高三年级数学考前热身练答案精析
1．B 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C
7．C [当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，①
故an＋1＋2Sn＝n＋1，②
由②－①得，an＋1－an＋2(Sn－Sn－1)＝1，
即an＋1＋an＝1(n≥2)，
所以S2
019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2
018＋a2
019)＝1
010.]
8．B [设P(x0，y0)，
由于点P为切点，则x＋2ax0＝3a2ln
x0＋b，
又点P的切线相同，则f′(x0)＝g′(x0)，
即x0＋2a＝，
即(x0＋3a)(x0－a)＝0，又a>0，x0>0，∴x0＝a，
于是，b＝a2－3a2ln
a(a>0)，
设h(x)＝x2－3x2ln
x(x>0)，则h′(x)＝2x(1－3ln
x)(x>0)，
所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，
b的最大值为h()＝.]
9．ABC [由于0
1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有ab>aa>ba，故选项A错误；
根据指数函数的图象与性质有cb根据对数函数的图象与性质有logac因为ab>ba，c>1，则logcab>logcba，即blogca>alogcb，故选项D正确．]
10．ACD [A项，函数y＝ax(a>0且a≠1)，
y＝logaax(a>0且a≠1)的定义域都是R，故A正确；
B项，函数y＝值域为[0，＋∞)，
函数y＝3x的值域为(0，＋∞)，故B错误；
C，当x∈[0，＋∞)时，函数y＝|x＋1|＝x＋1是增函数，
函数y＝2x＋1是增函数，故C正确；
D项，y＝lg的定义域是(－1,1)，令f(x)＝lg，
f(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)，
故函数y＝lg是奇函数，故D正确．]
11．AD [A正确，B中直线l可能平行于α也可能在α内，故B错；C中直线l，m，n可能平行也可能相交于一点，故C错；D正确．]
12．BCD [把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的得到y＝sin的图象，
再将图象向右平移个单位长度得到函数
g(x)＝sin＝sin的图象．
若x∈，则2x－∈，
∴g(x)上单调递增，故A正确；
由g＝≠0知，
g(x)的图象不关于点对称，故B错误；
g(x)的最小正周期为π，故C错误；
∵g(0)＝－≠±1，
∴g(x)的图象不关于y轴对称，故D错误．]
13．9
解析 由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)＝，
P(B)＝，且x>0，y>0，所以P(A)＋P(B)＝＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋
≥5＋2＝9，
当且仅当x＝6，y＝3时取等号，所以x＋y的最小值为9.
14．－4
解析 由题意，以A为坐标原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，建立平面直角坐标系，
因为正方形ABCD的边长为2，
所以可得A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，
＝(2－x，－y)，
＝(2－x,2－y)，＝(－x,2－y)，
所以＋＝(2－2x，－2y)，＋＝(2－2x,4－2y)，
因此(＋)·(＋)＝4(1－x)2－4y(2－y)＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4≥－4，
当且仅当x＝y＝1时，取得最小值－4.
15．10n－2 216
解析 Tn为数列{bn}的前n项的和，Tn＝5n2＋3n，
bn＝Tn－Tn－1＝(5n2＋3n)－[5(n－1)2＋3(n－1)]＝10n－2(n≥2)，
验证n＝1时，b1＝T1＝8也符合，故bn＝10n－2，
a1
024＝b11＝108，a1
025＝2a1
024＝216.
16.
解析 画出函数f(x)＝的图象(如图所示)．
不妨令a且－ln
a＝ln
b＝2－ln
c，则ab＝1，bc＝e2，
则a＋b＋c＝＋b＋＝b＋，
令g(x)＝x＋，
因为g′(x)＝1－<0在x∈(1，e)时恒成立，
所以g(x)在(1，e)上单调递减，
所以2e＋17．解 (1)由题意得
∵a1∈Z，d∈Z，解得
∴
an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N
)．
(2)∵
＝＝，
∴Tn＝
＝.
18．解 (1)在△ABC中，由正弦定理得
sin
Bcos
A＋sin
A＝sin
C，
又C＝π－(A＋B)，
所以sin
Bcos
A＋sin
A＝sin
(A＋B)，
故sinBcos
A＋sin
A＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin
Acos
B＝sin
A，
又A∈(0，π)，所以sin
A≠0，故cos
B＝.
(2)因为D＝2B，所以cos
D＝2cos2B－1＝－，
又在△ACD中，AD＝1，CD＝3，
所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos
D
＝1＋9－2×3×＝12，
所以AC＝2，
在△ABC中，BC＝，AC＝2，cos
B＝，
所以由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
B，
即12＝AB2＋6－2·AB××，化简得AB2－2AB－6＝0，
解得AB＝3.
故AB的长为3.
19．(1)证明 连结BD交AC于O，连结SO，
由题意得，SO⊥AC.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又SO∩BD＝O，SO，BD?平面SBD，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SD.
(2)解 由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz如图所示．
设底面边长为a，则高SO＝a.
