2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列语句中的图形必成相似形的是（　　）
A．只有一个角为30°的等腰三角形
B．邻边之比为2的两个平行四边形
C．底角为40°的两个等腰梯形
D．有一个角为40°的两个等腰梯形
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）
A．∠AED＝∠B
B．∠ADE＝∠C
C．
D．
3．如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在某一时刻测得1米高的竹竿的影长为0.9米，同时测得一棵树的影长，落在地面上的影长为1.8米，落在墙上的影长为0.4米，则这棵树的高度为（　　）
A．2米
B．2.4米
C．2.2米
D．2.8米
5．△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为（　　）
A．15
B．14.4
C．12
D．10.8
6．已知五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1是两个位似的图形，它们面积的比为4：9，若位似中心O到A的距离为6，则O到A的对应点A1的距离为（　　）
A．4
B．
C．9
D．
7．如图，两个位似图形△ABO和△A′B′O，若OA：OA′＝3：1，则正确的是（　　）
A．AB：A′B′＝3：1
B．AA′：BB′＝AB：AB′
C．OA：OB′＝2：1
D．∠A＝∠B′
8．如图所示，图中的三个矩形中相似的是（　　）
A．甲、乙和丙
B．甲和乙
C．甲和丙
D．乙和丙
9．张华同学的身高为160厘米，某一时刻他在阳光下的影子长为200厘米，与他相邻近的一棵树的影子长为6米，则这棵树的高为（　　）米．
A．3.2
B．4.8
C．5.2
D．5.6
10．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．两个全等图形形状一定相同
D．两个正方形一定是全等图形
二．填空题（共10小题）
11．如图，C、D是△PAB的边AB上的两点，以CD为边作平行四边形CDEF，EF经过点P，且
∠APB＝∠ADE．试写出四对相似三角形　
　．
12．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE＝4，EG＝3，则EF＝　
　．
13．同一底片印出来的不同尺寸的照片也是　
　．
14．一个多边形的边长依次为1，2，3，4；5，6，7，8，与它位似的另一个多边形的最大边长为12，那么另一个多边形的周长为　
　．
15．如图，在△ABC中，∠A＝36°，BD是角平分线，当∠C＝　
　°时，△ABC∽△BDC．
16．已知△ABC∽△DEF，AB＝21cm，DE＝28cm，则△ABC和△DEF的相似比为　
　．
17．两个相似多边形的周长之比为2：3，而面积之差为12，则两个相似多边形的面积分别是　
　．
18．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度DM＝150cm，CD＝800cm，则树高AB＝　
　cm．
19．△ABC中，AB＝12，AC＝8，P是BC上的一点，且BP＝2PC，设Q是△ABC某边上的一点，如果PQ截得的三角形与原三角形相似，且它们的面积比是1：4，则AQ的长为　
　．
20．五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，∠A＝120°，∠B′＝130°，∠C＝105°，∠D′＝85°，则∠E＝　
　．
三．解答题（共7小题）
21．以下列正方形网格的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：
（1）都是直角三角形；（2）都是锐角三角形；（3）都是钝角三角形．
22．如图，△ABC与△ADB相似，AD＝4，CD＝6，求这两个三角形的相似比．
23．如图是几组三角形的组合图形，图①中，△AOB∽△DOC；图②中，△ABC∽△ADE；图③中，△ABC∽△ACD；图④中，△ACD∽△CBD．
小Q说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是O和A．
小R说：图③、④是位似变换，其位似中心是点D．
请你观察一番，评判小Q，小R谁对谁错．
24．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．
与图形（1）相似的有　
　；（填序号）
与图形（2）相似的有　
　；
与图形（3）相似的有　
　．
25．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD与BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，试回答图中，△DEF∽△　
　，△BEF∽△　
　，△ABE∽△　
　．
26．画图：点A（1，2），B（2，0）把△ABO以点O为位似中心放大到原来的2倍，且写出对应顶点的坐标．
27．如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，AE与CD相交于点F，若S△ABC＝6，求四边形BEFD的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A、只有一个角为30°的等腰三角形，30°的角必定是顶角，所以，底角也一定相等，三角形相似，故本选项正确；
B、邻边之比为2，夹角不一定相等，两平行四边形不一定相似，故本选项错误；
C、底角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误；
D、有一个角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误．
故选：A．
2．解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；
C、＝不能判定△ADE∽△ACB，故B选项正确；
D、＝，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．
故选：C．
3．解：如图，过点E作HF⊥AB
∵AM∥CD，
∴∠DCE＝∠EAM，∠CDE＝∠EMA，
∴△AME∽△CDE
∴AM：DC＝EH：EF＝1：2，FH＝AD＝1
∴EH＝，EF＝．
∴阴影部分的面积＝S正﹣S△AME﹣S△CDE﹣S△MBC＝1﹣﹣﹣＝．
故选：B．
4．解：设影长为1.8m时树的高度为hm，
∵在某一时刻测得直立的标杆长0.9m，其影长为1m，
∴，
解得x＝2m，
∴树的高度＝2+0.4＝2.4m，
答：树的高度是2.4米．
故选：B．
5．解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6，
∴＝，
∵△ABC面积为10，
∴解得：S△A′B′C′＝14.4．
故选：B．
6．解：设点O到A1的距离为x，
∵它们面积的比为4：9，
∴（6：x）2＝4：9，
解得x＝9，
即：O到A的对应点A1的距离为9．
故选：C．
7．解：∵△ABO和△A′B′O是位似图形，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴OA：OA′＝AB：A′B′＝3：1（A正确），
