人教版数学九年级上册：24.1.3弦、弧、圆心角课件（共21张PPT）

弧、弦、圆心角
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
以旧引新
活动1
现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的。 这个现象跟圆的哪个性质有关？
探究一：圆的中心对称性
想一想：这些现象说明了什么？
说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线。
以旧引新
活动1
现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮 180°时，看上去跟没转动以前是一个样的。这个现象跟圆的哪个性质有关？
探究一：圆的中心对称性
想一想：这些现象说明了什么？
说明钟钮左右两端转动180°后完全重合，两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
归纳概括
活动1
结论：
1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
探究一：圆的中心对称性
想一想：由以上现象，概括圆的对称性。
大胆操作 探究新知识
活动1
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系
1.按下面的步骤做一做：
（1）在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定。
重点、难点知识 ★▲
图1
注意：
在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合。
大胆操作 探究新知识
活动1
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系
（3）将其中的一个圆旋转一个角度。使得OA与O′A′重合。
重点、难点知识 ★▲
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由。
活动1
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系
重点、难点知识 ★▲
图1
由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；
由两圆的半径相等，
可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；
由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；
由旋转法可知 。
大胆操作 探究新知识
圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
集思广益 证明新知
活动2
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系
重点、难点知识 ★▲
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等。
反思过程，发现定理。
活动3
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系
重点、难点知识 ★▲
定理“在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等”中， 可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′， 。
反思过程，发现定理。
活动3
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系
重点、难点知识 ★▲
思考：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉？
弦、圆心角、弧三量关系：
在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他的量也对应相等。
旧题新解
活动1
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
【思路点拨】对开放性逆向思维的题目，首先应依题意抓住问题适合的依据定理，再由定理和题设补充条件。
例1.如图， 的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 （写出一个即可），就可得到M是AB的中点。
练习：如上图，CD是 的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB， 等多个结论，请你按现有图形给出其他两个结论。
集思广益 求解角度
活动2
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
例2.如图，在⊙O中， ，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC。
【思路点拨】由 ，有AB=AC，可得△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC，所以得∠AOB=∠AOC=∠BOC。
证明：∵
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形。
又 ∠ACB＝60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA。
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC。
集思广益 求解角度
活动2
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
练习：如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数。
【思路点拨】求圆心角度数，可先求出该圆心角度数所对弧的度数。
解：由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，
连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，
∵AB是直径，
∴∠BOD＝ ×180°＝120°
大胆探索，证明线段相等与弧度相等。
活动3
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
例3.如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM，求证：AB=CD。
【思路点拨】
由中点想到垂径定理，由等角对等边定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件。
大胆探索，证明线段相等与弧度相等。
活动3
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
证明：∵M、N为AB，CD中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD。
∵ ∠AMN=∠CNM，
∴ ∠OMN=∠ONM。
∴OM=ON。
连接OB、OD，则OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND。
∴BM=DN，
∴AB=CD。
大胆探索，证明线段相等与弧度相等。
活动3
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
【思路点拨】
由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件。
练习：如图，AB是⊙O的直径 ， P、Q是AB上两点， 且AP=BQ ， C、D是⊙O上两点，且 ，分别延长CP、DQ，交⊙O于M、N，求证：CP=DQ。
大胆探索，证明线段相等与弧度相等。
活动3
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
证明：连接AC，BD，CO，DO，
∵ ，
∴ AC=BD，∠COA=∠DOB

∵AP=BQ ，
∴△ACP≌△BDQ ，
∴CP=DQ 。
（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫圆心角。
（2）圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
（3）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等。
（1）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等。
（2）圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件不可忽略。
（3）由圆心角、弧、弦之间关系定理可以求得圆中的角度，证明圆中的线段和弧相等。
谢 谢