2=4
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．
0ｓ
４ｓ
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可
以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
小组合作，类比探究
问题1：下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
y = x 2 - x + 1
y = x 2 + x - 2
y = x 2 - 6x + 9
y
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
O
小组合作，类比探究
问题2　当 x 取上述公共点的横坐标时，相应的函数值分别是多少？
y = x 2 - x + 1
y = x 2 + x - 2
y = x 2 - 6x + 9
y
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
O
小组合作，类比探究
问题3　由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？
x 2 + x - 2 = 0
x 2 - 6x + 9 = 0
x 2 - x + 1 = 0
y = x 2 - x + 1
y = x 2 + x - 2
y = x 2 - 6x + 9
y
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x
O
①二次函数 y＝x2＋x－2 的图象与 x 轴有______个交点，则
一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的判别式Δ______0.
2
>
②二次函数 y＝x2－6x＋9 的图像与 x 轴有______个公共点，
则一元二次方程 x2－6x＋9＝0 的根的判别式Δ______0.
1
＝
③二次函数 y＝x2－x＋1 的图象与 x 轴________公共点，则
一元二次方程 x2－x＋1＝0 的根的判别式Δ______0.
无
<
归纳：(1)如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公
共点的横坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数的值是____，因此
x＝x0 就是方程______________的一个根；反之，一元二次方程
的解就是相应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标．
0
ax2＋bx＋c＝0
小组合作，类比探究
归纳(2)：
2
两
1
两
0
判别式：b2－4ac
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
b2－4ac＞0
与x轴有____个公共点
有________个不等实数根
b2－4ac＝0
与x轴有____个公共点
有________个相等实数根
b2－4ac＜0
与x轴有____个公共点
有________个实数根
0
以 a>0 为例列表如下：
b2－4ac的符号
b2－4ac>0
b2－4ac＝0
b2－4ac<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
的图象
关于x的一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的解
归纳(3)：
【例 1】 已知二次函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)的图象与
x 轴只有一个公共点，求 m 的值．
解：∵二次函数 y＝mx2－6x＋1的图象与 x 轴只有一
个公共点，
∴二次方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根．
∴(－6)2－4m＝0且 ，解得 m＝9.
故 m 的值为9.
变式：把题中“二次”两字去掉，即题目是：
已知函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)的图象与x 轴只有一个公共点，求 m 的值．
【例 2】已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3.
（1）当k为何值时，抛物线与x轴有两个公共点？
（2）当k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点？
（3）当k为何值时，抛物线与x轴没有公共点？
【例 3】已知抛物线y=x2+mx+m-2．
求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有两个交点．
【跟踪训练】
C
1．函数 y＝x2－2x－1 的图象与 x 轴的交点个数有(
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．若抛物线 y＝(a－1)x2＋2x＋1 与 x 轴只有一个公共点，
则a的值为________．
2
3．若关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根，则m= ，此时抛物线y=x2-2x+m与 x 轴有 个公共点．
4．已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x 轴上，则c= ．
5．一元二次方程 3x2+x-10=0 的两个根是x1=-2，x2= ，那么二次函数y= 3x2+x-10的图象与x 轴的交点坐标是 ．
6．抛物线y= x2-3x-4与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 ．
1
1
16
（-2,0）、（5/3,0）
（-1,0）、（4,0）
（0，-4）
今天我的收获……
　　一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知：
　　（1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点，
公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0，
因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根．反之，一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标。
　　（2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置
关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共
点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种
情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等
的实数根．