人教版数学九年级上册：24.3《正多边形与圆》 课件（共35张PPT）

正多边形和圆
（2）正多边形的性质：各条边都相等；各个内角都相等。
（3） n边形的内角和为________________________，n边形的外角和为360°。
（4）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”。
（1）正多边形的概念：各条边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
知识回顾
问题探究
课堂小结
观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形。
（1）正六边形； （2）正八边形； （3）等边三角形；（4）正五边形。
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动1
回顾旧知
正多边形与圆有什么关系呢？
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动2
整合旧知
等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充。
探究二：等分圆周，正多边形的有关概念
活动1
为什么等分圆周就能得到正多边形呢？
重点、难点知识★▲
我们现以正五边形为例进行证明。
同理可证：
∴ 五边形ABCDE是正五边形。
∵A、B、C、D、E在⊙O上，
∴五边形ABCDE是圆内接正五边形。
如图，
思考、交流自己的见解，进行作图，方法不限。
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图2。
探究二：等分圆周，正多边形的有关概念
活动2
如何三等分圆周呢？
重点、难点知识★▲
（1）度量法：
①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图1。
图1
图2
（2）尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可，如图3。
图3
（3）计算与尺规作图结合法：由圆内接正三角形的边长与圆的半径的关系可得，正三角形的边长为 cm，R=2cm，用圆规在⊙O上截取长度为 cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可。
探究二：等分圆周，正多边形的有关概念
重点、难点知识★▲
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性。
（2）正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转 ，都能和原来的图形重合。
正多边形与圆有着密切的联系：
给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系。
探究二：等分圆周，正多边形的有关概念
重点、难点知识★▲
1. 用量角器等分圆：
依据：同圆中相等的圆心角所对应的弧相等。
操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大。
探究二：等分圆周，正多边形的有关概念
活动3
在作图的基础上，归纳出等分圆周的方法：
重点、难点知识★▲
2. 用尺规等分圆：
（1）作正四边形、正八边形。
　　只要做出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
（2）作正六、三、十二边形。
先做出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画。
探究二：等分圆周，正多边形的有关概念
重点、难点知识★▲
参照下图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘。
作图如下：
探究三：利用正多边形和圆解决实际问题
活动1
实际应用
例：某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。 为了美观，种植要求如下：
（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃（注意：面积相等必须由数学知识作保证）；
（2）花卉总面积等于广场面积；
（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。
探究三：利用正多边形和圆解决实际问题
活动2
方案设计
认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品。
要求：①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成。
探究三：利用正多边形和圆解决实际问题
活动2
方案设计
符合要求的方案很多，最后一种设计不合要求。
例1.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）。
A．1　 B.　　 C. 2 　　D. 2
解：如下图，由正六边形的性质知，三角形AOB为等边三角形。
所以，OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，
由勾股定理，得内切圆半径：OC＝ 。
【思路点拨】构成以半径、边心距、边长为边的直角三角形是解题关键。
探究四：正多边形和圆的应用
活动1
基础性例题
练习：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=　 　。
解：设O是正五边形的中心，连接OD、OB。
则∠DOB= ×360°=144°，
∴ ∠BAD= ∠DOB=72°，
故答案是：72°。
【思路点拨】设O是正五边形的中心，连接OD、OB，求得∠DOB的度数，然后利用圆周角定理即可求得∠BAD的度数。正确理解正多边形的内心和外心重合是关键。
72°
探究四：正多边形和圆的应用
例2.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上。设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（　　）。
A. 4个 B. 6个 C.8个 D.10个
解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有2个位置，
即有2个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个。
故选C。
探究四：正多边形和圆的应用
【思路点拨】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解。熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观。
探究四：正多边形和圆的应用
练习：正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是　　　。
解：因为外角是20° ，360÷20=18，则这个多边形是18边形。
【思路点拨】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握。