∠A＝∠A′（D不正确），
B，C均无法证得．
故选：A．
8．解：∵都是矩形，
∴所有对应角相等；
∵甲与乙：≠，故不相似；
甲与丙：，故相似；
∴乙与丙也不相似．
故选：C．
9．解：设这棵树高度为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
解得：h＝4.8．
故选：B．
10．解：A、形状、大小相同的两个三角形全等，本选项说法错误；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法错误；
C、两个全等图形形状一定相同，本选项说法正确；
D、边长相等的两个正方形一定是全等图形，本选项说法错误；
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．解：△PMF∽△AMC；△AMC∽△ABP；△PMF∽△ABP；△BDN∽△PEN，
∵平行四边形CDEF，
∴EF∥AB，CF∥ED，
∴∠F＝∠MCA，∠FPM＝∠A，
∴△PMF∽△AMC；
∵∠A＝∠A，∠ACM＝∠ADE＝∠APB，
∴△AMC∽△ABP；
∵∠F＝∠ACM＝∠APB，∠FPM＝∠A，
∴△PMF∽△ABP；
∵EF∥AB，
∴∠E＝∠NDB，∠EPN＝∠B，
∴△BDN∽△PEN．
故答案为：△PMF∽△AMC；△AMC∽△ABP；△PMF∽△ABP；△BDN∽△PEN
12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠FDE，∠EAB＝∠EFD，
∴△ABE∽△FDE，
∴①，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBE＝∠ADE，∠G＝∠DEA，
∴△BEG∽△DEA，
∴②，
由①②可得，，
∵AE＝4，EG＝3，
∴EF＝．
故答案为：．
13．解：同一底片印出来的不同尺寸的照片，形状相同，但大小不同，∴是相似图形．
14．解：一个六边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，7，8．
与它相似的另一个多边形最大边长为12，
则这个多边形的周长是36，相似比是8：12＝2：3，
根据周长之比等于相似比，
因而设另一个多边形的周长是x，
则36：x＝2：3，
解得：x＝54
另一个多边形的周长为54．
故答案为：54．
15．解：若△ABC∽△BDC，
则∠C＝∠C，∠CBD＝∠A＝36°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABC＝72°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝72°，
故答案为：72°
16．解：∵△ABC∽△DEF，AB＝21cm，DE＝28cm，
∴△ABC和△DEF的相似比为：AB：DE＝21：28＝3：4．
故答案为：3：4．
17．解：∵两个相似多边形的周长之比为2：3，
∴其相似比为：2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设两个相似多边形的面积分别为：4x，9x，
∵面积之差为12，
∴9x﹣4x＝12，
解得：x＝2.4，
∴两个相似多边形的面积分别是：9.6，21.6．
故答案为：9.6，21.6．
18．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝，
∵DE＝40cm，EF＝20cm，AC＝150cm，CD＝80cm，
∴＝，
∴BC＝40cm，
∴AB＝AC+BC＝150+400＝550cm，
故答案为：550．
19．解：分两种情况：
（1）Q在AC边上时，如图1，过B作BG⊥AC于G，过P作PF⊥AC于F，
S△QPC＝QC?PF，S△ABC＝AC?BG，
∵＝，
∴＝，
∵PF∥BG，
∴＝，
∴＝，
∴QC＝6，
∴AQ＝AC﹣QC＝8﹣6＝2；
（2）Q在AB边上时，如图2，过P作PE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，
S△BQP＝BQ?PE，S△ABC＝AB?CF，
∵＝，
∴＝，
∵PE∥CF，
∴＝，
∴，
∴BQ＝，
∴AQ＝AB﹣BQ＝12﹣＝7.5，
综上所述：AQ的长为2或7.5．
20．解：∵五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，
∴∠B＝∠B′＝130°，∠D＝∠D′＝85°，
又∵五边形的内角和为540°，
∴∠E＝540°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝100°，
故答案为：100°．
三．解答题（共7小题）
21．解：根据边长计算，所画图形如下所示：
22．解：∵△ABC与△ADB相似，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
∴AB2＝AC?AD＝10×4＝40，
∴△ABC与△ADB的相似比为＝＝．
23．解：根据位似图形的定义得出：
小Q对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为O、A，
③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换．
24．解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：
与图形（1）相似的有a；
与图形（2）相似的有d；
与图形（3）相似的有g．
25．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD，
∵EF⊥BD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠EFD＝∠ABD，∠DEF＝∠DAB，
∴△DEF∽△DAB；
∵∠BFE＝∠BDC，∠BEF＝∠BCD，
∴△BEF∽△BCD；
∵∠A＝∠EDC，∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△DEC，
故答案为：DAB；BCD；DCE．
26．解：△OA′B′就是所求的三角形，O（0，0），A′（2，4），B′（4，0）．
或O（0，0），A′′（﹣2，﹣4），B′（﹣4，0）．
27．解：∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ADC＝S△ABC＝4，S△BDC＝S△ABC＝2．
过E作EG∥AB交CD于G，
∵BE＝CE，
∴CG＝DG，
∴BD＝2EG，
∵AD＝2BD，
∴AD＝4EG．
设S△EGF＝x．
∵EG∥BD，
∴△CEG∽△CBD，
∴S△CEG：
S△CBD＝（）2＝，
∴S△CEG＝S△CBD＝×2＝，S梯形EGDB＝2﹣＝，
设S△FEG＝x，则S四边形BEFD＝﹣x，
∵S△ABE＝S△ABC＝3，
∴S△ADF＝S△ABE﹣S四边形BEFD＝3﹣（﹣x）＝+x．
∵EG∥AD，
∴△FEG∽△FAD，
∴S△FEG：S△FAD＝（）2＝，
∴S△FAD＝16S△FEG＝16x，
∴16x＝+x，
解得x＝，
∴S四边形BEFD＝﹣x＝﹣＝．