陕西省黄陵中学2021届高三（本部）上学期期中考试数学（文）试题（教师版） Word版含答案解析

2020---2021学年度第一学期本部高三（文）数学期中试题及答案
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　C　)
A．{0}　　
B．{1}
C．{1,2}　　
D．{0,1,2}
[解析]　本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，
∴A∩B＝{1,2}，故选C.
2.命题“?x∈R，x3－3x≤0”的否定为(　C　)
A．“?x∈R，x3－3x>0”　　
B．“?x∈R，x3－3x≥0”
C．“?x0∈R，x－3x0>0”　　
D．“?x0∈R，x－3x0<0”
[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以“?x∈R，x3－3x≤0”的否定为“?x0∈R，x－3x0>0”．故选C.
3.命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　D　)
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
[解析]　命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
4.设a，b∈R，则“2a－b<1”是“ln
ab”的(　B　)
A．充分不必要条件　　
B．必要不充分条件
C．充要条件　　
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由2a－b<1得aab得0ab”的必要不充分条件，故选B.
5.若f(x)是幂函数，且满足＝3.则f()＝(　C　)
A．3　
B．－3　
C．
D．－
[解析]　设f(x)＝xα，则＝＝＝2α＝3，所以f()＝()α＝＝.故选C.
6.(2020·河南南阳一中模拟)已知函数f(x)＝则f[f()]＝(　A　)
A．－　
B．－1　
C．－5　
D．
[解析]　由题意知f()＝log2，∴f[f()]＝2log2－2＝－.故选A．
7.已知，，，则的大小关系为（
A
）
A.
B.
C.
D.
解析
由题意，可知，
．
，所以最大，，都小于1．
因为，，而，
所以，即，所以．故选A．
8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是
（参考数据：≈0．48）
A．
B．?
C．
D．
[解析]　设，两边取对数得，，
所以，即最接近，选D．
9.已知函数，则不等式的解集是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.故选：D.
10.若tan
α＝，则cos2α＋2sin
2α＝(　A　)
A．　
B．　
C．1　
D．
[解析]　cos2α＋2sin
2α＝＝＝，故选A.
11.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln
，则f(1)＝(　B　)
A．－e
B．2　
C．－2　
D．e
[解析]　由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.
12.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.故选：A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．函数的定义域为
．
【解析】要使函数有意义，则，即，则函数
的定义域是
14.曲线在点处的切线方程为____________．
解析：因为，所以，
所以当时，，所以在点处的切线斜率，
又所以切线方程为，即．
15.若函数f(x)＝－x2＋4ax在[1,3]内不单调，则实数a的取值范围是
[解析]　由题意得：1<2a<3，得16.函数f(x)＝xsinx＋cosx在[，π]上的最大值为　　.
[解析]　因为f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈[，]时，f′(x)≥0，函数f(x)递增，当x∈(，π]时，f′(x)<0，函数f(x)递减，所以f(x)max＝f()＝.
三、解答题（本大题共
6
小题，共
70
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．
(1)求sin
(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin
(α＋β)＝，求cos
β的值．
[解析]　本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．
(1)由角α的终边过点P(－，－)得sin
α＝－，所以sin
(α＋π)＝－sin
α＝.
(2)由角α的终边过点P(－，－)得cos
α＝－，
由sin
(α＋β)＝得cos
(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos
β＝cos
(α＋β)cos
α＋sin
(α＋β)sin
α，
所以cos
β＝－或cos
β＝.
18.(本小题满分12分).已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解析]　(1)a＝－1，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为x∈[－5,5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，
x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)的对称轴为x＝－a；因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)在[1,2]上的单调性；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值．
[解析]　(1)解法一：任取x1，x2∈[1,2]，且x1则f(x2)－f(x1)＝－＝
＝，
＝
∵x1，x2∈[1,2]，∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1，
∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0.
又x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0，
∴<0，即f(x2)∴f(x)在[1,2]上为减函数．
解法二：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
∵1≤x≤2，∴f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上为减函数．
(2)由(1)知f(x)在[1,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，f(x)max＝f(1)＝＝－.
20.(本小题满分12分)已知0<α<<β<π，且sin
(α＋β)＝，tan
＝.
(1)求cos
α的值；
(2）求sin
β
[解析]　(1)因为tan
＝，所以tan
α＝＝，所以，α∈(0，)，解得cos
α＝.
另解：cos
α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
(2)由已知得<α＋β<，又sin
(α＋β)＝，
所以cos
(α＋β)＝－＝－，
又sin
α＝＝，
sin
β＝sin
[(α＋β)－α]
＝sin
(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－(－)×＝
21.(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120
吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析]　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，
则y＝400＋60t－120，
令＝x，则x2＝6t，即t＝，
所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数)
所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．
(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，
解得4因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．
22.(本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（I）求，的值；
（II）求的单调区间.
【解析】（I），∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即
①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为．
即对恒成立．
∴在上单调递增，无减区间