则S，D，
C，B，
又SD⊥平面PAC，
则平面PAC的一个法向量＝，
平面SAC的一个法向量＝，
则cos
〈，〉＝＝－，
又二面角P－AC－S为锐二面角，则二面角P－AC－S为60°.
(3)解 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝，
＝.设＝t，t∈[0,1]，
则＝＋＝＋t
＝，
又BE∥平面PAC，所以·＝0，解得t＝.
即当SC∶SE＝3∶2时，⊥，
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
所以侧棱SC上存在点E，
当SC∶CE＝3∶2时，有BE∥平面PAC.
20．解 (1)因为A，B，C三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则C镇应选取80×＝16(人)，所以这40人中有16人来自C镇，
因为＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5，
所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户．
(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为，
显然X可取0,1,2,3，且X～B，则
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝3＝，
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
21．解 (1)由题设条件可得＝，a＋c＝3，
解得a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当矩形ABCD的一组对边所在直线的斜率不存在时，得矩形ABCD的面积S＝8，
当矩形ABCD四边所在直线的斜率都存在时，不防设AB，CD所在直线的斜率为k，则BC，AD所在直线的斜率为－，
设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆联立
可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，得m2＝4k2＋3，
显然直线CD的直线方程为y＝kx－m，
直线AB，CD间的距离
d1＝＝2＝2，
同理可求得BC，AD间的距离为
d2＝2＝2，
所以四边形ABCD的面积为
SABCD＝d1d2＝4
＝4＝4
＝4≤4＝14.
(当且仅当k＝±1时等号成立)，又SABCD>4＝8，
综上可得外切矩形面积的取值范围是[8，14]．
22．(1)解 因为f(x)＝ex－ax－a，所以f′(x)＝ex－a，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在区间R上单调递增；
②当a>0时，令f′(x)>0，x>ln
a，令f′(x)<0，xa，
所以f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．
(2)解 因为对任意的x∈(0,2]，不等式f(x)>x－a恒成立，
即不等式(a＋1)x即当x∈(0,2]时，a<－1恒成立．
令g(x)＝－1(x∈(0,2])，则g′(x)＝.
令g′(x)>0,1所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增．
∴x＝1时，g(x)取最小值e－1.
所以实数a的取值范围是(－∞，e－1)．
(3)证明 在(1)中，令a＝1可知对任意实数x都有ex－x－1≥0，
即x＋1≤ex(当且仅当x＝0时等号成立)．
令x＋1＝(k＝1,2,3，…，n)，
则<，即n故n＋n＋n＋…＋n<(e1＋e2＋e3＋…＋en)＝<.江苏省南通市2020-2021学年度第一学期期中考试
高三考前热身练
数学试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若集合A＝{0,1,2}，B＝{x|x2－3x≤0}，则A∩B为( )
A．{1,2}
B．{0,1,2}
C．{0,1,2,3}
D．{x|0≤x≤3}
2．已知复数z满足(2－i)z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A．1
B．－1
C．0
D．i
3．已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，满足f(x)＝则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
020)等于( )
A．log25
B．－log25
C．－2
D．0
4．两正数a，b的等差中项为，等比中项为，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e为( )
A.
B.
C.
D.
5．设函数f(x)＝sin－cos的图象关于原点对称，则θ的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为( )
A．8
B．16
C．32
D．64
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2
019的值为( )
A．1
008
B．1
009
C．1
010
D．1
011
8．设点P为函数f(x)＝x2＋2ax与g(x)＝3a2ln
x＋b(a>0)的图象的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知01，则下列各式中不成立的是( )
A．abB．cb>ca
C．logac>logbc
D．blogca>alogcb
10．下列四个命题中正确的是( )
A．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝logaax(a>0且a≠1)的定义域相同
B．函数y＝与函数y＝3x的值域相同
C．函数y＝|x＋1|与函数y＝2x＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数
D．y＝lg是奇函数
11．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是( )
A．若m∥l，且m⊥α，则l⊥α
B．若m∥l，且m∥α，则l∥α
C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n
D．若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m
12．把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是( )
A．g(x)在上单调递增
B．g(x)的图象关于对称
C．g(x)的最小正周期为4π
D．g(x)的图象关于y轴对称
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．
14．已知正方形ABCD的边长为2，P为平面ABCD内一点，则(＋)·(＋)的最小值为________．
15．将数列{an}中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列．
a1
a2，a3
a4，a5，a6，a7
a8，a9，a10，a11，a12，a13，a14，a15
……
记数阵中的第1列a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Tn为数列{bn}的前n项和，Tn＝5n2＋3n，则bn＝________，a1
025＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d(a1
∈Z，d∈Z)，前n项的和为Sn
，且S7＝49,24(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项的和为Tn，求Tn.
18．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos
A＋a＝c.
(1)求cos
B；
(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB的长．
19.(12分)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－S的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SC∶SE的值；若不存在，试说明理由．
20.(12分)在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的概率分布及均值．
21.(12分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝ex－ax－a(其中e为自然对数的底数)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意x∈(0,2]，不等式f(x)>x－a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设n∈N
，证明：n＋n＋n＋…＋n<.
高三数学试卷