探究四：正多边形和圆的应用
例3.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为__________。
解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC= ，
∴OE=OF= ，
∵OM⊥EF，
∴EM=MF。
探究四：正多边形和圆的应用
活动2
提升型例题
【思路点拨】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在Rt△OEM中利用30度角的性质即可解决问题。
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，
在Rt△OME中，
∵OE= ，∠OEM= ∠GEF=30°
∴OM= ，EM= OM= ，
∴EF= 。
探究四：正多边形和圆的应用
练习：如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=　　　　。
解：设该正十二边形的圆心为O，如图，连接A10O和A3O，
由题意知∠A3OA10= =150°，
∴∠A3A7A10=75°。
【思路点拨】作出恰当的辅助线，灵活运用正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理来分析是解答此题的关键。
探究四：正多边形和圆的应用
例4.如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（-1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为　　　　　。
【思路点拨】如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′的长度，即可解决问题。
探究四：正多边形和圆的应用
解：如图，由题意得：正方形ABCD的边长为2，
∴该正方形的对角线长为 ，
∴OA′= ；而OM=1，
∴A′M= ；
由题意得：∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，
∴∠MNA′=45°，
∴MN=A′M= ；
由勾股定理得：A′N= ；
同理可求D′M′= ，
∴M′N= ，
∴正八边形的边长为 。
探究四：正多边形和圆的应用
练习：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（　　）。
A．30° B．35° C．45° D．60°
解：连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB= =60°，
∴∠ADB= ∠AOB= ×60°=30°。
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，
故选A。
【思路点拨】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理求∠PAB。
探究四：正多边形和圆的应用
例5.如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1。 点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）。设点M转过的路程为m（0【思路点拨】先求到点M转动的圆周角的度数，由对称性得到∠OAN的度数，从而求得点N相应移动的路径长。若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决。
探究四：正多边形和圆的应用
活动3
探究型例题
解：①当m= 时，连接PM，如图1，
∠APM= ×360°=120°。
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°。
在Rt△AON中，NO= 。
②当m= 时，连接PM，如图2，
∠APM= 360°- ×360°=120°。
同理可得：NO= 。
综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 。
探究四：正多边形和圆的应用
练习：有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于（　　）。
解：设正方形ABCD的边长为x，根据图形可得：
A．1∶ B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9
探究四：正多边形和圆的应用
例6.如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则 =（　　）。
A. 3 B. 4 C.5 D.6
解：如图，三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为 ，
∴S空白=
∵AB=a，
∴OC= ，
∴S正六边形=
∴S阴影=S正六边形﹣S空白=
探究四：正多边形和圆的应用
【思路点拨】正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算。先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可。
探究四：正多边形和圆的应用
练习：如图（1）、（2）、（3）、…、（n），M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON。
（1）求图（1）中∠MON的度数；
（2）图（2）中∠MON的度数是_______，图（3）中∠MON的度数是_______；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）。
探究四：正多边形和圆的应用
解：（1）方法一：连结OB、OC.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴∠OBM=∠OCN＝30°，
∠BOC=120°。
又∵BM=CN，OB=OC，
∴△OBM≌△OCN。
∴∠BOM＝∠CON。
∴∠MON=∠BOC=120°。
方法二：连结OA、OB。
∵正△ABC内接于⊙O，
∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°，
∠AOB=120°。
又∵BM＝CN，
∴AM=BN。
又∵OA=OB，
∴△AOM≌△BON。∴∠AOM=∠BON。
∴∠MON=∠AOB=120°。
（2） 90° ， 72°
（3）∠MON=
探究四：正多边形和圆的应用
（1）正多边形：各边相等、各角相等，缺一不可；
（2）正多边形与圆的关系： ；
（3）正多边形的有关概念：中心、半径、中心角和边心距；
（4）与正多边形有关的计算公式：
①正n边形每个角为 ；
②正n边形每个中心角为 ；
③正n边形每个外角为 ；
④正n边形的边心距 ；
⑤正n边形的周长 ；
⑥正n边形的面积 ；
（5）正多边形的画法；
（6）正多边形的性质：边、角、对称性。
（1）能够充分认识正多边形的有关概念，并计算有关长度、面积和角度；
（2）与正多边形有关的性质的应用。
谢 谢