高中数学人教A版必修1第二章同步学案2.3幂函数及其性质

高一数学
幂函数及其性质
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【学习目标】1、掌握幂函数的定义
2、熟悉各种不同幂函数的图像及性质
3、学会利用幂函数综合性质解题
【知识要点】
一、幂函数的概念
1、形如（）的函数叫幂函数，其中为自变量，为常数。
二、幂函数的性质
（1）图像必过点。
（2）时，过点，且随x的增大，函数图像向y轴方向延伸。在第一象限是增函数。
（3）时，图像是直线y=x。在第一象限内是增函数。（在整个定义域内都是增函数。）
（4）时，随x的增大，函数图像向x轴方向延伸。在第一象限是增函数。
（5）时，随x的增大，函数图像与x轴、y轴无限接近，但永不相交。在第一象限是减函数。
（6）几种常见的幂函数的有关性质列表
幂函数
定义域
值域
奇偶性
单调性
图像
(－∞,＋∞)
(－∞,＋∞)
奇函数
(－∞,＋∞)
递增
y＝
(－∞,
0)∪(0,＋∞)
(－∞,
0)∪(0,＋∞)
奇函数
(－∞,
0)
递减
(0,＋∞)
递减
y＝x2
(－∞,＋∞)
偶函数
(－∞,
0)
递减
(0,＋∞)
递增
【典型例题】
例1、(1)给出四个函数：；；；
以上函数是幂函数的是
（2）y=（m2-2m+2）x2m+1是一个幂函数，求m的值.
例2、（1）研究函数y＝的定义域、奇偶性，并且作出其大致图像
（2）研究函数y＝的定义域、奇偶性，并且作出其大致图像
例3、已知幂函数的图象不过原点，求的值.
例4、当时，幂函数为减函数，求实数的值.
例5、已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．
　　
问当为何值时有：（１）；（２）；（３）．
【经典练习】
1、下列函数中哪个是幂函数（
）
A．
B．
C．
D．
2、函数是（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．以上都不是
3、下列幂函数中，定义域为R的是
（
）
A.
y=x-2
B.
y=
C.
y=
D.
y=
4、函数的定义域为
，值域为
.
5、如果幂函数的图象经过点，则的值等于
6、函数y＝的单调递减区间为
7、已知函数为偶函数，且，求的值，并确定的解析式．
【课后作业】
1.
下列函数是幂函数的是
（
）
A.
B.
C.
D.
y=
2.
下列说法正确的是
（
）
A.
y=x4是幂函数，也是偶函数；
B.
y=-x3是幂函数，
也是减函数；
C.
y=是增函数，
也是偶函数；
D.
y=x0不是偶函数.
3、函数y＝（x2－2x）的定义域是
4．幂函数的图象过点，则的值为
.
5．幂函数的图象过点(2,),
则它的单调递增区间是
．
6．设x∈(0,
1)，
y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是
．
7．函数y＝在区间上
是减函数．
8．幂函数的图象过点(3,
),另一个幂函数的图象过点(－8,
－2).
(1)求这两个幂函数的解析式；
（2）判断这两个函数的奇偶性；
9、已知既是幂函数，又是偶函数，求函数解析式.
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