人教版数学九年级上册：24.1.2垂直于弦的直径课件（共19张PPT）

垂直于弦的直径
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（1）确定圆的元素有 和 。
（2）圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，当d＞r时，点P在圆O ；当d=r时，点P在圆O ；当d＜r时，点P在圆O 。
（3）大于半圆的弧叫 ，小于半圆的弧叫 。
圆心
半径
外
上
内
优弧
劣弧
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活动1
探究一：圆的对称性。
以旧引新。
（1）圆上任意两点间的线段叫_____，圆上任意两点间的部分叫_____。
弧
弦
（2）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
是。
经过圆心的直线。
无数条。
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活动1
探究二：圆的对称性及垂径定理。
重点、难点知识★ ▲
大胆猜想，探究新知。
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
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活动2
探究二：圆的对称性及垂径定理。
重点、难点知识★ ▲
按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。
第二步，得到一条折痕CD。
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足。
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图。
实际操作，验证新知。
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活动2
探究二：圆的对称性及垂径定理。
重点、难点知识★ ▲
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？
AM=BM，
垂直于弦的直径的性质：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
实际操作，验证新知。
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活动1
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
基础型例题。
例1：如图，在⊙O中，C是弧AB的中点，∠A＝50?，则∠BOC＝（ ）。
A.40? B.45? C.50? D.60?
【解题过程】
A
【思路点拨】利用圆的轴对称性质得到边与角的等量关系。
在 OAB中，OA＝OB，
所以∠A＝∠B＝50? 。
根据垂径定理的推论，
OC平分弦AB所对的弧，
所以OC垂直平分弦AB，
即∠BOC＝90?? ∠B＝40? 。
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活动1
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
B
【解题过程】
根据垂径定理判断即可。
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴DE=CE，
基础型例题。
练习：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）。
A.DE=BE B.
C. BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形
根据已知不能推出DE=BE， BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形。
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活动2
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
提升型例题。
例2：如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（　　）。
A.8 B.4 C.10 D.5
【解题过程】
D
【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形。
连接OA，
根据圆的直径垂直平分弦的垂径定理，
可知 OAM是直角三角形，
在Rt OAM中运用勾股定理有：
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活动2
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
【解题过程】
在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长。
作OD⊥AB于D，连接OA，
D
根据题意得
根据勾股定理得
根据垂径定理得
练习：如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）。
A.2cm B. C. D.
C
提升型例题。
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活动3
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
探究型例题。
例3：如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB= ，则⊙O的半径为（ ）。
A. B. C. D.
【解题过程】
【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形。
如图，连接OA，
设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC， AB= ，
则由垂径定理得，
D
A
在Rt AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2＋AD2，
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活动3
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
练习：如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C。测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　　cm。
【思路点拨】解题的关键是正确构造直角三角形，利用垂径定理求解。
【解题过程】
如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∴设半径为r，则OD=r-10，
根据题意得：r2=（r-10）2+302，
解得：r=50。
50
探究型例题。
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活动4
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
垂径定理在实际生活中的应用。
例4：某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米。现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由。
【解题过程】
解：能通过。
设圆心为O，连结OA，ON，OD，对图形进行点标注。
∵ AB=7.2，CD=2.4，EF=3，点D为AB、EF中点。
∴ OC⊥AB，OC⊥MN。
设OA=R，则OD=OC-DC=R-2.4，AD=3.6，
在Rt OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=3.62+（R-2.4）2。
。
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活动4
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
∴ FN=DG=OG-OD=3.6-（OC-CD）
=3.6-（3.9-2.4）=2.1，
∵ 2＜2.1，
∴ 货船可以顺利通过这座拱桥。
解得R=3.9。
垂径定理在实际生活中的应用。
例4：某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米。现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由。
【解题过程】
在Rt ONG中，
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【思路点拨】首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明能经过，否则就不可以经过这座拱桥。
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活动4
探究三：能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
重点、难点知识★ ▲
练习：银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道。如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？
【解题过程】
如图所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，
则AE= AB = 30cm。
令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10。
解得R =50cm。
修理人员应准备内径为100cm的管道。
垂径定理在实际生活中的应用。
在Rt AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+（R-10）2。
知识梳理
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问题探究
课堂小结
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
重难点归纳
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课堂小结
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）构造直角三角形，巧妙设未知数解决问题。
谢 谢